Руководства к лабам и др физика / Методички_Общая физика / Механика, колебания и МФ

2.3. Вынужденные колебания

Для поддержания колебаний в диссипативных системах необходимо подводить извне энергию. Это можно сделать, например, воздействуя на колебательную систему внешней периодической силой (есть и другие пути, как, например, в параметрических и автоколебательных системах). Будем полагать внешнюю силу, изменяющейся по гармоническому закону F F0 cos t , где F0 - амплитуда силы, - ее частота. Запишем второй закон Ньютона для пружинного маятника

mx rx kx F0 cos t

и введем обозначения: r / (2m) , k / m 0 - частота собственных колебаний при отсутствии трения и внешней силы, F0 / m f0 . Тогда уравнение динамики маятника примет вид

Это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и ненулевой правой частью (неоднородное). Из теории решения данных уравнений известно, что его решение складывается из двух слагаемых:

общего решения однородного уравнения xобщ a0 exp t cos t и некоторого частного решения неоднородного уравнения. Если не рассматривать переходные процессы при установлении вынужденных колебаний, то решение уравнения (2.12) можно взять в виде

x a cos t .

62

Здесь a - амплитуда вынужденных колебаний, зависящая от частоты внешней силы, - сдвиг фазы колебаний относительно внешней силы. И, что очень важно, мы полагаем, что система испытывает колебания на частоте внешней силы, «забыв» про свою частоту. Для определения постоянных a и

воспользуемся векторной диаграммой. Для этого найдем производные x, x

ивместе с x подставим в (2.12)

В соответствие с векторным представлением гармонического колебания дан- ное равенство можно отобразить на рис. 2.13. Из него находим

Из этих формул отчетливо видно, что амплитуда колебаний и их сдвиг фазы явно зависят от частоты внешней силы.

Резонанс. Построим зависимость a для нескольких значений коэффициента затухания (рис. 2.14). Эта зависимость имеет максимум на некоторой

Рис. 2.16

ме того, добротность системы при малом затухании равна отношению амплитуды колебаний в момент резонанса aрез к

статическому смещению осциллятора xстат при 0

Q aрез .

xстат

Таким образом, добротность колебательной системы характеризует не только остроту резонанса, но и является некоторым коэффициентом усиления.

2.4. Связанные колебания

До сих пор мы занимались изучением колебательных систем с одной степенью свободы. Число степеней свободы определяется как минимальное количество независимых переменных, необходимое для описания движений в системе. В механической системе оно равно минимальному числу точек, которые необходимо зафиксировать для того, чтобы прекратить движение. Мы рассмотрим колебания только в системах с двумя степенями свободы. Эти системы можно представить как две отдельные системы с одной степе-

2 B 22 B 2 A 0.

Для нетривиальности решения этой системы однородных уравнений относительно A, B необходимо потребовать

Откуда получаем

4 2 12 22 12 22 1 2 0 .

Решение данного биквадратного уравнения дает две возможные частоты ко-

Эти частоты не совпадают с парциальными и называются собственными или нормальными частотами системы. Их значения определяются только свойствами системы и не зависят от разбиения системы на парциальные. В соответствии с принципом суперпозиции полное решение системы уравнений (2.16) можно представить в виде

где величины æ1 и æ2 не зависят от начальных условий, полностью определяется параметрами системы, и называются коэффициентами распределения

Координаты X и Y , определенные таким образом, называются нормальными координатами системы, а уравнения (2.19) описывают нормальные моды ко-

66

лебаний и характеризуются одной из нормальных частот системы. Координаты 1 и 2 связаны с нормальными координатами X и Y соотношениями

1 X Y , 2 æ1 X æ2Y .

Главной особенностью уравнений движения, записанных в нормальных координатах, является отсутствие членов, описывающих связь между парциальными системами, и каждое такое уравнение содержит только одну зависимую переменную. Кроме того, в выражениях для потенциальной и кинетической энергий, записанных в нормальных координатах, как легко проверить, отсутствуют члены с произведением координат (или их производных).

