Информатика_2 / ВВЕДЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. Понятие информатики

2. Этапы решения задач на ЭВМ

3. Основные понятия численных методов

1. Понятие информатики

Информатика – область человеческой деятельности, связанная с процессами преобразования информации с помощью компьютеров и других средств вычислительной техники. С информатикой часто связывают одно из следующих понятий: это либо совокупность определенных средств преобразования информации, либо фундаментальная наука, либо отрасль производства, либо прикладная дисциплина.

Понятие информатики является относительно новым в лексиконе современного человека. Несмотря на повсеместное  употребление, его содержание остается не проясненным до конца в силу своей новизны. Интуитивно ясно, что оно связано с информацией, а также с ее обработкой на компьютерах. Это подтверждается существующей легендой о происхождении данного слова: считается, что оно составлено из двух слов – ИНФОРМАция и автомаТИКА (как средство преобразования информации).

Вследствие широкого распространения компьютеров и информационного бума, который переживает человечество, с азами информатики должен быть знаком всякий грамотный современный человек; вот почему ее преподавание включено в курс средней школы и продолжается в высшей школе.

Таким образом, главная функция информатики состоит в разработке методов и средств преобразования информации с использованием компьютера, а также в применении их при реализации технологического процесса преобразования информации.

2. Этапы решения задач на ЭВМ

Эффективное решение крупных естественнонаучных и народнохозяйственных задач сейчас невозможно без применения быстродействующих электронно-вычислительных машин (ЭВМ). В настоящее время выработалась технология исследования сложных проблем, основанная на построение и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемого объекта. Такой метод исследования называют вычислительным экспериментом. Его основу составляет триада: модель — метод (алгоритм) — программа.

Пусть, например, требуется исследовать какой-то физический объект, явление, процесс. Тогда схема вычислительного эксперимента выглядит так, как показано на схеме.

Такова в общих чертах схема вычислительного эксперимента. Опыт решения крупных задач показывает, что метод математического моделирования и вычислительный эксперимент соединяют в себе преимущества традиционных теоретических и экспериментальных методов исследования. Можно указать такие крупные области применения вычислительного эксперимента, как строительство, энергетика, аэрокосмическая техника, обработка данных натурного эксперимента, совершенствование технологических процессов.

2. Основные понятия численных методов

Численные методы - это методы решения математических задач, сводящиеся к конечному числу арифметических и логических действий над числами, т.е. к таким действиям, которые может выполнить ЭВМ.

Методы решения математических задач условно делятся на 2 группы:

1. Точные (прямые). Точные методы позволяют найти решение задачи либо в аналитическом (явном) виде, т.е. в виде некоторой зависимости Y = F(X), либо за конечное число операций (с учетом округления). Однако, класс таких задачи весьма узок.

2. Приближенные (итерационные) методы. В основе приближенного численного метода лежит некоторый процесс, чаще всего бесконечный, сходящийся к искомому ответу. В результате получается приближенное решение задачи, т.к. выполняется конечное число шагов, и вычисления обрываются.

Такой подход является весьма трудоемким и только применение ЭВМ позволили широко применить численные методы для решения задач строительства.

Обычно построение численного метода для заданной математической модели разбивается на два этапа:

1. формулирование дискретной задачи,

2. разработка вычислительного алгоритма (выбор численного метода), позволяющего отыскать решение дискретной задачи.

1 этап. Дискретизация - это переход от функции непрерывного аргумента к функции дискретного аргумента.

Пример дискретизации.

Решение дискретной задачи будет отличатся от решения исходной задачи. Разность этих решений называется погрешностью дискретизации.

2 этап. Выбор численного метода. После дискретизации задачи строится вычислительный алгоритм (последовательность арифметических и логических операций, выполняемых на ЭВМ), т.е. выбирается какой-либо численный метод, дающий решение задачи за конечное число действий. Результатом реализации численного метода на ЭВМ является число или таблица чисел {x_i, y_i}, i=0,1,…,n.

В основе численного метода лежит некоторый процесс, чаще всего бесконечный, сходящийся к искомому ответу. В результате получается приближенное решение задачи, т.к. выполняется за конечное число шагов, и вычисления обрываются. Полученное решение принимается за приближенное решение исходной задачи.

Надо помнить, что численный метод должен давать решение исходной задачи с заданной точностью ε>0 за конечное число действий (за допустимое машинное время).

Элементы теории погрешности

Необходимо подчеркнуть, что процесс исследования исходного объекта методом математического моделирования и вычислительного эксперимента неизбежно носит приближенный характер, потому что на каждом этапе вносятся те или иные погрешности.

Структура погрешности:

1. Математическая модель, погрешность ММ рассматриваться здесь не будут.

2. Исходные данные. Исходные данные чаще всего задаются приближенно. Они могут быть получены в результате предварительных расчетов (погрешности округления) либо в процессе эксперимента (погрешности измерений в технических задачах допускается в пределах до 10%).

3. Численный метод. Погрешность численного метода решения задачи связана с тем, что точные операторы и исходные данные заменяются приближенными. Например, интеграл заменяется суммой, производная - разностью, функция - многочленом (разложение в ряд), бесконечный итерационный процесс заканчивается после выполнения конечного числа итераций и т.д. 

4. Погрешности округления возникают при выполнении арифметических действий над числами и в результате предварительных расчетов. ЭВМ оперирует с числами, имеющими конечное число значащих цифр, обусловленное размером разрядной сетки.

Понятия точности, устойчивости, сходимости

При выборе численного метода необходимо определить понятия точность, сходимость, устойчивость.

• Точность – это мера близости численного и точного решений.

• Сходимость – это постепенное приближение последовательно вычисляемых решений к предельному (точному) решению.

• Устойчивость. При решении инженерных задач неизбежно появляются погрешности в исходных данных, погрешности округления. Поэтому вопрос об устойчивость решения - это вопрос о том, как зависит решение задачи от входных параметров.

Если решение существует и единственно, то возможны 2-а варианта

1. Решение задачи непрерывно зависит от входных параметров, т.е. малым изменениям входных параметров соответствует малое изменение решения. Такое решение называется устойчивым, а сама задача – корректной.

2. Если же небольшие возмущения исходных данных приводят к большим изменениям решения, то это решение называется неустойчивым, а сама задача – некорректной.

Термин сходимости применяется к построению итерационной последовательности, в которой одно приближенное решение становится исходной информацией для другого приближенного решения.

Таким образом, в сходящемся итерационном процессе разница между соседними приближениями уменьшается, стремясь в пределе к нулю.