Руководства к лабам и др физика / Методички_Общая физика / Механика, колебания и МФ

21

Заметим, что понятие градиента можно применять к любой скалярной функции.

Итак, мы можем записать dU gradU dS . Вспомним теперь связь потенциальной энергии и работы dU dA , которая сейчас будет выглядеть как gradU dS FdS . Отсюда сразу находим искомую связь потенциальной энергии и силы, действующей на частицу

F gradU

сила всегда направлена в сторону убывания потенциальной энергии).

1.3.4. Закон сохранения энергии в механике

Рассмотрим произвольную систему тел и выберем в ней i - е тело. На него могут действовать как консервативные силы Fiконс , так и неконсервативные Fiнек . Запишем для данного тела теорему об изменении кинетической

представляет собой работу всех сил (консервативных и неконсервативных). Мы уже знаем, что Aiконс Ui , где Ui - изменение потенциальной энергии i - го тела. Тогда соотношения (1.7) и (1.8) переходят в

Ki Ui Aiнек Ki Ui Aiнек .

Сумма кинетической и потенциальной энергии называется полной энергией тела Ei Ki Ui и для нее получаем

Ei Aiнек .

Для нахождения полной энергии всей системы E просуммируем энергии всех тел, включая их кинетическую энергию, потенциальную энергию взаимодействия тел внутри системы и энергию взаимодействия с телами, не входящими в систему Uвзаим

E Ki Uвзаим .

Из сказанного выше следует, что изменение полной энергии системы тел должно быть равно работе неконсервативных сил, действующих на все тела системы.

22

Введем понятие консервативной системы тел. Это система, в которой все внутренние и внешние силы консервативны. Для такой системы Aнек 0 и тогда изменение полной энергии системы должно быть равно нулю. А это означает, что полная энергия системы тел, находящихся под действием только консервативных сил, со временем не изменяется. Это утверждение носит название закона сохранения энергии и является, как и закон сохранения импульса, универсальным законом природы. Отметим, что данный закон является следствием однородности времени.

1.3.5. Соударение тел

Рассмотрим два предельных вида соударения – абсолютно неупругий и абсолютно упругий удар. Абсолютно неупругим называется удар, при котором потенциальная энергия упругой деформации не возникает и кинетическая энергия тел частично или полностью переходит во внутреннюю энергию. После такого удара тела или покоятся или движутся с одинаковой скоростью (слипаются) и выполняется только закон сохранения импульса. При абсолютно же упругом ударе сохраняется как полная энергия, так и импульс системы.

Ограничимся рассмотрением центрального удара двух однородных шаров, при котором шары движутся вдоль прямой, проходящей через их центр, и будем считать шары замкнутой системой.

Обозначим массы шаров m1, m2 , скорости шаров до удара v1, v2 , скорости после удара u1, u2 . Начнем с абсолютно неупругого удара. Для него закон сохранения импульса выглядит как m1v1 m2v2 m1 m2 u , где u - одинаковая скорость шаров после удара. Отсюда находим

u m1v1 m2v2 .

m1 m2

Обратимся теперь к абсолютно упругому удару. Для упрощения расчетов будем полагать, что v и u - это проекции скоростей тел на направление оси X , проходящей через центры шаров. Запишем уравнения законов сохранения импульса и кинетической энергии

m1v1 m2v2 m1u1 m2u2 ,

Перепишем эти уравнения так, чтобы с каждой стороны равенств стояли величины, относящиеся к одному из шаров

23

m1 v1 u1 m2 u2 v2 ,

m1 v1 u1 v1 u1 m2 u2 v2 u2 v2 .

Из этих уравнений сразу следует, что v1 u1 u2 v2 . Это равенство совместно с законом сохранения импульса дает уже линейную систему уравнений, стандартное решение которой имеет вид

Заметим, что эти выражения отличаются только перестановкой индексов 1 и 2. Это естественно, так как шары в процессе соударения совершенно равноправны и безразлично, какой из них считать первым, а какой вторым.

1.4.Динамика вращательного движения

1.4.1.Основной закон динамики вращательного движения

Понятно, что прямое применение второго закона Ньютона для описа-

ния динамики вращения твердого тела оказывается затруднительным, так как все точки твердого тела имеют разные ускорения. Поэтому попытаемся так переписать уравнение динамики материальной точки, чтобы оно подходило для описания динамики твердого тела.

Запишем второй закон Ньютона для материальной точки в виде F dpdt

и умножим векторно обе его части на радиус-вектор r . Слева получаем векторное произведение силы и радиус-вектора r : rF . Назовем его моментом силы относительно точки

24

где M z - момент силы относительно оси Z . Уравнение (1.9) называется уравнением моментов для материальной точки.