Для одинаковых связанных маятников при начальных условиях

и представлены на рис. 2.18. Оба маятника совершают биения, огибающая которых сдвинута по времени на T / 4 T 4 / 2 1 , т.е. периодически происходит полная перекачка энергии от одного маятника к другому.

0

t

0 2

t

Рис. 2.18

67

3. Термодинамика и статистическая физика

При изучении механики нас не интересовало строение вещества. Такой подход, естественно, не позволяет получить достоверную информацию об окружающем нас мире. Объектом изучения термодинамики и статистической (молекулярной) физики являются системы, состоящие из очень большого числа частиц (молекул, атомов и др.). Например, в одном кубическом метре воздуха при нормальных условиях содержится порядка 1026 молекул. Такие системы принято называть макросистемами. По мнению нобелевского лауреата по физике Р.Фейнмана идея атомарного строения вещества является одним из главных утверждений, которое выработало человечество за годы своего существования. И если в результате какой-то мировой катастрофы все накопленные научные знания оказались бы уничтоженными, то именно идея молекулярного строения вещества помогла бы наиболее быстро восстановить всю потерянную информацию. Понятно, что описание макросистем бессмысленно на основе законов классической механики. Но именно гигантское число частиц в системе привело к разработке двух принципиально отличных подходов – термодинамики и статистической физики.

Молекулярная физика исходит из представлений о молекулярном строении вещества – все тела состоят из молекул, находящихся в непрерывном хаотическом движении и взаимодействующих между собой. Молеку-

лярная физика позволяет объяснить свойства макросистем как суммарный результат действия отдельных молекул. При этом используются статистические методы, позволяющие рассчитать только средние значения определенных величин (скорости, энергии…).

При термодинамическом же подходе не рассматриваются конкретные представления о строении вещества. Используются понятия и величины, относящиеся к системам в целом. Термодинамика является постулативной наукой и основана на некоторых общих законах или началах, которые представляют собой обобщение большого числа опытных фактов.

Оба этих подхода взаимно дополняют друг друга и только их комбинированное применение позволяет понять поведение макросистем.

3.1.Феноменологическая термодинамика

3.1.1.Состояние системы. Параметры и процессы

Под состоянием понимают то положение, в котором находится система. Существует несколько способов описания состояния – макросостояние и микросостояние.

68

При описании макросостояния система характеризуется величинами,

которые называются термодинамическими параметрами (давление p , объ-

ем V , температура T и др.). Если эти параметры имеют определенные и постоянные значения для любой части макросистемы, то ее состояние является равновесным. Будучи выведена из состояния равновесия система становится неравновесной и в дальнейшем возвращается без внешних воздействий в равновесное состояние. Это утверждение иногда называют нулевым началом термодинамики.

Микросостояние системы может быть задано положением и скоростью каждой молекулы. Понятно, что такой способ описания состояния системы является более информативным, но и гораздо более трудоемким, чем макроскопический способ.

Любой процесс, т.е. переход системы из одного

вается стрелкой.

Равновесный процесс может быть проведен в обратном направлении через ту же последовательность равновесных состояний. Такие процессы называют обратимыми. Как правило, любой равновесный процесс является обратимым. Примеры обратимых процессов: колебания маятника без трения, передача тепла от одного тела к другому при бесконечно малой разности температур и т.д. Необратимые процессы в отличие от обратимых не позволяют осуществить обратный переход через ту же последовательность состояний, что и при прямом переходе, без какого-либо внешнего воздействия. Всякий необратимый процесс – это процесс, обратный которому маловероятен. Это, например, процессы диффузии, теплопередачи при наличии конечной разности температур, процессы с трением и т.д. Прекрасным примером необратимого процесса является растворение капли чернил в стакане с водой. Расплывшиеся молекулы чернил никогда самостоятельно не смогут собраться в каплю!

