Теория Информации / 04 Дискретизация и квантование непрерывных сообщений

11

случае все реальные непрерывные сообщения можно рассматривать как функции с ограниченным спектром, т. е. таким, в котором не содержится частот выше некоторой граничной частоты F.

В инженерной практике рассмотрение сигналов как функций с ограниченным спектром позволяет при проектировании аппаратуры связи ограничивать ее полосу пропускания. Так на практике часто сталкиваются со следующими примерными значениями ширины спектра сигналов в каналах связи: телеграфного – несколько сотен герц (в зависимости от скорости телеграфирования), телефонного – 3-5 кГц, вещания – 8-10 кГц, телевизионного – порядка 6 МГц.

Для таких функций В.А. Котельников сформулировал следующую теорему:

Любая непрерывная функция со спектром, находящемся в интервале (0, F), полностью определяется последовательностью ее значений в точках, отстоящих на 1/2F секунд друг от друга.

Доказательство теоремы Котельникова основано на разложении функции х(t) с ограниченным спектром в ряд. Спектр S(jω) рассматриваемой функции ограничен полосой ωв = 2πFв, т.е.

Рассмотрим комплексный спектр функции х(t). Он задан на интервале (–ωB, ωB) и может быть представлен рядом Фурье

Подставив значение Ck в (4.16), будем иметь

k=−∞

Уже это соотношение доказывает теорему Котельникова: так как между x(t) и S(jω) имеется однозначная связь, то x(t), как и S(jω) (см. (4.19)), однозначно определяется отсчетами {x(k∆t)}.

Выразим функцию х(t) через ее спектр, используя (4.15)

Учитывая сходимость ряда и интеграла Фурье, произведем перестановку операций интегрирования и суммирования:

и подставив его в (4.21), окончательно получаем выражение, называемое рядом Котельникова:

непрерывной функции х(t). Величины х(k t) – значения непрерывной функции в точках отсчета. Множитель вида

является функцией времени и называется функцией отcчетов (рис. 4.2).

14

Теорема Котельникова справедлива и для случая, когда непрерывное сообщение х(t) имеет спектр, заключенный в ограниченной полосе частот от fн до fв. В этом случае отсчеты следует брать через интервал времени

Строго говоря, условия теоремы Котельникова для реальных сигналов не удовлетворяются, поскольку они представляют процессы, ограниченные во времени, и поэтому их спектр не ограничен. Однако практически всегда можно ограничить сверху спектр реального сигнала достаточно большой частотой Fв так, чтобы составляющие спектра за ее пределами были незначительными.

Таким образом, учитывая отмеченные ранее особенности реальных сообщений (сосредоточенность почти всей энергии в конечных интервалах времени и полосы частот), выражение (4.22) можно с достаточной степенью точности использовать для представления реальных сообщений. В этом случае при длительности сообщения Тс число отсчетов m будет конечным

m = Tñ = 2FâTñ, (4.25) t

а (4.22) примет вид

При конечном числе отсчетов сумма (4.26) будет совпадать с мгновенными значениями х(t) не на всем интервале существования сообщения Тс, а только в отсчетных точках. В промежутках между этими значениями х(t) отличается от суммы конечного числа членов ряда, в результате чего возникает погрешность. Эта погрешность минимальна в середине интервала Тс и будет возрастать к его краям.

Определить среднеквадратичную ошибку восстановления сообщения конечной длительности рядом Котельникова с конечным числом членов затруднительно. Однако, если убывание модуля спектральной плотности происходит достаточно быстро, можно указать границы среднеквадратической ошибки δ, возникающей при восстановлении реального сообщения с неограниченным спектром рядом Котельникова (4.22) в следующем виде:

EE

С помощью оценки (4.29) можно определить Fв таким образом, чтобы погрешность восстановления непрерывного сообщения не превышала заданной величины.

