Руководства к лабам и др физика / Методички_Общая физика / Механика, колебания и МФ

Математический маятник представляет собой материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити длиной l . Для нахождения его периода колебаний Tмм необходимо в (2.5) положить b l, I ml2

Tмм 2 l / g .

Величину lпр I / mb для физического маятника называют его приве-

денной длиной. Точку O (рис. 2.3), которая находится на прямой, проходящей через точку подвеса O и центр инерции и отстоящую от точки O на расстояние lпр называют центром качания. Одно из его замечательных

свойств: если физический маятник заставить качаться вокруг этой точки, то его период колебаний не изменится.

Не следует считать, что гармонические колебания вида (2.3) могут быть реализованы только в простейших системах. Рассмотрим в качестве нетривиального, хотя уже и ставшим классическим примера – известную модель экологии «хищник-жертва» (модель Лотка - Вольтерра). В этой модели рассматриваются два вида животных, один из которых питается другим. Например, на

замкнутом ареале живут лисы (хищники) и зайцы (вегетарианцы). Зайцы (их число N1(t) ) пита-

ются только растительной пищей, имеющейся в избытке. Лисы (их число N2 (t) ) питаются только

зайцами. Поставим вопрос: могут ли лисы съесть всех зайцев?

Если жертвы живут на ареале одни и пищи им хватает, то численность этого вида будет увеличиваться с некоторой скоростью, пропорциональной числу жертв на данный момент

N1 1N1 .

Здесь 1 - постоянный положительный коэффициент прироста. Если бы на ареале жили одни

хищники, то из-за отсутствия пищи они вымирали бы с постоянной скоростью, пропорциональной их числу на данный момент

N2 2 N2

( 2 - постоянный положительный коэффициент вымирания). Разумно допустить, что при совме-

стном проживании обоих видов численность хищников будет увеличиваться тем быстрее, чем чаще они сталкиваются с жертвами (соответственно уменьшается число жертв). Эта частота столк-

новений пропорциональна произведению N1N2 . Таким образом, для описания численности двух совместно проживающих видов мы приходим к системе дифференциальных уравнений

( 2 - положительная постоянная, характеризующая гибель жертв из-за встречи с хищниками; 1 -

положительная постоянная, характеризующая размножение хищников).

Интуитивно понятно, что в данной системе на достаточно большом временном интервале в среднем должно реализоваться состояние равновесия, относительно которого возможны колеба-

ния численности обоих видов. Пусть N1 и N2 - средние значения числа жертв и хищников,

характеризующие состояние равновесия. Из уравнений (2.7) при N1 N2 0 находим

Дифференцируя первое из этих уравнений по времени и используя второе, приходим, как ни странно, к уравнению для гармонического осциллятора n1 2n1 0 (такое же уравнение полу-

чается и для n2 , где 2 1 2 ). Отсюда сразу следует, что в принятой нами модели численность животных обоего вида будет периодически изменяться по гармоническому закону.

2.1.2. Представление колебаний в векторной и комплексной формах

Решение ряда вопросов значительно облегчается, если использовать так называемый векторный способ представления гармонического колебания

x a cos t . Такое колебание отображается

точкой на плоскости xOy (рис.2.5) с координатами x, y . При этом действительные числа отображаются точками оси X (действительная ось), мнимые числа – точками оси Y (мнимая ось). Кроме того, каждой точке x, y соответствует определенный вектор - радиус-вектор этой точки. Поэтому ком-

54

плексные числа можно представлять также в виде радиус-векторов на плоскости.

В полярных координатах координаты любой точки плоскости можно

стояние от начала координат до точки, изображающей число, называется

модулем комплексного числа z (обозначается z ) z x2 y2 . Число

называется аргументом комплексного числа z . С помощью классической формулы Эйлера

ei cos isin

любое комплексное число z с модулем и аргументом можно записать в следующей показательной форме

cos isin ei .

Мнимую единицу можно рассматривать как векторный оператор, имеющий определенный физический смысл. Когда какой-либо вектор умножается на i (т.е. оператор i действует на вектор), то вектор поворачивается на угол / 2 против часовой стрелки. Наряду с комплексным числом

z x iy можно ввести комплексно сопряженное число z x iy или в по-

казательной форме z exp i . Нетрудно видеть, что z z 2 . Произве-

дение z z называется квадратом модуля комплексного числа z и иногда обозначается как z 2 .

В соответствии с вышесказанным любое гармоническое колебание типа x a cos t можно записывать в виде

x a cos t Re aei t .

Такое представление значительно облегчает решение многих задач, связанных с исследованием колебаний. Для этого sin x или cos x заменяют функци-

ей eix exp ix , а для того, чтобы вернуться к исходной форме записи – брать

мнимую часть решения в случае синуса и действительную часть - в случае косинуса.

2.1.3.Сложение колебаний

Вдальнейшем мы встретимся с физическими ситуациями, в которых происходит сложение двух и более гармонических колебаний одной системы. Это, например, имеет место для так называемых связанных систем или при одновременном действии на систему нескольких сил.

Такое колебание отражено на рис. 2.8. Наличие знака модуля у медленно изменяющейся амплитуды приводит к тому, что частота изменения амплитуды (частота биений) в два раза больше частоты / 2 , т.е. частота биений равна частоте расстройки системы.

57

Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний

Пусть точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях вдоль осей X и Y . Выберем начало отсчета времени так, чтобы уравнения отдельных колебаний выглядели следующим образом

Здесь - разность фаз колебаний. Уравнения (2.9) определяют в параметрической форме уравнение траектории y(x) , по которой движется точка, участвующая в обоих колебаниях. Найдем это уравнение, исключив из (2.9) параметр t . Для этого найдем из первого уравнения

и подставим во второе уравнение (после раскрытия cos t ). Получаем

Это уравнение эллипса, ориентированного произвольным образом относительно осей X и Y . Таким образом, точка, участвующая в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях с одинаковой частотой, движется в общем случае по эллиптической траектории.

Частные случаи.

58

1. 0 . Тогда из уравнения (2.10) следует: y ba x , т.е. точка переме-

щается по прямой (рис. 2.9а), причем расстояние ее от начала координат из-

меняется со временем по гармоническому закону r a2 b2 cos t . В этом случае говорят, что колебания имеют линейную поляризацию.

2. . Тогда из уравнения (2.10) следует, что точка совершает гар-

монические колебания вдоль прямой y ba x (рис. 2.9б).

3. 2 . Теперь точка совершает движение по эллипсу, приведенно-

против часовой стрелки. При равенстве амплитуд a и b эллипс вырождается в окружность.

Рис. 2.9

Из сказанного следует довольно неожиданный и имеющий большое практическое значение вывод о том, что движение точки по эллипсу может быть представлено как суперпозиция двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний. В этом случае говорят, что колебание имеет эллиптическую поляризацию. Понятие поляризации – одно из важнейших в оптике и оно основано на представлении о сложении двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.

При небольшом различии частот двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний на величину уравнения (2.9) можно представить как