Одним из главных параметров макросистем является температура T . Это величина, характеризующая состояние термодинамического равновесия

69

макросистем и не имеет смысла для систем, состоящих из небольшого числа частиц. Если при установлении теплового контакта между телами одно из тел передает энергию (тепло) другому, то считают, что первое тело имеет бóльшую температуру, чем второе. Термодинамическая шкала температур (шкала Кельвина) строится по одной реперной точке, так называемой тройной точке воды Tтр , в которой в состоянии равновесия могут находиться три

фазы воды – твердая, жидкая и газообразная. По определению Tтр 273,15K . Температура t по шкале Цельсия связана с температурой T по шкале Кельвина равенством t0C T 273,15 . Температуру T 0 называют абсолютным нулем и ей соответствует t 273,15 0C . В дальнейшем мы выясним физический смысл температуры T .

3.1.2. Уравнение состояния идеального газа

Модель идеального газа является самой простой и вместе с тем хорошей моделью, описывающей поведение газа при не слишком низких температурах и больших давлениях. Это газ, молекулы которого не имеют собственного объема и не взаимодействуют на расстоянии. Вместе с тем взаимодействие между молекулами даже в случае идеального газа принципиально должно быть, так как только благодаря этому в системе может установиться равновесие. Можно сказать так, что идеальный газ – это газ, каждая молекула которого считает, что она одна в мире.

Под уравнением состояния газа понимают уравнение, связывающее параметры газа p,V ,T . Для идеального газа это уравнение имеет вид

pV RT .

Его называют уравнением Менделеева-Клапейрона. Здесь N / NA m / - количество вещества, измеряемое в молях, N - число молекул газа, m - масса газа, - молярная масса (г/моль), NA 6,02 1023 1/моль - число Авогадро,

R 8,31Дж/(моль К) - универсальная газовая постоянная, связанная с N A

соотношением R kNA , где k 1,38 10 23 Дж/К - постоянная Больцмана. Напомним, что моль – это количество вещества, в котором содержится N A одинаковых частиц, молярная масса – это масса одного моля, определяемая по таблице Менделеева. Нетрудно проверить, что уравнение состояния можно также записывать в двух других эквивалентных формах

pV NkT , p nkT ,

где n N / V - концентрация частиц (число частиц в единице объема).

70

Существуют и другие уравнения состояния, опирающиеся на другие модели (например, уравнение Ван-дер-Ваальса).

3.1.3. Первое начало термодинамики

Перейдем теперь к рассмотрению одного из фундаментальных законов физики макросистем – первому началу термодинамики. Оно является обобщением большого числа экспериментальных фактов и представляет собой, по сути, переложение закона сохранения энергии на тепловые процессы в самом общем виде. Этот закон содержит три величины: внутреннюю энергию U , работу A и теплоту Q . И прежде, чем формулировать сам закон, рассмотрим смысл этих трех величин.

Внутренняя энергия. Эта величина является функцией состояния системы и состоит из:

1)суммарной кинетической энергии хаотического (теплового) движения молекул в системе ее центра масс (т.е. система покоится как целое и ее полный импульс равен нулю),

2)собственной потенциальной энергии взаимодействия молекул и

3)внутренней энергии самих молекул.

То, что эта величина является функцией состояния системы, означает, что внутренняя энергия не зависит от того, каким «путем» система пришла в данное состояние. С математической точки зрения этот факт означает, что изменение данной величины можно представить как

2

U U2 U1 dU .

1

Теплота и работа. Изменить внутреннюю энергию, как показывает опыт, можно, совершив над системой работу A , либо путем теплопередачи. Совершение работы сопровождается перемещением внешних тел, действующих на систему. Сообщение же системе тепла не связано с перемещением внешних макроскопических тел. В этом случае изменение внутренней энергии обусловлено тем, что отдельные молекулы более нагретого тела совершают работу нал молекулами менее нагретого тела (заставляют их двигаться быстрее). Количество переданной при этом энергии называется теплотой, а сам этот процесс – теплопередача. Из сказанного следует, что нельзя говорить о том, какое тепло содержится в теле, можно говорить лишь о том, сколько тепла получила или отдала система. В отличие от внутренней энергии ни теплота, ни работа не являются функцией состояния. Например, если система переходит из одного состояния в другое, то совершенная работа и полученное системой тепло явно зависят от пути перехода.