Руководства к лабам и др физика / Методички_Общая физика / Механика, колебания и МФ

31

момент импульса гироскопа получает приращение dL Mdt , параллельное вектору момента силы. Таким образом, ось гироскопа должна повернуться именно вокруг прямой O O . Угловую скорость поворота найдем из следующих соображений. Так как угол поворота d dL / L Mdt / L , то

d / dt M / L , причем между векторами M , L и существует связь

ML .

При попытке вызвать поворот оси гироскопа в его подшипниках возникают так называемые гироскопические силы. Рассмотрим гироскоп, вращающийся с угловой скоростью , ось вращения которого закреплена во внутреннем кольце 2 подшипника (рис. 1.21). Приведем внешнее кольцо 1 во вращение с угловой скоростью не параллельной . В этом случае возникает момент гироскопических сил, который приводит к совмещению векто-

В настоящее время массивные вращающиеся тела применяются как эффективные накопители энергии.

1.5. Элементы механики сплошных сред

Прежде чем переходить к механике сплошных сред, рассмотрим некоторые характеристики векторных полей. Под векторным полем будем понимать пространство, в каждой точке которого задано значение некоторого вектора. Например, для электрического поля это вектор напряженности E , для магнитного поля – вектор индукции B , для движущейся жидкости – вектор скорости v (поле скоростей) и т.д.

34

Проекции данного вектора равны просто производным по соответствующим направлениям. Сам по себе этот вектор не имеет никакого смысла, пока мы не применим его к чему-либо. Рассмотрим вначале скалярное поле, т.е. пространство, в каждой точке которого задана некоторая функция x, y, z . Умножим вектор на нее

А это представляет знакомое нам уже выражение для градиента скалярной функции , т.е. grad .

Применим теперь вектор к векторному полю a x, y, z , т.е. пере-

множим их. Но вектора можно перемножать двояко – скалярно и векторно. Найдем сначала

А это представляет собой выражение для дивергенции, т.е. a diva . Образуем векторное произведение a . Вспомним, что векторное произведение можно представить в виде

и тогда ab X aybz azby . Для нашего случая

А это есть проекция ротора на ось X , т.е. a rota .

Ив заключение образуем двойное векторное произведение a . Если

вспомнить, как оно раскрывается: a bc b ac c ab , то видим, что на месте вектора b стоит вектор и он оказывается не примененным ни к че-

35

ется символом , либо 2 . Таким образом, мы получили, что rot rota , а

насколько эффективно применение вектора «набла» (попробуйте получить соотношение rot rota grad diva a не прибегая к понятию «набла»!)

1.5.2.Общие свойства жидкостей и газов

Вотличие от твердых тел жидкости и газы не обладают

имеет характер давления p . В жидкостях, как исключение, могут быть случаи, когда нормальное напряжение имеет характер натяжения, т.е. в них может быть реализовано отрицательное давление. Чтобы убедиться в этом, можно проделать следующий опыт. Возьмем достаточно длинную трубку и полностью погрузим ее в вертикальном положении в воду. Затем закроем верхний конец трубки и будем ее вытаскивать из воды. Вслед за трубкой начинает подниматься и вода в ней. В обычной ситуации столбик воды не превышает по высоте 10 метров (он уравновешен атмосферным давлением). Но если тщательно очистить воду и обезжирить саму трубку, то столбик может подняться на высоту гораздо больше 10 метров. А это означает, что в воде на высоте более 10 метров формируется отрицательное давление (на высоте 10 метров в соответствие с формулой p gh давление обращается в нуль), т.е. жидкость как бы растянута! Но так как жидкости, как правило, неоднородны, то любая неоднородность резко ослабляет прочность жидкости на разрыв. Поэтому будем считать, что в жидкостях напряжения как и в газах имеют характер давления.

В состоянии равновесия нормальное напряжение (давление) не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует (закон Паскаля). Давление, существующее в жидкости, обусловлено ее сжатием, характеризуемое

36

коэффициентом сжимаемости V1 dVdp . Обратная величина называется

модулем всестороннего сжатия. Жидкости, в отличие от газов, обладают очень низкой сжимаемостью. Поэтому можно ввести представление об абсолютно несжимаемой жидкости. Но при рассмотрении звуковых волн принципиально нельзя считать жидкость несжимаемой.

Если жидкость находится в движении, то наряду с нормальными напряжениями в ней возникают и касательные силы. Эти силы определяются не деформациям, а скоростью их изменения со временем. Поэтому эти силы относят к классу сил трения или вязкости. Иногда силы вязкости можно не учитывать, такая жидкость называется идеальной.