В практических расчетах для определения относительной погрешности воспроизведения сообщений может быть использовано следующее

выражение:

∞

∫[S(ω)]2 dω

∫(S(ω)]2 dω

0

позволяющее по заданной величине δ при известных спектральных характеристиках сообщения найти верхнюю граничную частоту спектра ωв и интервал дискретизации

ее дискретным значениям x(k t) необходимо устройство с импульсной реакцией вида (4.23). На выходе такого устройства и будет воспроизводиться исходная непрерывная функция x(t).

Подобную импульсную реакцию имеет идеальный фильтр нижних частот с частотой среза F. Таким образом, непрерывная функция может быть восстановлена при пропускании последовательности импульсов вида x(k t)δ(t–k t) (решетчатой функции) через идеальный фильтр нижних частот с указанной частотой среза. Здесь δ(t–k t) – дельта-функция. Практически эти импульсы аппроксимируются, например, прямоугольными импульсами длительностью , где << t, и высотой x(k t)/ .

Ясно, что отклонение свойств ФНЧ от идеального ведет к некоторым искажениям в воспроизведении непрерывного сигнала по его дискретным отсчетам.

В заключение заметим, что, хотя не существует реальных сигналов со строго ограниченным спектром, это не умаляет практического значения выводов, сделанных из теоремы Котельникова. Принимая сигнал с практически ограниченным спектром (что всегда имеет место на практике) за идеальный сигнал со строго (в смысле условий теоремы) ограниченным

17

Число некоррелированных отсчетов N при этом определится так

N = Tc . (4.33)

τ0

Определение интервала корреляции τ0 производится с использованием

где Δωэфф определяется как основание прямоугольника с высотой, равной максимальному значению спектральной плотности Sx(ω), и площадью, равной площади под кривой спектральной плотности сообщения (рис. 4.5):

Для нестационарных функций используется понятие текущего интервала корреляции, который является функцией времени τ0 = τ0(t). В этом случае отсчетные значения непрерывного сообщения будут располагаться на оси времени неравномерно. Метод дискретизации Н.А. Железнова менее разработан, чем метод В.А. Котельникова, и поэтому не получил еще широкого распространения.

4.7. Адаптивная дискретизация

Если ранее рассмотренные методы и алгоритмы дискретизации были рассчитаны на все множество возможных реализаций сигнала и потому опирались на предельные значения его динамических характеристик, то при адаптивной дискретизации мы ориентируемся на динамические характеристики конкретной реализации, что позволяет получить минимальное число выборок, обеспечивающих восстановление этой реализации с заданной точностью.

В основе принципа адаптивной дискретизации лежит непосредственное слежение за текущей погрешностью восстановления сигнала ε .

Наиболее широкое применение на практике получили алгоритмы дискретизации с адаптацией по длине интервала аппроксимации. В процессе последовательного наращивания интервала аппроксимации производится сравнение сигнала u(t) с воспроизводящей функцией u* (t), формируемой с учетом текущих значений динамических характеристик сигнала. Когда погрешность воспроизведения достигает заданного значения ε0 , наращивание интервала прекращается и производится отсчет. Интервалы времени между отсчетами при этом оказываются произвольными.

В качестве воспроизводящих функций наиболее часто используются степенные алгебраические полиномы (4.6) нулевой и первой степеней. При этом возможны как интерполяционные, так и экстраполяционные способы

18

адаптивной дискретизации. Интерполяционные способы не нашли широкого применения, поскольку их реализация связана с запоминанием сигнала на интервале аппроксимации и выполнением большого числа вычислительных операций. Поэтому ограничимся рассмотрением примеров адаптивной дискретизации на основе экстраполяции.

4.8. Квантование сигналов по уровню

Поскольку математической моделью непрерывного сигнала является случайный процесс U(t), мгновенное значение сигнала U = U(ti ) представляет собой случайную величину. Диапазон ее изменения, называемый непрерывной шкалой мгновенных значений сигнала, ограничен значениями umin и umax , что отражает условие физической реализуемости сигнала. Непрерывную шкалу мгновенных значений un = umax − umin сигнала разбивают на п интервалов, называемых шагами квантования. Границами шагов

только одно значение ui′ является разрешенным (i-й уровень квантования). Любое другое из указанного множества значений округляется до ui′ . Совокупность величин ui′(i = 1,2,...,n) образует дискретную шкалу уровней квантования. Если эта шкала равномерна, т. е. разность значений ui′ = ui′ − ui′−1 постоянна на всем протяжении непрерывной шкалы мгновенных значений сигнала и, квантование называют равномерным. Если постоянство значений

ui′ не выдерживается — квантование неравномерное. Благодаря простоте технической реализации равномерное квантование получило наиболее широкое распространение.

В результате замены мгновенного значения сигнала U соответствующим уровнем квантования ui′ возникает погрешность

называют ошибкой квантования. Эта погрешность является случайной величиной. Нас чаще всего

значения этих величин

Рис.4.6. Равномерное квантование

δM 0 = δM /(umax − umin ), δ0 = δ /(umax − umin )

С позиций минимизации наибольшей возможной ошибки квантования непрерывную шкалу мгновенных значений сигнала целесообразно разбить на п одинаковых шагов квантования = (umax − umin ) / n и уровни квантования

19

разместить в середине каждого шага (рис. 4.6). При этом максимальная ошибка квантования не превышает 0,5 . Если каждый уровень квантования выбран равным нижней (верхней) границе шага квантования, максимальная ошибка квантования возрастает до величины .

Среднеквадратическое отклонение ошибки квантования для i-гo шага σ i зависит не только от шага i и расположения в нем i-го уровня квантования, но и от закона распределения мгновенных значений сигнала в пределах этого шага:

где p(u) — функция плотности вероятности мгновенных значений сигнала U. Считая шаги квантования малыми по сравнению с диапазоном изменения сигнала, плотность p(u) в пределах каждого i-гo шага можно принять постоянной и равной некоторому среднему значению, например p(ui′) . При таких предположениях минимальная среднеквадратическая ошибка σ i достигается при расположении уровня квантования в середине

шага:

Преобразовав подкоренное выражение к виду

2i /12 равномерно распределенного на этом шаге сигнала, умноженной на

непрерывной шкалы мгновенных значений сигнала определяется как

Таким образом, при квантовании с постоянным шагом и размещении уровней квантования в середине шага (равномерное квантование) среднеквадратическая ошибка квантования как для равномерного, так и для произвольного распределения мгновенных значений сигнала одинакова:

Шум квантования. При квантовании сигнала по уровню случайный процесс заменяется ступенчатой зависимостью . Изменяющуюся во времени ошибку квантования δ (t) , также представляющую собой случайный процесс, называют шумом квантования:

Рис.4.7. Определение ошибки квантования

Сохраняя ранее введенные предположения (о малости шага квантования и равномерности распределения в нем мгновенных значений сигнала) и считая случайные процессы U(t) и δ (t) эргодическими, среднеквадратическую ошибку равномерного квантования σ можно определить по реализации δ1 (t) (рис. 4.7). В пределах каждого шага квантования зависимость δ1 (t) заменяется прямой t tgβ1 , где β — переменный угол наклона прямой. При размещении уровней квантования в середине каждого шага математическое ожидание ошибки квантования равно

нулю, а ее среднеквадратическое значение определяется выражением

Так как tgβ = /T , то σ = / 23 , что соответствует ранее полученному значению [см. (4.42)].

При заданной допустимой среднеквадратической ошибке квантования и отсутствии помех число уровней квантования находим из соотношения

значений сигнала квантование с постоянным шагом не является оптимальным по критерию минимума среднеквадратической ошибки σ . Квантуя участки с менее вероятными значениями сигнала с большим шагом, указанное значение среднеквадратической ошибки можно уменьшить.