4.6 Графический метод интегрирования уравнения движения (метод пропорций)

Сущность этого метода заключается в замене бесконечно малых приращений скорости и времени малыми, но конечными приращениями ω и t.

Действительные кривые ω=f(M) и ω=f(M_с), а так же ω=f(M_g) заменяются ступенчатыми. На каждом участке значения М и М_с или их алгебраическая сумма М_g=М-М_с принимаются постоянными и равными их среднему значению, т.е. предполагается, что в уравнение движения электропривода подставляются средние значения М и М_с.

В соответствие с этим уравнение движения можно представить, в виде:

Считая, что в интервале времени t разность М_ср-М_с.ср остается величиной постоянной, получим пропорцию

Для графического построения все входящие в нее величины должны изображаться в соответствующих масштабах, связанных между собой соотношением:

Пропорция, выраженная в отрезках на осях, будет иметь вид:

Произвольно выбираются 3 масштабных коэффициента (обычно m_M, m_ω, m_t).

Этот метод сводится к графическому построению кривых ω=f(t) и M=f(t) и определению времени переходного процесса.

Рассмотрим его на примере пуска электропривода вентилятора в одну ступень (для упрощения).

Во втором квадранте изображается механическая характеристика двигателя (для простоты считаем ее линейной) и механическая характеристика вентилятора – кривая М_с. Вычтя графически из кривой М=f(ω) кривую М_с=f(ω), получим кривую динамического момента М_д=М-М_с. Ее делим на участки произвольной длительности, на каждом из которых считаем М_дин=const т.е. кривую М_дин заменяем ступенчатой линией (см. рис. 4.6.1). Точность конечных результатов тем выше, чем на большее число участков разбита кривая М_дин.

Деление нужно выполнить так, чтобы площадки, создаваемые ступенчатой линией по обе стороны от исходной кривой, были равновеликими.

Полученные на отдельных участках средние значения динамических моментов оа₁, оа₂, оа₃ и т.д. откладываются на оси ординат в виде отрезков ов₁, ов₂, ов₃ и т.д. Полученные т.о. точки в₁, в₂, в₃ и т.д. соединяются вспомогательными наклонными линиями с точкой А, находящейся на оси абсцисс на расстоянии ОА, пропорциональном величине .

Затем из начала координат проводится ОС₁, параллельно линии АВ₁ до пересечения в точке С₁, с прямой, являющейся продолжением верхнего основания прямоугольника первой ступени приращения скорости. Точка С₁ является точкой искомой кривой ω=f(t) и определяет величину ω_. Действительно, отрезок ОС₁ характеризует закон изменения ω на первом участке от ω=0 до ω=ω_, что следует из подобия треугольников АОb₁ и ОC₁t₁.

Т.к. ;; , то

Проведя аналогичное построение для всех, последующих участков, найдем кривую ω=f(t) и искомое время пуска электропривода. Взамен ломанной линии скорости можно провести плавную кривую.

Для построения кривой М=f(t) необходимо для каждого момента времени t₁, t₂, t₃ и т.д. найти значения момента двигателя (отрезки измеряются от оси ординат до кривой М=f(ω) при соответствующем приращении ω). Например в момент времени t=0, – это отрезок ОВ. В момент времени t₁, – это отрезок ДF и т.д. Откладывая по вертикали от оси абсцисс при каждом моменте времени t₁, t₂, t₃ и т.д. значения найденных графически моментов двигателя, получим точки d₁, d₂, d₃, и т.д., соединяя которые плавной кривой, найдем зависимость M=f(t) в переходном процессе пуска.

Изложенный метод применим и для расчета переходного процесса при торможении электропривода. Нужно только иметь в виду, что при торможении динамический момент обычно равен сумме М и М_с и имеет отрицательный знак. Поэтому при построении средние значения М_дин откладываются по оси ординат вниз от точки 0.

4.7 Переходные процессы электропривода с линейной механической характеристикой при ω₀=f(t) иM_c=const

При пуске электропривода включением его в сеть на полное напряжение U=const и f₁=const переходные процессы возникают при скачке напряжения, или как принято говорить, при скачке управляющего воздействия ω₀=const. Для ограничения бросков тока и момента в разомкнутых системах в якорную или роторную цепь двигателя приходится вводить добавочное сопротивление. Переходные процессы в этом случае будут далекими от оптимальных.

В замкнутых системах (Г-Д, ТП-D, ТПЧ-АД и др.) имеется возможность формировать переходные процессы, близкие к оптимальным, путем плавного изменения управляющего воздействия. Они протекают в этом случае при ω₀=f(t). При этом имеется возможность ограничивать темп нарастания управляющего воздействия допустимым значением ω₀=ε₀t, где ε₀ – допустимое по тем или иным причинам ускорение электропривода.

Проанализируем особенности переходных процессов при линейном изменении управляющего воздействия во времени, т.е. при линейном изменении Ud или f₁, при котором ω₀=ω_{0 нач}+ε₀t.

Если подставить значение ω₀(t) в ранее полученное дифференциальное уравнение, определяющее переходный процесс при ω₀=const, получим

В случае влиянием электромагнитной инерции можно пренебречь, считая. Тогда

Правая часть этого уравнения – частное решение, соответствующее установившемуся режиму, который наступит после затухания свободных составляющих. Для этого режима общий характер движения такой:

ω=a+bt, где а и b – неопределенные коэффициенты, находимые из начальных условий.

Имея в виду, что , можно написать

. При t=0

Общее решение дифференциального уравнения относительно ω

При t=0 , откуда

.

Окончательно закон изменения скорости

Дифференциальное уравнение системы относительно момента при имеет вид с учетом динамического момента

,

а его решение относительно момента:

Воспользуемся полученными общими выражениями ω=f(t) и М=f(t) для анализа переходных процессов электропривода с линейной механической характеристикой при реактивном М_с, ограничившись только режимом пуска. Изобразим механические характеристики, на которых электропривод работает в процессе пуска, а рядом будут изображаться кривые переходного процесса.

Процесс пуска разбивается на 3 этапа. На первом этапе двигатель неподвижен (ω=0), а возрастание ω₀ вызывает линейное нарастание его момента.

т.к. ω_{0 нач}=0, ω=0

Первый этап заканчивается, когда М=М_с. Время запаздывания

(см. рис. 4.7.1).

По достижении моментом двигателя значения, равного М_с, двигатель приходит во вращение и начинается второй этап (II), который закончится, когда ω₀ перестанет изменяться, т.е. станет равной ω₀=const. Начальные условия для второго этапа: ω_нач=0; ω_{0 нач}=ω_с; M_нач=М_с.

Перенося начало координат в точку t_з и отсчитываем время отсюда. Следовательно, законы изменения ω и М будут такими при t=0

Кривые, отражающие процесс на этом этапе изображены на рис. 4.7.1“б”.

В конце второго этапа (t=t₀) двигатель выходит на характеристику, соответствующую ω₀=const. До этого он последовательно переходит с одной характеристики на другую, каждой из которых соответствует своя ω₀. (рис. 4.7.1“а”).

Зависимости ω=f(t) и М=f(t) позволяют построить фазовую траекторию, т.е. динамическую характеристику (см. рис. 4.7.1“а”).

На третьем этапе (III) двигатель работает при неизменном напряжении (неизменной частоте f₁) при ω₀=const. Происходит дотягивание двигателя до скорости ω_с, соответствующей установившемуся режиму в точке А. На этом этапе законы изменения ω и М описываются уравнениями, соответствующими ω₀=const, т.е. постоянству управляющего воздействия (постоянству U сети или постоянству частоты f₁).

Начало координат при этом надо перенести в точку t₀, т.е. время на этом этапе отсчитывается от t₀. Общее время переходного процесса t_пп=t_з+t₀+3T_M.