1.5.3. Силы в жидкости. Основное уравнение гидростатики

Силы, действующие в жидкости делят на массовые (объемные) и поверхностные. Массовые силы dF пропорциональны массе dm элемента объема dV . Отношение dF / dV f называют объемной плотностью массовых сил. Например, для силы тяжести f g , где - плотность жидкости. Рассчитаем силы в жидкости, обусловленные давлением. Для этого выделим в

жидкости небольшой элемент

Таким образом, мы приходим к выводу, что силы, обусловленные давлением, определяются не самим давлением, а его градиентом и направлены в сторону уменьшения давления. Если в жидкости действуют и другие силы (сила тяжести и т.д.), то при равновесии давление должно быть скомпенсиро-

37

вано этими силами. Рассмотрим случай, когда дополнительные силы можно описать потенциальной энергией (наподобие силы тяжести). Обозначим через потенциальную энергию единицы массы (для силы тяжести gz ).

Вспомним о связи силы и потенциальной энергии F U . Тогда для дополнительных сил имеем f . И так как в состоянии равновесия пол-

Это основное уравнение гидростатики. В общем случае оно не имеет решения. Это означает, что если плотность меняется произвольным образом, то нет возможности уравновесить все силы и жидкость не может находиться в состоянии статического равновесия. В ней возникают конвективные потоки. Например, можно налить в стакан наполовину воду так, чтобы ее свободная поверхность была горизонтальной, но невозможно сделать так, чтобы свободная поверхность была вертикальной. Это видно из самого уравнения (1.11). Возьмем произвольный контур и проинтегрируем (1.11) по нему. По теореме Стокса pdl rot pdS p dS . Такой интеграл, очевидно,

L S S

равен нулю. А вот интеграл dl в общем случае не равен нулю, так как

L

x, y, z . И только когда const , второе слагаемое становится чистым

градиентом и равновесие возможно.

Пусть жидкость находится только в поле тяготения. Направим ось Z вверх. В этом случае gz и в проекциях уравнение (1.11) примет вид

p p 0, p g , т.е. горизонтальные поверхности являются плоскостя-x y z

ми равного давления. Это относится и к свободной поверхности. Если

const , то интеграл второго уравнения имеет вид p p0 gz , где p0 - давление при z 0 , например, p0 pатм , если z начинается на свободной поверхности. Эта формула определяет давление на дно, стенки сосуда, а также на поверхность любого тела, находящегося в жидкости. Очень часто формулу p p0 gz записывают в виде p gh , где h - глубина жидкости. В формуле p gh заключена вся школьная гидростатика.

1.5.4. Уравнения движущейся жидкости

Для описания движения наиболее часто применяют подход Эйлера, при котором следят за тем, что происходит со скоростью жидкости в каждой точ-

38

ке пространства. При этом получают картину распределения скоростей – поле скоростей.

Линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с вектором скорости – линия тока. Если поле скоростей не изменяется со временем, то такое движение является стационарным и линии тока совпадают с траекторией частиц жидкости. Густота линий тока говорит о скорости частиц жидко-

сечение трубки тока не малое, то величина vS vdS . Такой интеграл по

S

замкнутой поверхности, очевидно, равен нулю и силу теоремы Остроградского – Гаусса имеем

vdS divvdV 0 divv 0 .

SV

Иглавное уравнение получим из второго закона Ньютона, записанного

для единичного объема жидкости a f , где f складывается из трех слагаемых: силы давления ( p ), массовых сил ( ) и сил вязкости. Будем полагать жидкость идеальной (нет сил вязкости). Осталось только найти выражение для ускорения a . Казалось бы, что a v / t . Но это неверно, так как производная v / t отражает изменение скорости в фиксированной точке пространства. А нам нужно знать, как меняется скорость частиц жидкости от точки к точке.

Рис. 1.29

(рис. 1.29).Тогда скорость той же частички в точке P2 в момент времени t t (нужно время, чтобы туда добраться) составит

39

v x x, y y, z z,t t . Причем, x vx t, y vy t, z vz t . Опре-

делим изменение скорости

v = v x x, y y, z z,t t v x, y, z,t

После деления на t в пределе находим правильное выражение для ускорения

И даже если v / t 0 , т.е. когда скорость в данной точке постоянна, то ускорение все же остается, так как скорость может меняться вдоль линии тока. Теперь мы можем записать уравнение динамики идеальной жидкости

Это уравнение называется уравнением Эйлера. В этом уравнении (при учете всех сил, которые могут быть в жидкости) находится вся гидродинамика

1.5.5. Уравнение Бернулли

Найдем уравнение, связывающее скорость жидкости, движущейся стационарно в поле тяжести, с высотой. Конечно, его можно получить как следствие из уравнения Эйлера, но при этом ускользает физическая картина. Поэтому будем исходить из закона сохранения энергии. Рассмотрим трубку тока небольшого сечения, находящуюся в поле тяжести (рис. 1.30). Отделим

Рис. 1.30

мысленно перегородками часть объема трубки V от остальной жидкости. При движении этот объем переходит из положения A в положение B . При этом перегородки переходят из положения 1 в 1 и из положения 2 в 2 , соответствующие расстояния равны l1 и l2 . Запишем для объема V теорему об изменении кинетической энергии: работа всех сил равна изменению кинети-

Отсюда следует, что там, где меньше скорость, больше давление. На этом принципе работает парус, пульверизатор, крыло самолета, карбюратор и др.