Руководства к лабам и др физика / Методички_Общая физика / Механика, колебания и МФ

71

Первое начало термодинамики. Из анализа большого числа экспериментальных фактов следует, что приращение внутренней энергии макросистемы U при переходе из одного состояния в другое равно сумме совершенной над системой работы A и количества переданного системе тепла Q

U2 U1 Q A .

Обычно рассматривают не работу над системой A , а работу A , производимую самой системой. Их значения отличаются знаком A A . Поэтому

U2 U1 Q A Q U A.

Это уравнение и является первым началом термодинамики: количество теп-

лоты, сообщенное системе, идет на приращение ее внутренней энергии и на совершение работы над внешними телами. Все входящие сюда величины яв-

ляются алгебраическими и в системе СИ измеряются в джоулях. В дифференциальной форме первое начало термодинамики имеет вид

Q dU A,

где символ уже не является дифференциалом, а означает элементарное значение данной величины.

Для практического использования первого начала термодинамики, очевидно, необходимо иметь независимый способ расчета каждой из входящих в него величин.

72

3.1.5. Теплота. Теплоемкость

Для расчета количества теплоты, сообщенной телу, используют понятие теплоемкости. Различают 1) теплоемкость тела – количество теплоты, необходимое для повышения

температуры тела на один кельвин

Тогда

Q cтела dT .

Заметим, что без указания процесса данное выражение не имеет смысла, так как теплоемкость является функцией процесса, совершаемого системой.

2) удельная теплоемкость рассчитывается на единицу массы тела

Тогда

Q cmdT .

Если теплоемкость не зависит от температуры в заданном интервале, то это выражение упрощается

Qcm T2 T1 .

3)молярная теплоемкость рассчитывается на единицу количества вещества

73

Тогда

Q CdT .

Очевидно, удельная и молярная теплоемкости связаны соотношением

Cc .

Втехнических расчетах обычно используют понятие удельной теплоемкости, в физике – молярной теплоемкости.

Особое значение имеют теплоемкости для двух процессов: при постоянном объеме CV и при постоянном давлении Cp . При постоянном объеме

dV 0 , тогда согласно первому закону термодинамики имеем

Такая форма записи указывает на то, что при дифференцировании U по T объем V следует считать постоянным. Найдем теперь связь теплоемкостей Cp и CV . Для этого перепишем первый закон термодинамики Q dU pdV

Из (3.2) и (3.3) находим

Cp CV R .

Это так называемое уравнение Майера. Кроме того, из (3.1) и (3.2) находим выражение для расчета теплоемкости при любом процессе

C CV p dVdT ,

где V - объем одного моля газа.

Важной характеристикой газов является отношение Cp / CV , где

называют показателем адиабаты (позднее поймем почему). С учетом уравнения Майера

CV R 1 R .

CV CV

Откуда

74

3.1.6. Внутренняя энергия идеального газа

Опыт показывает, что внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры (при постоянной массе), причем U T . Отсутствие зависимости U от объема газа указывает на то, что молекулы идеального газа почти не взаимодействуют между собой. Если было бы взаимодействие между молекулами, то во внутреннюю энергию входила бы потенциальная энергия взаимодействия, зависящая от среднего расстояния между молекулами, т.е. зависела бы от объема как V 1/3 . Так как U не зависит от V , то найдем для нее выражение при V const . Полагая теплоемкость независимой от температуры, из (3.2) находим

U CVT .

Постоянную интегрирования мы опустили, так как она не существенна – во все соотношения входит не сама функция U , а ее изменение (аналогично потенциальной энергии в механике). Значение внутренней энергии можно также выразить через показатель адиабаты

Более детальный расчет внутренней энергии идеального газа и его теплоемкости проведем позднее, опираясь на гипотезу о равномерном распределении энергии по степеням свободы.

3.1.7. Изопроцессы. Работа при изопроцессах

Изопроцессами называют процессы, в которых один из параметров системы (кроме массы) остается неизменным. К ним относят: изохорический V const , изобарический p const и изотермический T const . Рассмотрим их по отдельности.

