Руководства к лабам и др физика / Методички_Общая физика / Механика, колебания и МФ

82

будет соответствовать точка в этом пространстве. Из-за столкновений поло-

жения этих точек будут непрерывно меняться, но их плотность в каждом

месте будет оставаться неизменной (рассматривается равновесное состояние

газа). Вследствие равноправности всех направлений движения расположение

точек относительно начала координат будет сферически симметричным.

vz

Пусть из N молекул в интер-

вале от v до v dv находится dN

dV 4 v2d v

молекул. Это число пропорциональ-

но элементу объема в пространстве

v

d v

скоростей dV 4 v2dv и полному

числу молекул N

vy

2

dv ,

(3.11)

dN f v N 4 v

где f v - некоторый коэффициент

vx

пропорциональности, зависящий от

d 3v d v

d v

d v

скорости. Отношение dN / N - это

y

z

вероятность того, что из N молекул

x

Рис. 3.9

dN имеют скорости в интервале от

v до v dv

dP dN f v 4 v2dv .

(3.12)

v

N

И так как величина 4 v2dv - это элемент объема, то

f v можно назвать

объемной плотностью вероятности. Эта величина зависит только от модуля

скорости, поэтому вероятность того, что молекулы обладают скоростью в

интервале dvx ,dvy ,dvz

можно представить как произведение элемента объе-

ма d 3v dvxdvydvz на плотность вероятности f v

dPvx ,vy ,vz f v dvxdvydvz .

Максвелл предположил, что вероятность различных значений одной из

компонент скорости не зависит от того, какова величина других компонент

скорости. Отсюда следует, что события, заключающиеся в том, что скорость

некоторой молекулы находится в интервале d vx , той же молекулы в интер-

вале d vy и той же молекулы в интервале d vz , являются статистически неза-

висимыми. Вероятность каждого такого события можно представить в виде

dPvx

vx dvx , dPvy vy dvy , dPvz

vz dvz ,

где vx представляет собой вероятность того, что проекция скорости мо-

лекулы заключена в единичном интервале вблизи значения vx . Аналогичен

f

v v

vx

.

(3.13)

f v

vx

vx

v

vx

vx

.

vx

vx2 vy 2 vz 2

v

1 f

v

vx

1

.

v f v

vx vx

1 f v

,

0

v f v

v2

2

d v 1 4 A v

2

f v 4 v

exp

2

d v 1.

0

0

3/2

/ 3/2

. Откуда находим A

ние составляет

и тогда

2

2

3/2

v2

f v

exp

.

2

2

v

v f v 4 v2d v .

(3.14)

0

2

4

3/2

4

v2

3kT

v

4 v

f v d v 4

v

exp

d v

.

0

2

0

2

m

находим окончательно вид функции

f v

m

3/2

mv2

f v

exp

.

2 kT

2kT

86

3. Наиболее вероятная скорость. Это скорость, соответствующая максимуму

функции распределения. Для ее определения необходимо найти производную

dF / dv и положить ее равной нулю. Откуда находим

v

2kT .

вер

m

В заключение заметим, что распределение Максвелла является единст-

венно возможным равновесным распределением среди всех мыслимых рас-

пределений молекул по скоростям. Это означает, что если взять некоторое

F v

произвольное распределение, то со временем

оно обязательно перейдет в распределение

Максвелла. Представим, например, газ, моле-

кулы которого имеют одинаковые скорости

v0 . Его распределение по скоростям имеет

вид - функции (рис. 3.11). Со временем в ре-

v

зультате столкновений молекулы начинают

v0

«разбегаться» по скоростям, кривая распреде-

ления приобретает колоколообразный вид и в

Рис. 3.11

итоге переходит в распределение Максвелла.

v

а)

Рис. 3.12

б)

88

сплошную среду, отвлекаясь от его молекулярной структуры. Это допустимо

лишь для достаточно плотных газов при наличии большого числа столкнове-

ний молекул. Только в этом случае имеет смысл говорить о давлении, кото-

рое действует на слой dz со стороны соседних слоев. На выделенный слой

действует направленная вверх сила, обусловленная разностью давлений

dp 0 , и сила, действующая вниз со стороны внешнего поля. При равновесии

должно выполняться равенство

dp ndz f ,

где f

- проекция внешней силы, действующей на каждую молекулу. Вспом-

ним теперь, что проекцию силы можно выразить через градиент потенциаль-

ной энергии f dU / dz , где U - потенциальная энергия молекулы во внеш-

нем поле. Поэтому условие равновесия можно переписать как

dp ndU .

(3.15)

Обратимся теперь к уравнению состояния p nkT (здесь переменной являет-

ся концентрация молекул n ). Из него следует dp dn kT и тогда (3.15) при-

обретает вид

dn

dU .

n

kT

Его интеграл

ln n U U0 ,

n0

kT

где n0 - значение концентрации при U U0 . Полагая U0 0 , получаем

U

n n0 exp

kT

.

Этот закон выражает распределение молекул по значениям потенци-

альной энергии (распределение Больцмана). Рассмотрим случай изотермиче-

n

ской атмосферы в однородном поле силы тяжести,

для которого U mgz ( m -масса молекулы, g - ус-

T1 T2

корение свободного падения). В этом случае рас-

пределение Больцмана принимает вид

mgz

(3.16)

n n0 exp

,

z

kT

где n0 - значение концентрации на нулевой высоте.

Рис. 3.14

На рис. 3.14 представлен график данного распре-

деления при двух разных температурах.

89

Экспериментальная проверка закона распределения Больцмана была

проведена Перреном. При этом, определив постоянную k , можно было вы-

числить и постоянную Авогадро. Но напрямую измерить массу молекулы не

менее трудно, чем постоянную k . Эту трудность Перрен преодолел, поняв,

что роль молекул в (3.16) могут играть достаточно малые, но макроскопиче-

ские частицы, размер и массу которых можно измерить. Для этой цели он ис-

пользовал частицы гуммигута, поместив их в жидкость, плотность которой

была немного меньше, чем плотность частиц. Тогда поле силы тяжести будет

сильно ослаблено силой Архимеда, и распределение частиц по высоте стано-

вится не очень «крутым». Измерения проводились с помощью микроскопа, в

поле зрения которого находилось конечное число частиц, распределенных по

глубине. Работы Перрена доказали применимость распределения Больцмана

не только к молекулам, но и к микрочастицам.

Умножив обе части распределения (3.16) на kT , находим, что давление

p

в атмосфере Земли изменяется с высотой по

закону

p0

p p0 exp

gz

T1 T2

,

RT

где - молярная масса воздуха,

p0 - давление

на нулевой высоте. Это так называемая баро-

z

метрическая формула. На рис. 3.15 представ-

лено изменение давления с высотой для двух

Рис. 3.15

разных значений температур.

p

1

некоторых участках системе сообщается тепло Q1

(рис. 3.16), а на других – отнимается тепло Q2 . Из

Q

1

первого закона термодинамики следует, что работа

2

за один цикл

Q2

A Q1 Q2 .

V

Периодически действующий двигатель, со-

Рис. 3.16

вершающий работу за счет получения извне тепла,

называется тепловой машиной. При этом в работу

тела с более низкой температурой тепло Q

и отдает тепло Q телу с более

2

1

холодильный коэффициент

Q

Q

2

2

.

A

Q Q

1

2

нагреватель

нагреватель

Q1

Q

A

1

рабочее тело

рабочее тело

A

Q2

Q2

холодильник

холодильник

а)

б)

Рис. 3.17