Рассмотрим теперь вращение твердого тела Z вокруг неподвижной оси. Разобьем мысленно

данное тело на малые элементы массой mi , по-

Z . Запишем уравнение (1.9) для элемента m1 в проекции на ось вращения MZ1 dLZ1 / dt . Здесь M Z1 - это сумма моментов всех сил относительно оси Z

dLZ1 m1r12 , где - угловое ускорение тела. Тогда для любого элемента dt

mi ( i 1,2,3...) можем записать

Сложим все эти выражения. Очевидно, сумма моментов внутренних сил обращается в нуль, так как для любых двух точек в силу третьего закона Нью-

тона выполняется равенство r1 f12 Z r2 f21 Z r1 r2 , f12 Z 0 (векторы r1 r2 и f12 параллельны). И остается только сумма моментов внешних сил. Сумма правых частей по всем элементам mi дает miri 2 . Назовем вели-

чину mi ri 2 моментом инерции твердого тела относительно оси Z

IZ miri 2 .

Таким образом, приходим к уравнению

25

MZ IZ ,

которое называется основным законом динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Это уравнение эквивалентно

уравнению моментов для твердого тела M Z dtd LZ , где LZ IZ - проекция

момента импульса твердого тела на ось Z , M Z - суммарный момент внешних сил. Обратим внимание на полную аналогию законов динамики материальной точки и твердого тела, нужно только заменить массу на момент инерции, силу – на момент силы, импульс - на момент импульса и линейное ускорение

– на угловое.

Перейдем теперь к более детальному обсуждению введенных величин.

1.4.2. Момент силы

Есть два понятия момента силы – относительно точки и относитель-

но оси. Момент силы относительно точки – это вектор M rF . Момент силы относительно оси – это уже скалярная величина, равная проекции момента силы F на ось Z : M Z rF , где r - радиус-вектор, перпендикуляр-

ный оси вращения и проведенный в точку приложения силы, F - составляющая силы в плоскости вращения точки приложения силы (рис. 1.16). Величина M Z может быть также рассчитана как MZ rF cos rF lF . Здесь F -

вСИ момента силы Н м .

1.4.3.Момент инерции. Теорема Штейнера

Момент инерции характеризует инертные свойства вращающегося тела. Но моментом инерции обладает любое тело, не важно, вращается оно или

26

нет. При этом следует обязательно помнить, что момент инерции по определению требует указания оси, относительно, которой он рассчитывается.

малым элементам массой mi , находящимся на расстоянии ri от оси Z . Для практических расчетов эту сумму можно представить в виде интеграла. Если ввести понятие плотности m / V , где V - элемент объема, занимаемо-

для справок без расчетов моменты инерции часто встречаемых симметрич-

27

IZ IC mb2 ,

где b - расстояние между параллельными осями (рис. 1.18). Единица измерения в СИ момента инерции кг м2 .

1.4.4. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса

Момент импульса частицы относительно некоторой точки пространства O определяется как L r p , где p mv - импульс частицы, r - радиусвектор частицы относительно точки O . При этом совершенно не важен характер движения частицы. Вектор L можно определить в декартовых координатах как

Момент импульса системы материальных точек L ri , mi vi . Мо-

мент импульса твердого тела, вращающегося относительно оси Z с угловой скоростью , LZ IZ . Для симметричного тела (его иногда называют телом вращения) момент импульса относительно оси симметрии направлен вдоль оси вращения, поэтому можем записать L I (но только для симметричного тела!).

Момент импульса величина аддитивная, т.е. момент импульса системы тел равен сумме моментов импульса каждого тела по отдельности относительно фиксированной оси.

Обратимся теперь к уравнению моментов для твердого тела M Z dLdtZ .

Напомним, что M Z - это сумма моментов только внешних сил. Рассмотрим систему, для которой эта сумма равна нулю. Тогда для такой системы должен сохраняться момент импульса – в этом заключается закон сохранения момен-

та импульса: момент импульса системы, на которую не действуют моменты внешних сил, со временем сохраняется. Заметим, что требуется не замк-

нутость системы, а только менее жесткое условие равенства нулю моментов внешних сил. В основе закона сохранения момента импульса лежит свойство изотропности пространства (равноправность любых направлений).

1.4.5. Энергия, работа и мощность при вращательном движении

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси Z . Для него работает основной закон динамики вращательного движения

28

MZ IZ . Умножим обе его части на бесконечно малый угол поворота

Величина MZ d dA- элементарная работа момента силы M Z . Для конечного поворота твердого тела она рассчитывается как

A M Z d .

