Теория Информации / 03 Математические модели сигналов и помех

21

Чтобы определить требования к координатным функциям, рассмотрим

O

корреляционную функцию процесса U(t) , заданную разложением

Поэтому целесообразно выбирать такие координатные функции, которые обеспечивают некоррелированность случайных величин {Ck }. Разложение (3.50), удовлетворяющее этому условию, называют

каноническим разложением.

По известному каноническому разложению корреляционной функции случайного процесса можно записать каноническое разложение самого случайного процесса с теми же координатными функциями, причем дисперсии коэффициентов этого разложения будут равны дисперсиям коэффициентов разложения корреляционной функции.

Таким образом, при выбранном наборе координатных функций центрированный случайный процесс характеризуется совокупностью дисперсий коэффициентов разложения, которую можно рассматривать как

обобщенный спектр случайного процесса.

В каноническом разложении (3.50) этот спектр является дискретным (линейчатым) и может содержать как конечное, так и бесконечное число членов (линий).

Основным препятствием к широкому практическому использованию канонических разложений случайных процессов является сложность процедуры нахождения координатных функций. Однако для ряда стационарных случайных процессов эта процедура вполне приемлема.

3.7. Графическое представление сигналов

Достаточно широкий класс реальных сигналов охватывается их моделью в виде марковского процесса. Положим сложный сигнал строится из некоторого дискретного множества элементарных сигналов. Если

22

источник генерирует в данный момент j-й элементарный сигнал, то говорят, что он находится в j-м состоянии. Полное описание процесса заключается в задании набора элементарных сигналов (состояний) {εj} и условных вероятностей pjk перехода источника из состояния j в состояние k.

Для полноты модели в рассмотрение можно включить случай, когда вероятность перехода pjk зависит от времени пребывания источника в состоянии j: вероятность перехода в состояние k в интервале (τ, τ + dτ) после перехода в состояние j равна pjk(τ)dτ.

Этот сложный процесс может быть отражен очень простой графической моделью. Способ построения модели заключается в следующем. Состояниям источника ставятся в соответствие точки (узлы); возможность перехода из данного состояния в другое отображается наличием линии (ветви), соединяющей соответствующие узлы; направление перехода указывается стрелкой; вероятность перехода указывается числом около надлежащей ветви. Величины подчиняются очевидному соотношению ∑ p jk = 1. Полученный в результате граф может выглядеть, например, как на

k

Рис. 3.5.

Известно, что существуют преобразования графа, не изменяющие определенные свойства, но упрощающие его структуру. Причем, пользоваться преобразованиями Лапласа функций pjk(τ) более удобно, чем самими функциями pjk(τ). Кроме удобства при написании признаков ветвей графа, функции Pjk(s) позволяют очень просто вычислить временные моменты сигналов. Пусть, например, нас интересуют только те сигналы, которые начинаются с состояния j и кончаются состоянием k. После соответствующих преобразований графа можно получить функцию Pjk(s) в виде степенного ряда Pjk(s) = a0 + a1s + a2s2 +...

с

2

bd

f

g

Рис. 3.5. Графическое представление сигнала

Коэффициент а0 дает безусловную вероятность осуществления перехода j→ k, т.е. вероятность появления сигнала любой длительности,

начинающегося с j-го символа и заканчивающегося k-м. Величина − a1 a0

Из полного графа случайного процесса легко определить любую интересующую нас реализацию, выделив в нем соответствующую траекторию. По характеристикам ветвей траектории находится вероятность данной реализации и ее остальные временные статистические характеристики.

Наиболее эффективно граф может быть использован для нахождения статистических характеристик подмножества сигналов, выделяемого по какому-либо признаку.

3.8. Геометрическое представление сигналов

Основой геометрического представления сигналов служит тот факт, что совокупность чисел х1, х2, ... , хn, независимо от их происхождения, всегда может рассматриваться как совокупность координат точки в n-мерном пространстве, т.е. соответствующий вектор в n-мерном пространстве определяется совокупностью п чисел, которые являются его проекциями на соответствующие оси. Это записывается следующим образом:

x = (x1, x2 , ..., xn ).

Сигнал с ограниченным спектром, согласно теореме Котельникова, полностью задается дискретным множеством равноотстоящих отсчетов. Совокупность чисел, характеризующих значение функций отсчета в соответствующих точках, можно рассматривать как совокупность координат некоторой точки; таким образом, сигнал также представляется как вектор (точка) в многомерном пространстве, которое можно назвать пространством сигналов. Размерность пространства сигналов равна числу степеней свободы рассматриваемого сигнала. Как отмечалось выше, оценкой числа степеней свободы отрезка сигнала длительностью Т и ограниченной шириной F спектра является число 2FT.

В большинстве практических случаев число измерений пространства сигналов очень велико. Хотя такие пространства не допускают наглядного изображения, аналитические соотношения геометрии значительно облегчают рассмотрение проблем связи.

Расстояния в пространстве сигналов имеют наглядный смысл. Для так называемого евклидова пространства справедливо следующее соотношение для длины вектора:

которое является обобщением обычной теоремы Пифагора. В n-мерном пространстве длина вектора называется его нормой. Если рассмотреть два

24

вектора x1 и х2 (на Рис. 3.6 показана двумерная модель), то можно найти угол между ними и расстояние между концами векторов.

Рис. 3.6. Двумерная модель векторного пространства

Исходя из Рис. 3.6 получаем:

Обобщая полученное выражение на n-мерное пространство, можем записать

Для расстояния d между концами векторов будем иметь

Для энергии Ec сигнала, представленного отсчетами, получено выражение

25

Сравнивая значение энергии с соотношением (3.57), можем записать ||х||2 = 2FEс.

Так как длительность сигнала конечна, то можно определить среднюю мощность сигнала Рс следующим образом: Pс = Eс /T. Тогда

Итак, норма вектора сигнала (т. е. длина вектора) при заданной длительности и ширине спектра сигнала определяется его средней мощностью. Для стационарного случайного сигнала операция осреднения квадрата реализации по времени определяет дисперсию процесса, следовательно, норма вектора сигнала будет пропорциональна его среднему

Простое геометрическое толкование имеют различные операции над сигналами. Например, если сигнал в канале искажается определенным образом, то пространство сигналов искривляется за счет определенного смещения каждой точки. Пропусканию сигнала через фильтр с полосой, меньшей ширины спектра, соответствует проектирование точки сигнала на некоторое подпространство, так как такая фильтрация уменьшает число степеней свободы сигнала. Наконец, сложение сигнала с помехой означает смещение точки сигнала на величину, пропорциональную среднеквадратическому значению помехи. Если помеха носит случайный характер, то она образует некоторую область неопределенности около каждой точки пространства сигналов.

Геометрическая модель позволяет дать наглядное изображение процессов, происходящих в линиях связи.

Контрольные вопросы

1.Дайте определение детерминированного и случайного процессов. Приведите примеры.

2.Дайте определение дельта-функции и укажите основные ее свойства.

3.Поясните смысл величин, входящих в тригонометрическую и комплкексную формы записи ряда Фурье.

4.Какой вид имеет спектр периодического сигнала?

5.Дайте определение понятий реализации и ансамбля реализаций случайного процесса.

6.Дайте определение основных характеристик случайного процесса.

7.Как описываются статистические свойства дискретных сообщений? Какие процессы называются марковскими?

8.Что такое «белый шум»? Каковы его свойства?

9.Каким образом оценивается в технике практическая ширина спектра сигнала, и какие характеристики полностью определяют сигнал?

10.Дайте геометрическое определение различимости сигналов.