Руководства к лабам и др физика / Методички_Общая физика / Механика, колебания и МФ

41

Прекрасной иллюстрацией этого принципа является втягивание теннисного мячика в сильную воздушную струю пылесоса.

1.5.6. Упругие деформации твердого тела

Под действием внешних сил возникают деформации тел. Если после прекращения действия сил восстанавливаются форма и размеры тела, то деформация называется упругой. Деформация имеет упругий характер, если внешняя сила F не превосходит предела упругости. При превышении этого предела деформация становится пластической. В этом случае после устранения внешних сил форма и размеры тела полностью не восстанавливаются. Мы будем рассматривать только упругие деформации стержней. Однородные стержни ведут себя при растяжении и одностороннем сжатии подобно пружине. Деформация приводит к появлению в стержне механического напряжения F / S , где S - площадь поперечного сечения стержня. В случае растяжения 0, в случае сжатия - 0 . Деформации характеризуют через приращение длины стержня l - абсолютная деформация и относительное приращение длины стержня l / l , где l - исходная длина стержня (рис.

l 1.32). Опытным путем установлено, что относительная деформация пропорциональ- F на механическому напряжению . В качестве коэффициента пропорциональности берут так называемый модуль Юнга E , зависящий

E Н/м2 . Тогда связь деформации и напряжения за-

E .

Эта формула выражает собой закон Гука. Заметим, что растяжение и сжатие стержней сопровождается соответствующим изменением их поперечных размеров и упруго деформированное тело приобретает некоторый запас энергии. Найдем энергию упругой деформации W , опираясь на ее связь с работой внешней силы F . При изменении длины стержня на dx внешняя сила совершает работу dA Fdx , где сила F может быть найдена из закона Гука F ES . Тогда dA ES dx . Выразим абсолютную деформацию dx через относительную dx l d . Тогда получаем dA ESl d E d V (V - объем стержня). Полная работа, связанная с конечной относительной деформацией, будет равна

A V E d 12 E 2 V .

43

отсчета равномерно и прямолинейно или покоится. Данное утверждение но-

сит название принципа относительности Галилея.

1.6.2. Постулаты теории относительности

Для описания движений, совершающихся со скоростями, сравнимыми со скоростью света, Эйнштейном была создана специальная теория относительности (1905г.). Позднее (1915г.) была создана общая теория относительности. Необходимость создания теории относительности вытекала из анализа большого числа экспериментальных фактов (и в первую очередь из опыта Майкельсона-Морли). Основу специальной теории относительности образу-

ют два постулата Эйнштейна: принцип относительности и принцип постоянства скорости света.

Принцип относительности Эйнштейна является обобщением механического принципа относительности Галилея на все без исключения физические явления: все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Второй постулат утверждает, что скорость света в пустоте одинакова во всех ИСО и не зависит от движения источников и приемников света.

по концам стержня – в точках A и B - фотоэлементы (рис. 1.34). В некоторый момент лампочка вспыхивает и в направлении точек A и B пойдут световые импульсы. Так как скорость распространения света в системе отсчета, связанной со стержнем (как и во всякой ИСО), равна c в обоих направлениях, то световые импульсы достигнут равноудаленных фотоэлементов в один момент времени и оба фотоэлемента сработают одновременно.

Иначе обстоит дело в неподвижной K - системе. В этой системе отсчета скорость световых импульсов в обоих направлениях равна также c , но проходимые ими пути различны (пока движутся световые импульсы точки A и B перемещаются вправо) и, следовательно, фотоэлемент A сработает раньше, чем фотоэлемент B . Таким образом, события, одновременные в одной системе отсчета, не являются одновременными в другой системе отсчета. А это в свою очередь означает, что время в разных системах отсчета течет неодинаково.

44

время движения света между зеркалами увеличится, так как скорость света не изменилась, а его путь стал больше. Для неподвижных часов: l c 0 , для движущихся:

l c2 2 v02 2 c 1 v02 / c2 . И так как поперечные размеры не зависят от скорости движения, то

c 0 c 1 v02 / c2 0 1 v02 / c2 .

А это означает, что движущиеся часы идут медленнее (любые, а не только световые, - это следует из принципа относительности). В свою очередь замедление хода любых часов означает, что само время течет по-разному в разных системах отсчета!

