Теория Информации / 03 Математические модели сигналов и помех

1

3.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИГНАЛОВ И ПОМЕХ

3.1.Математическое описание сообщений, сигналов и помех

Воснове математического описания сообщений, сигналов и помех лежат методы теории вероятностей, теории случайных функций и математической статистики. Целью математического описания является разработка математических моделей сообщений, сигналов и помех, необходимых для анализа, синтеза и оптимизации объектов информационной техники. Математические модели позволяют анализировать свойства сообщений, сигналов и помех, а также синтезировать сигналы с требуемыми свойствами.

Понятие «сигнал» имеет неоднозначное толкование. В широком смысле слова под сигналом понимают материальный носитель информации. При этом к сигналам относят как естественные сигналы, так и сигналы, специально создаваемые с определенной целью. Естественными являются, например, световые сигналы, позволяющие видеть окружающий мир, космические сигналы. Примером специально создаваемых могут служить сигналы, генерируемые с целью извлечения информации об изменениях в объекте или процессе (эталонные сигналы).

Вдальнейшем понятие «сигнал», если это не оговорено специально, будет использоваться в узком смысле как сигнал, специально создаваемый для передачи сообщения в информационной системе. Материальную основу сигнала составляет какой-либо физический объект или процесс, называемый носителем (переносчиком) информации (сообщения). Носитель становится сигналом в процессе модуляции. Параметры носителя, изменяемые во времени в соответствии с передаваемым сообщением, называют информативными.

Вкачестве носителей информации используются колебания различной природы, чаще всегогармонические, включая частный случай — постоянное состояние (со = 0). В технических информационных системах наиболее широкое распространение получили носители в виде электрического напряжения или тока. Поэтому, рассматривая в дальнейшем модели сигналов, для конкретности,, будем соотносить их с электрическими сигналами.

Вносителе u(t) = const имеется только один информативный параметр

—уровень (например, уровень напряжения) . При использовании гармонических электрических колебаний информативными могут статьтакие параметры, как амплитуда, частота, фаза. Колебания принято подразделять на детерминированные и случайные.

Детерминированными называют колебания, которые точно определены в любые моменты времени.

Случайные колебания отличаются тем, что значения их некоторых параметров предсказать невозможно. Они могут рассматриваться как сигналы, когда несут интересующую нас информацию (случайные сигналы), или как помехи, когда мешают наблюдению интересующих нас сигналов.

2

При изучении общих свойств каналов связи, сигналов и помех мы отвлекаемся от их конкретной физической природы, содержания и назначения, заменяя моделями. Модель — это выбранный способ описания объекта, процесса или явления, отражающий существенные с точки зрения решаемой задачи факторы.

Задачи повышения эффективности функционирования информационных систем связаны с установлением количественных соотношений между основными параметрами, характеризующими источник информации и канал связи. Поэтому при исследовании используют математические модели. Математическое моделирование может быть реализовано различными методами в зависимости от способа, которым определяются интересующие нас показатели.

Фундаментальные исследования базируются на методе аналитического моделирования, заключающемся в создании совокупности математических соотношений, позволяющих выявить зависимости между параметрами модели в общем виде. При этом широко используются модели, параметры которых противоречат физическим свойствам реальных объектов. Например, модель сигнала часто представляется суммой бесконечного числа функций, имеющих неограниченную продолжительность (синусоид). Поэтому важно обращать внимание на условия, при которых это не мешает получать результаты, соответствующие наблюдаемым в действительности.

Так как источник сообщений выдает каждое сообщение с некоторой вероятностью, то предсказать точно изменения значения информативного параметра невозможно. Следовательно, сигнал принципиально представляет собой случайное колебание и его аналитической моделью может быть только случайный процесс, определяемый вероятностными характеристиками.

Тем не менее в случае детерминированного колебания условно также говорят о детерминированном сигнале. Такой сигнал отображает известное сообщение, которое нет смысла передавать. Ему соответствует модель в виде функции, полностью определенной во времени.

Изучение моделей детерминированных сигналов необходимо по многим причинам. Важнейшая из них заключается в том, что результаты анализа детерминированных сигналов являются основой для изучения более сложных случайных сигналов. Это обусловлено тем, что детерминированный сигнал может рассматриваться как элемент множества детерминированных функций, составляющих в совокупности случайный процесс. Детерминированное колебание, таким образом, представляет собой вырожденную форму случайного процесса со значениями параметров, известными в любой момент времени с вероятностью, равной единице. Детерминированные сигналы имеют и самостоятельное значение. Они специально создаются для целей измерения, наладки и регулирования объектов информационной техники, выполняя роль эталонов.

Сущность большинства задач анализа реальных сигналов состоит в том, чтобы эти сигналы представить в виде совокупности простых элементарных сигналов, удобном для последующего анализа их прохождения

3

через те или иные цепи. Например, реальный сигнал может быть представлен в виде суммы ортогональных составляющих (элементарных сигналов)

k =0

многими способами. Интервал [t1, t2] показывает время действия сигнала. Так как система ортогональных функций {ψk(t)}, применяемая для разложения, заранее известна, то сигнал полностью определяется набором весовых коэффициентов ak, k = 1, 2, ... , для этих функций. При приближенном представлении сигналов, что всегда имеет место в инженерной практике, набор чисел {ak} конечен. Такие наборы чисел называют спектрами сигналов.

Спектры, как известно из теории связи, являются удобной аналитической формой представления сигналов в рамках линейной теории. Основная задача – правильный выбор системы ортогональных функций (базиса), удобной для последующего анализа прохождения сигнала через те или иные цепи и каналы связи.

Совокупность методов представления сигналов в виде (3.1) называют

обобщенной спектральной теорией сигналов.

Представление (3.1) является разложением сигнала по системе базисных функций. К системе базисных функций предъявляют следующие основные требования: для любого сигнала ряд должен сходиться, функции ψk(t) должны иметь простую аналитическую форму; коэффициенты ak должны вычисляться относительно просто. Этим трем условиям удовлетворяют системы ортогональных функций.

Условие ортогональности нормированной базисной функции имеет вид

t1

где

0,i ≠ k

δik = =

1,i k

δik – символ Кронекера. Систему {φ(t)} называют ортонормированной. Для детерминированных сигналов наибольшее распространение получили методы спектрального анализа, использующие преобразования Фурье. В этих методах в роли ψk(t) выступают гармонические функции, а

роль коэффициентов ak играют амплитуды гармоник.

Важное значение гармонических сигналов для техники связи обусловлено рядом причин. В частности:

1. Гармонические сигналы инвариантны относительно преобразований, осуществляемых стационарными линейными электрическими цепями. Если такая цепь возбуждена источником гармонических колебаний, то сигнал на выходе цепи остается гармоническим с той же частотой, отличаясь от входного сигнала лишь амплитудой и начальной фазой.

4

2. Техника генерирования гармонических сигналов относительно проста.

Кроме гармонического сигнала, для анализа характеристик цепей в технике связи используют еще две очень важные функции: дельта-функцию и функцию единичного скачка.

Дельта-функция δ(t), или функция Дирака, представляющая собой бесконечно узкий импульс с бесконечной амплитудой, расположенный при нулевом значении аргумента функции. «Площадь» импульса тем не менее

Разумеется, сигнал в виде дельта-функции невозможно реализовать физически, однако эта функция очень важна для теоретического анализа сигналов и систем. На графиках дельта-функция обычно изображается жирной стрелкой, высота которой пропорциональна множителю, стоящему перед дельта-функцией (Рис. 3.1).

δ(t)

01

Рис. 3.1. График сигнала s(t) = δ(t) + 2δ(t – 1)

Одно из важных свойств дельта-функции – так называемое фильтрующее свойство. Оно состоит в том, что если дельта-функция присутствует под интегралом в качестве множителя, то результат интегрирования будет равен значению остального подынтегрального выражения в той точке, где сосредоточен дельта-импульс:

Из того факта, что интеграл от дельта-функции дает безразмерную единицу, следует, что размерность самой дельта-функции обратна размерности ее аргумента. Например, дельта-функция времени имеет размерность 1/с, то есть размерность частоты.

5

Функция единичного скачка σ(t), она же функция Хевисайда, она же

функция включения, равна нулю для отрицательных значений аргумента и единице – для положительных. При нулевом значении аргумента функцию считают либо неопределенной, либо равной 1/2:

График функции единичного скачка приведен на Рис. 3.2.

σ(t) 1

0 t

Рис. 3.2. Функция единичного скачка

Функцию единичного скачка удобно использовать при создании математических выражений для сигналов конечной длительности. Простейшим примером является формирование прямоугольного импульса с амплитудой А и длительностью Т: s(t) = A(σ(t) – σ(t – T)).

Вообще, любую кусочно-заданную зависимость можно записать в виде единого математического выражения с помощью функции единичного скачка.

Для случайных сигналов наибольшее распространение получили методы корреляционного и спектрального анализа, основанные на преобразовании Хинчина – Винера. Эти преобразования являются результатом распространения метода Фурье на случайные процессы. При разложении случайных процессов коэффициенты ак являются случайными величинами, а оптимальные базисы определяются через корреляционные функции этих процессов.

К задачам синтеза сигналов относят задачи определения формы сигналов (структурный синтез) и задачи определения параметров сигналов известной формы (параметрический синтез).

3.2. Частотная форма представления сигнала

Рассмотрим, какие функции целесообразно выбирать в качестве базисных при анализе инвариантных во времени линейных систем. При исследовании таких систем решения всегда содержат комплексные экспоненциальные функции времени. Детерминированные сигналы, описываемые экспоненциальными функциями времени, при прохождении через инвариантные во времени линейные системы не изменяются по своему

6

характеру, что является следствием инвариантности класса экспоненциальных функций относительно операций дифференцирования и интегрирования.

Широко используются представления детерминированных сигналов с применением базисных функций еpt как при р = ±jω (преобразование Фурье), так и при p = s+jω (обобщенное преобразование Фурье, известное как преобразование Лапласа).

До сих пор мы не касались физической интерпретации базисных функций. Для чисто математических преобразований она не обязательна. Однако такая интерпретация имеет безусловные преимущества, так как позволяет глубже вникнуть в физический смысл явлений, протекающих в системах при прохождении сигналов.

Использование экспоненциальных базисных функций в преобразовании Фурье комплексно-сопряженными парами (с положительным и отрицательным параметром ω) позволяет в соответствии с формулой Эйлера e jω / 2 + e− jω / 2 = cosωt представить сложный детерминированный сигнал в виде суммы гармонических составляющих. Поскольку параметр ω в этом случае имеет смысл круговой частоты, результат такого преобразования называют частотной формой представления сигнала.

В силу указанных преимуществ разложение сигналов по системе гармонических базисных функций подверглось всестороннему исследованию, на основе которого была создана широко известная классическая спектральная теория сигналов.

В частотном виде могут представляться как периодические, так и непериодические детерминированные сигналы.

Строго говоря, в реальных условиях периодические сигналы не существуют, так как идеальный периодический сигнал бесконечен во времени, а всякий реальный сигнал имеет начало и конец. Однако во многих случаях конечностью времени действия сигнала можно пренебречь и для анализа допустимо использовать аппарат, пригодный для идеальных периодических сигналов.

Спектры периодических сигналов. Простейшим периодическим сигналом является гармоническое колебание (тока, напряжения, заряда, напряженности поля), определяемое законом

при −∞ < t < +∞. Здесь А, Т, ωl, ψ – постоянные амплитуда, период, частота и фаза.

Указание этих параметров, образующих спектр гармонической функции, и будет ее частотным представлением.

Обычно прибегают к графическому изображению спектра. По оси абсцисс

7

наносятся частоты, по оси ординат – амплитуды и фазы. Для удобства вычерчиваются два графика, представляющих амплитудный и фазовый спектры соответственно. Очевидно, для гармонического сигнала каждый из этих спектров изобразится единственной точкой. График становится более наглядным, если из указанной точки опустить на ось частот перпендикуляр, который будет изображать так называемую спектральную линию.

Гармонический сигнал находит широкое применение на практике, в частности, при регулировке устройств обработки информации и снятии их амплитудных и частотных характеристик.

Произвольный детерминированный сигнал определяется как некоторая заданная функция времени x(t). В настоящее время в большинстве случаев произвольный детерминированный сигнал представляется в виде надлежащим образом выбранной совокупности элементарных сигналов. Основой для такого рассмотрения являются ряды Фурье.

Итак, любой сложный периодический сигнал может быть представлен в виде суммы элементарных гармонических сигналов, действующих при −∞ < t < +∞.

Пусть заданная на интервале t1 ≤ t ≤ t2 функция s(t) периодически повторяется

следующие условия (условия Дирихле):

1)в любом конечном интервале функция s(t) должна быть непрерывна или должна иметь конечное число разрывов первого рода;

2)в пределах одного периода функция s(t) должна иметь конечное число экстремальных значений.

Известны две формы разложения в ряд Фурье: тригонометрическая и

комплексная. Тригонометрическая форма разложения выражается в виде

9

практике не приходится специально оговаривать.

В тех случаях, когда сигнал представляет собой функцию, четную относительно t, т.е. s(t) = s(–t), в тригонометрической записи остаются только косинусоидальные члены, так как коэффициенты bn в соответствии с (3.9) обращаются в нуль. Для нечетной относительно t функции s(t), наоборот, в нуль обращаются коэффициенты ап (3.8), и ряд состоит только из синусоидальных членов.

Таким образом, структура частотного спектра периодического сигнала полностью определяется двумя характеристиками – амплитудной и фазовой, т.е. модулем и аргументом кoмплeкcнoй амплитуды [(3.10) и (3.11)]. Наглядное представление о «ширине» спектра и относительной величине отдельных eго составляющих дает графическое изображение спектра (см.

Рис. 3.3). Здесь по оси ординат отложены модули амплитуд, по оси абсцисс – частоты гармоник.

Спектр периодической функции состоит из отдельных «линий», соответствующих дискретным частотам: 0, ω1, 2ω1, ..., nω1. Отсюда и название – линейчатый, или дискретный, спектр.

Существует очень важное понятие – практическая ширина спектра сигнала. Интуитивно ясно, что если полоса пропускания какого-либо устройства недостаточно широкая, чтобы пропустить все гармоники, существенно влияющие на форму сигнала, то сигнал на выходе этого устройства исказится. Таким образом, можно сказать, что ширина полосы пропускания устройства не должна быть уже ширины спектра сигнала.

Существует несколько критериев для определения практической ширины спектра сигнала. Например, ширину спектра можно определять как область частот, в пределах которой сосредоточена основная энергия сигнала (например, 95 %). Можно отбрасывать все гармоники с амплитудами, меньшими 1 % максимальной амплитуды в спектре, тогда частоты оставшихся гармоник и определят ширину спектра сигнала.

Однако независимо от критерия, по которому определяют ширину спектра сигнала, можно выделить такие общие для всех сигналов закономерности: чем круче фронт сигнала, чем короче импульсы и чем больше пауза между импульсами, тем шире во всех этих случаях спектр сигнала, т.е. тем медленнее убывают амплитуды гармоник с ростом их номера.

Хотя условия одновременного ограничения длительности и полосы частот не могут быть выполнены в точности, однако можно ограничить спектр полосой F и иметь малые значения сигнала вне интервала Т.

Значение рядов Фурье в современной технике очень велико. Основанный на формулах (3.8 и (3. гармонический анализ сложных периодических сигналов в сочетании с принципом наложения (суперпозиции) представляет собой эффективное средство для изучения влияния линейных систем на прохождение сигналов.

Если на входе линейной системы, характеристики которой известны, существует сигнал e(t) (электродвижущая сила), то для нахождения

10

выходного сигнала достаточно учесть амплитудные и фазовые изменения, претерпеваемые каждой из гармонических составляющих сигнала при прохождении через рассматриваемую систему. Условие линейности системы позволяет рассматривать прохождение каждой из гармоник сигнала независимо от всех остальных гармоник.

Спектры непериодических сигналов. В реальных системах передачи всегда действуют непериодические сигналы, так как все сигналы имеют конечную длительность.

Непериодический сигнал можно рассматривать как периодический с периодом T → ∞. При этом разность частот между соседними гармониками стремится к нулю. Спектр становится сплошным, амплитуды – бесконечно малыми. При Т → ∞ частота ω1 превращается в dω, пω1 – в текущую частоту ω, а операция суммирования — в операцию интегрирования.

Если функция x(t) не ограничена во времени, удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном интервале и дополнительно удовлетворяет

т.е. интеграл (3.19) сходится, то ее можно представить следующим интегральным выражением:

называемым интегралом Фурье.

Внутренний интеграл, являющийся функцией ω, обозначим

Выражения (3.16) и (3.17) представляют собой прямое и обратное преобразования Фурье. S(ω) называется спектральной плотностью или спектральной характеристикой функции s(t). Выражение (3.17) представляет собой непериодическую функцию в виде суммы (интеграла) гармонических колебаний с бесконечно малыми амплитудами.

Из анализа преобразований Фурье вытекает следующее важное положение: огибающая сплошного спектра (модуль спектральной плотности) непериодической функции и огибающая линейчатого спектра периодической функции (полученной из непериодической путем продолжения ее с периодом Т) совпадают по форме и отличаются только масштабом.