Руководства к лабам и др физика / Методички_Общая физика / Механика, колебания и МФ

11

бесчисленное множество. Любая система отсчета, движущаяся относительно инерциальной поступательно с постоянной скорость, является также инерциальной. Опытным путем установлено, что истинно инерциальной системой отсчета (ИСО) является так называемая гелиоцентрическая система отсчета, связанная с центром Солнца и «неподвижными» звездами. Во многих случаях систему отсчета, связанную с Землей, можно считать практически инерциальной.

Утверждение о существовании ИСО составляет содержание первого закона механики – закона инерции Галилея – Ньютона. Важной особенностью ИСО является то, что в них пространство однородно и изотропно, а время однородно. Однородность и изотропность пространства проявляется в том, что его свойства одинаковы в различных точках, а в каждой точке одинаковы во всех направлениях. Однородность времени заключается в том, что протекание физических процессов (в одних и тех же условиях) в разное время одинаково.

1.2.2. Второй и третий законы Ньютона. Сила и масса

Второй закон Ньютона, установленный, как и первый, опытным путем, утверждает, что произведение массы материальной точки на ее ускорение равно действующей на нее силе

ma F .

Это уравнение называют уравнением движения материальной точки. Понятно, что второй закон Ньютона получает конкретное содержание только после того, как будет установлено понятие массы и силы.

Опыт показывает, что при взаимодействии тел отношение модулей их ускорений не зависит от природы взаимодействия и принимается равным обратному отношению масс a1 / a2 m2 / m1 . Взяв некоторое тело за эталон массы, по измерению ускорений двух взаимодействующих тел мы имеем возможность сравнить массу тела с эталоном. Масса в СИ измеряется в килограммах (кг) и является аддитивной величиной, т.е. масса составного тела равна сумме масс его частей. Кроме того, масса тела не зависит от скорости его движения и является мерой его инертности.

Силой называется векторная величина, являющаяся мерой механического взаимодействия тел и проявляющаяся либо в их деформации, либо в изменении их скорости. Единицей силы в СИ является ньютон (Н), это сила, сообщающая телу массой 1 кг ускорение 1м/с2. По отношению к силе существует принцип суперпозиции. Если на тело действует несколько сил со стороны других тел и эти силы не влияют друг на друга, то движение данного

12

тела происходит так, как будто на тело действует одна сила F Fi , где Fi - сила, с которой действовало бы на данную материальную точку i - е тело в отсутствие других тел. Сила F называется результирующей силой.

Воздействие тел друг на друга всегда носит характер взаимодействия. Если, например, тело 2 действует на тело 1 с силой F12 , то и тело 1 действует на тело 2 с силой F21 . Третий закон Ньютона утверждает, что силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по модулю и противоположны по направлению

F12 F21 .

Все три закона Ньютона справедливы только в ИСО и являются основными законами механики, позволяющими в принципе решить любую задачу движения тел со скоростями, много меньшими скорости света.

1.2.3. Силы

Чтобы свести нахождение закона движения частицы к чисто математической задаче, необходимо, очевидно, знать действующие на частицу силы. Фундаментальные силы, лежащие в основе всех механических явлений, - это гравитационные и электромагнитные силы, ядерные и силы так называемого слабого взаимодействия. Рассмотрим только первые два типа сил.

Сила гравитационного притяжения. В соответствие с законом всемир-

ного тяготения сила гравитационного притяжения двух материальных точек с массами m1, m2 , находящимися на расстоянии r

F G m1m2 , r2

где G - гравитационная постоянная.

Кулоновская сила, действующая между двумя точечными зарядами q1, q2 находящимися на расстоянии r

F k q1q2 , r2

где k - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц.

Все другие типы сил, проявляющиеся на практике (упругие, силы трения, сила тяжести и др.) обусловлены гравитационным и электромагнитным взаимодействием и в принципе могут быть получены из фундаментальных сил. Однако для этих приближенных сил выгодно иметь собственные выражения, упрощающие математическую задачу настолько, чтобы ее можно было практически решить.

13

Однородная сила тяжести F mg , где g - ускорение свободного падения.

Вес тела P - это сила, с которой тело действует на опору (подвес), неподвижную относительно данного тела. Если тело с опорой неподвижно относительно Земли, то P mg .

Упругая сила – сила, пропорциональная смещению x материальной точки из положения равновесия и направленная к положению равновесия

Fx kx , где k - коэффициент, зависящий от «упругих» свойств той или иной силы. Например, для пружины k называют жесткостью.

Сила трения скольжения возникает при скольжении тела по поверхности другого: F N , где - коэффициент трения, N - сила нормального давления, прижимающая трущиеся поверхности тел.

Сила сопротивления возникает при поступательном движении тела в газе или жидкости со скоростью v : F rv , где r - коэффициент сопротивления. При достаточно малых скоростях он практически не зависит от скорости.

Упомянем еще об особом типе фиктивных сил, не обусловленных взаимодействием тел, а определяемых выбором системы отсчета. Это так называемые силы инерции и проявляются они только в неинерциальных систе-

мах отсчета (НИСО). Их общее выражение: Fin m a a , где a - ускоре-

ние тела с точки зрения ИСО, a - ускорение тела в НИСО. Обычно рассматривают две силы.

Центробежная сила инерции проявляется во вращающейся с угловой скоростью системе отсчета F m 2r , где r - расстояние от материальной точки до оси вращения.

Кориолисова сила проявляется при движении тела со скоростью v во вращающейся с угловой скоростью системе отсчета F 2m v .

1.2.4. