У замкнутой системы изменение аргумента при изменении частоты от 0 до :

для устойчивой системы

Изменение аргумента вспомогательной функции составит:

.

Тогда критерий Найквиста звучит так:

если система неустойчива в разомкнутом состоянии и имеет m положительных корней характеристического уравнения, то система в замкнутом состоянии будет устойчива лишь в том случае, если годограф разомкнутой системы охватывает точку (-1; ј0) в положительном направлении m раз, или, используя правило переходов: разность между количеством положительных переходов и количеством отрицательных переходов отрезка действительной оси будет равна .

Объединяя два случая, можно дать следующее определение критерия Найквиста:

Система в замкнутом состоянии будет устойчива, если разность между числами положительных и отрицательных переходов годографа АФЧХ разомкнутой системы на отрезке действительной оси будет равна, где т – количество правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Если АФЧХ начинается или заканчивается на отрезке ( -∞; -1), то считают, что характеристика совершает полперехода.

Примеры:

1. т = 2

2

.т = 2

Система неустойчивая.

3. т=5

Система устойчивая.

Запас устойчивости

Запас устойчивости по алгебраическому критерию Гурвица

, , где- запас устойчивости.

Запасом устойчивости считается некоторая величина , при которой самыйmin определитель Гурвица не должен быть меньше этой величины.

Запас устойчивости при частотных критериях устойчивости

При частотных критериях устойчивости различают два критерия: по амплитуде и по фазе. Запас устойчивости по амплитуде определяется наиближайшей точкой по отношению к критической. В численном значении - это длина отрезка [0;B], где В – точка пересечения годографа системы и отрицательной оси.

Нормированная величина запаса устойчивости:

- запас устойчивости по модулю.

Если , то система находится на границе устойчивости;

Если , то система устойчивая;

Если - система неустойчива.

На практике считается допустимым запас по амплитуде в логарифмическом масштабе - , что составляет.

Чтобы определить, обладает ли САУ заданным запасом устойчивости по амплитуде, проводится следующие исследования:

1. Строится годограф амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы.

2. Определяется ближайшая точка пересечения данного годографа с действительной осью по отношению к точке [-1,0].

3. Определяется запас устойчивости по формуле: , гдеh – это отрезок [0;B].

4. Если полученный запас устойчивости больше заданного, то САУ отвечает заданному запасу устойчивости, в противном случае САУ не обладает заданным запасом.

З

апасом устойчивости по фазе называется минимальный угол, образуемый отрицательной действительной осью и прямой, соединяющий начало координат и точку пересечения годографа амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы и окружности с единичным радиусом с центром в начале координат.

На практике допустимым запасом устойчивости считается угол: .

Если , то система не обладает запасом устойчивости;

Если , то система обладает запасом устойчивости.