Изохорический. Так как V const , то из уравнения Менделеева-Клапейрона сразу следует, что давление газа пропорционально температуре. При этом газ не совершает работы. Из первого закона термодинамики следует, что все получаемое газом тепло идет на приращение внутренней энергии. Изобарический. Так как p const , то объем газа пропорционален температуре. Работа, которую совершает газ, равна

A pdV p V2 V1 R T2 T1 .

3.1.8. Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона

Адиабатическим называется процесс, протекающий без теплообмена с внешней средой, т.е. для него выполняется условие Q 0 . Найдем уравнение, связывающее параметры идеального газа при данном условии. В этом случае первый закон термодинамики имеет вид

0 dU pdV .

Это равенство с учетом уравнения Менделеева-Клапейрона и того, что мы уже умеем рассчитывать внутреннюю энергию, приобретает вид

CV dT RT dVV 0 .

Учтем теперь, что CV R / 1 , где - показатель адиабаты. Тогда приходим к уравнению

dTT 1 dVV 0 .

Интегрируя это уравнение, получаем

TV 1 const

или с учетом уравнения Менделеева-Клапейрона pV const

гии газа при адиабатическом процессе равна работе, которую совершает газ. Найдем ее. Для расчета работы нужна зависимость p V . Она заключена в

Эту же работу можно найти и через изменение температуры, опираясь на первый закон термодинамики

A dU A U1 U2 CV T1 T2 .

В заключение заметим, что адиабатический процесс также можно отнести к классу изопроцессов. Только сохраняющейся величиной в данном случае является пока неизвестная нам энтропия.

3.1.9. Политропические процессы

Это процессы, при которых теплоемкость тела является постоянной при изменении параметров системы, т.е. C const . Конечно, любые процессы с идеальным газом подчиняются уравнению Менделеева-Клапейрона. Наша же задача: найти уравнение для политропического процесса, в которое входили бы только два из параметров газа, например, p и V . Для этого запишем первое начало термодинамики для одного моля: Q dU pdV , гдеQ CdT , а dU CV dT . Итак

77

После исключения из (3.4) и (3.5) температуры получаемC CV R pdV C CV Vdp 0 .

Вспомним, что CV R Cp . Тогда приходим к уравнениюC Cp dVV C CV dpp 0 .

Его интеграл

C Cp lnV C CV ln p const .

И если C CV после потенцирования приходим к уравнению политропы

называется показателем политропы. Уравнение (3.6) очень похоже на уравнение Пуассона и обобщает все известные нам изопроцессы. Изобарическому процессу соответствует n 0 , изотермическому - n 1, адиабатическому -

n Cp / CV , изохорическому - n . Из (3.7) нетрудно найти значение

теплоемкости при политропическом процессе

C nCV Cp . n 1

Эта формула обобщает значение теплоемкости для любого изопроцесса. При n 1 (изотермический процесс) - C , при n 0 (изобарический процесс) - C Cp , при n (изохорический процесс) - C CV и при n (адиабатиче-

ский процесс) - C 0 .

3.2. Молекулярно-кинетическая теория

Теперь нам предстоит раскрыть физический смысл и природу непосредственно наблюдаемых параметров p,T и др., исходя из молекулярнокинетических представлений. При этом будем использовать статистический метод, интересуясь лишь средними величинами, характеризующими движение громадного числа молекул.

3.2.1. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов

Данное уравнение позволяет рассчитать давление идеального газа. Давление в газе без каких-либо внешних воздействий (например, силы тяже-

78

сти) обусловлено соударением молекул со стенками сосуда. Если мы уберем стенки, то молекулы просто разбегутся, и исчезнет всякое давление. Будем полагать удары молекул о стенку упругими.

Рассмотрим несколько странный газ, молекулы которого с массой m движутся в стенка направлении стенки с одинаковыми скоростями vx (рис. 3.7). На самом деле все моле-

равно изменению импульса молекул P , успевших удариться о стенку за t F t P .