Величина 12 IZ 2 K - кинетическая энергия при вращательном движе-

нии твердого тела. Пусть тело совершает так называемое плоское движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях и представляемое как совокупность поступательного движения и вращения. Тогда для расчета кинетической энергии применяют интуитивно понятную теорему Кенига, которая говорит о том, что кинетическая энергия при плоском движении складывается из энергии вращения и энергии, связанной с движением центра масс

K 12 mvC 2 12 IC 2 .

Здесь IC - момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через его центр инерции, - угловая скорость, vC - скорость центра инерции, m - масса тела.

Мощность момента силы определяется как скорость совершения работы (как и при поступательном движении)

P dA M Z d M Z . dt dt

1.4.6. Движение в центральном поле сил. Законы Кеплера

Если частица в каждой точке пространства подвержена воздействию других тел, то говорят, что частица находится в поле сил. Одним из простых является поле центральных сил. Это поле характерно тем, что направление силы, действующей на частицу в любой точке пространства, проходит через неподвижный центр, а величина силы зависит только от расстояния до этого центра F F r . Отметим, что поле силы тяжести является частным случаем

центрального поля с центром, расположенным на бесконечности.

Момент силы относительно центра, очевидно, равен нулю. А это означает, что сохраняется момент импульса частицы, движущейся в центральном поле сил. Отсюда следует, что траектория частицы представляет собой плоскую кривую, которую удобно описывать в полярных координатах.

29

Особый интерес представляют силы, обратно пропорциональные квадрату расстояния от силового центра (сила тяготения, кулоновская сила и др.). Для них F r / r2 , где const ( 0 соответствует отталкиванию от

центра, 0 - притяжению к центру). С учетом связи потенциальной энергии и силы находим потенциальную энергию частицы в таком поле

U r dr const . r2 r

Обычно константу полагают равной нулю, так как U 0 при r . Таким образом, полная энергия частицы

E mv2 . 2 r

С учетом законов сохранения момента импульса и энергии можно получить уравнение траектории частицы, движущейся в центральном поле сил. Мы не будем его рассматривать, а ограничимся только основными выводами для случая 0 (силы притяжения). Эта задача имеет практическое значение для описания законов движения планет Солнечной системы и других тел, движущихся в ней. При E 0 траектория оказывается гиперболой, при E 0 - параболой и при E 0 траекторией будет эллипс.

Первые фундаментальные результаты по характеру движения планет Солнечной системы были получены Кеплером за полстолетия до Ньютона. Им были установлены три закона:

1)траектория движения планет представляет собой эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце. Этот закон полностью согласуется с теоретическими выводами, отмеченными выше.

2)каждая планета движется так, что линия, соединяющая ее с Солнцем, заметает равные площади за равные промежутки времени (закон сохранения секториальной скорости). Данный закон является прямым следствием закона сохранения момента импульса. Отобразим на рис. 1.19 участок траектории

щемуся моменту импульса планеты, то это и до-

3) Третий закон Кеплера гласит, что отношение квадратов периодов вращения планет вокруг Солнца к кубу больших полуосей орбит одинаково для всех планет Солнечной системы. Для упрощения расчетов будем полагать,

30

что планеты движутся не по эллипсу, а по кругу, в центре которого находится Солнце (реально эти эллипсы мало отличаются от окружностей).

Обратимся ко второму закону Ньютона для произвольной планеты с массой m : F ma . С учетом закона тяготения имеем

Здесь M - масса Солнца, v - скорость планеты, движущейся по окружности радиуса r . Если учесть, что v 2 r / T , где T - период вращения, то из (1.10) получаем

что и доказывает третий закон Кеплера.

Заметим, что Ньютон для формулировки своего закона тяготения как раз и опирался на результаты астрономических наблюдений Кеплера.

1.4.7. Гироскопы

Гироскопом называют массивное симметричное тело, вращающееся с большой скоростью вокруг оси симметрии – ось гироскопа.

Рассмотрим весьма необычное поведение гироскопа под действием внешних сил. Так как гироскоп является симметричным телом, то его момент импульса L I ( - угловая скорость вращения гироскопа вокруг его оси).

Рис. 1.20

Приложим момент силы F , перпендикулярной оси гироскопа OO (рис. 1.20). Казалось бы, что ось гироскопа должна повернуться вокруг прямой O O . На самом деле ось гироскопа поворачивается вокруг прямой O O - так называемый гироскопический эффект. Столь неожиданное поведение гироскопа связано с законами динамики вращательного движения. За время dt