Продольные размеры тел. Свяжем с движущимся со скоростью v0 стержнем K - систему (рис. 1.37). А в K - системе поместим фиксированную

46

Соотношения (1.13) и (1.14) вместе с равенствами y y , z z носят название преобразований Лоренца. При малых скоростях ( v0 c ) они, очевидно, переходят в преобразования Галилея (1.12). Кроме того, при v0 c эти выражения становятся мнимыми, что означает невозможность движения со скоростью, большей скорости света в вакууме.

1.6.5. Преобразование скоростей.

Проекции скорости материальной точки в K - системе определяются

Заметим, что при v c эти формулы переходят в формулы сложения скоростей нерелятивистской механики. Кроме того, из них следует, что скорость света одинакова в любой ИСО (неудивительно, так как это уже было заложено в них!).

1.6.6.Релятивистский импульс и энергия

Вньютоновской механике импульс определяется как p mv и подчи-

няется закону сохранения (это его главное свойство). С учетом же релятивистского закона преобразования скоростей данное определение импульса уже не подчиняется закону сохранения (это нетрудно понять на примере неупругого соударения двух одинаковых материальных точек, движущихся с одинаковыми скоростями навстречу друг другу). Поэтому правильным выраже-

47

нием импульса является не p mv mdr / dt , а p mdr / d , где v - скорость частицы, а d - собственное время, измеренное по часам, движущимся вместе с частицей. Такой импульс сохраняется и в релятивистской механике.

Вспомним, что d dt 1 v2 / c2 . Тогда

где m - масса частицы, одинаковая в любой системе отсчета. С учетом данного выражения для импульса второй закон Ньютона приобретает вид

Найдем теперь выражение для энергии частицы. Для этого умножим

Нетрудно проверить, что при v << c это выражение переходит в классическое K mv2 / 2 .

Приведем еще одно полезное соотношение, связывающее импульс и кинетическую энергию

48

Это соотношение при K mc2 переходит в ньютоновское p 2mK , а при K mc2 приобретает вид p K / c .

1.6.7. Соотношение между импульсом и энергией. Частицы с нулевой массой

Из формул (1.15), (1.16) нетрудно установить, что выражение

E / c 2 p2 равно константе m2c2 , т.е. является инвариантом, одинаковым в любой ИСО. Отсюда сразу находим связь энергии частицы и ее импульса

E c p2 m2c2 .

При v << c значение энергии E mc2 p2 / 2m , откуда K p2 / 2m , т.е. полу-

и предположим, что существуют частицы с нулевой массой ( m 0 ). Тогда для них должно выполняться равенство E pc . Найдем теперь из (1.17) ско-

рость этих частиц v pc2 / E c . Т.е. частицы с нулевой массой должны всегда двигаться со скоростью света (покой им только снится). Такие частицы существуют – это фотон и нейтрино. Это очень «странные» частицы: они обладают энергией, импульсом, но не обладают массой (на самом деле эти частицы обладают еще собственным моментом импульса).

49

2. Колебания

Под колебаниями понимают процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. Такое определение объединяет широкий круг явлений, встречающихся в природе. В зависимости от физической природы колебаний различают механические, электромагнитные, биологические и др. Динамические системы, в которых могут существовать колебания, принято называть колебательными системами. В зависимости от характера воздействия на колебательную систему различают собственные (затухающие и незатухающие) колебания, вынужденные колебания, параметрические колебания и

автоколебания.

Простейшими колебаниями являются так называемые гармонические колебания, при которых колеблющаяся величина x изменяется со временем по закону синуса или косинуса x a cos t . Связано это с тем, что в ма-

тематическом плане их описание является самым простым. Кроме того, существует теорема Фурье, согласно которой периодическую функцию можно представить как сумму синусов или косинусов с разными частотами.

Для обозначения производной по времени (и только по времени) над изменяющейся величиной ставят точку. В соответствие с этим уравнение динамики примет вид

mx kx 0.

Это дифференциальное уравнение собственных незатухающих колебаний пружинного маятника. Для получения общих выводов для любого гармонического осциллятора перепишем это уравнение

где величина

Амплитуда a и начальная фаза определяются начальными условия-

Полная энергия колебаний W складывается из кинетической энергии

E 12 mv2 12 mx2 и потенциальной, которая для пружинного маятника имеет

вид U 12 kx2 . Тогда

W 12 mx2 12 kx2 .

Перепишем это выражение с учетом (2.2)

W 12 mx2 12 m 02 x2 .