При ударе каждая молекула изменяет импульс на P 2mv . Тогда P

1 x

должно быть равно 2mvx N , где N - число ударившихся молекул. Его можно найти как произведение плотности числа молекул газа n на объем

V , стартуя из разных точек которого, молекулы успевают долететь до стенки за время t . Очевидно, V vx t S . Таким образом, второй закон Нью-

тона приобретает вид

F t 2mvx n vx t S .

Так как отношение F / S есть давление p , то для него получаем

p 2nmvx2 .

Исправим теперь неточности, заложенные в постановке задачи. Вопервых, молекулы имеют разные скорости и во-вторых, не все молекулы движутся вдоль оси x . Для этого усредним выражение для давления по скоростям

p nm vx2 .

Множитель 2 пропал, так как вдоль оси x движется только половина молекул. Исправим теперь вторую неточность. Для этого учтем равенство

v2 vx2 vy 2 vz 2 и усредним его по всем молекулам. Так как движение мо-

лекул абсолютно хаотично, то vx2 vy2 vz 2 и тогда

79

v2 3 vx2 vx2 13 v2 .

И окончательно для давления получаем

p 13 nm v2 .

Это и есть основное уравнение молекулярно-кинетической теории для идеального газа (уравнение Клаузиуса). Его можно записать и иначе

где пост mv2 / 2 - среднее значение кинетической энергии поступатель-

ного движения молекул. Уравнение (3.8) также можно записать в виде

pV 23Wпост ,

где Wпост - кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа.

3.2.2. Закон равнораспределения энергии по степеням свободы

Сравним два выражения для давления идеального газа p 23 n пост и p nkT . Отсюда видно, что

Это равенство представляет собой чрезвычайно важный результат: абсолют-

ная температура есть величина, пропорциональная средней энергии посту-

пательного движения молекул. И при абсолютном нуле прекращается всякое движение молекул (на самом деле, как утверждает современная квантовая физика, при абсолютном нуле остаются так называемые «нулевые колебания»). Из (3.9) можно, кстати, найти и средний квадрат скорости молекул

Формула (3.9) определяет энергию только поступательного движения молекул. Существуют и другие типы движения, с которыми также связан некоторый запас энергии. Для расчета энергии, приходящейся на различные типы движений, введем понятие числа степеней свободы i . Числом степеней свободы механической системы называется количество независимых величин, требуемых для задания положения системы в пространстве.

80

Для одноатомной молекулы (точки) требуется 3 координаты, т.е. i 3 (рис. 3.8); для двухатомной жесткой молекулы i 5 , так как из 6 координат независимыми являются только 5 (шестая определяется фиксированностью расстояния между атомами). Для трехатомной молекулы и большего числа атомов i 6 . В общем случае для любого твердого тела число степеней свободы равно 6. Заметим, что, сколько бы степеней свободы ни имела молекула, три из них – поступательные. Остальные могут приходиться на вращательные степени свободы и колебательные.

z

y

x

Рис. 3.8

В классической статистической физике существует закон равнораспределения энергии по степеням свободы: на каждую степень свободы молекулы приходится в среднем энергия kT / 2 . Причем, на каждую колебательную степень свободы приходится в среднем две половинки kT - одна на кинетическую энергию, другая – на потенциальную. Таким образом, средняя энергия молекулы равна

2i kT ,

где i - сумма числа поступательного, вращательного и удвоенного числа степеней свободы.

3.2.3. Связь внутренней энергии и теплоемкости с числом степеней свободы

Молекулы идеального газа по определению не взаимодействуют между собой. Поэтому внутреннюю энергию идеального газа нетрудно найти как произведение числа молекул N на среднюю энергию одной молекулы

U N 2i kT

или с учетом формулы N NA

U 2i RT

(мы учли, что kNA R ).

Для теплоемкостей CV и Cp получаем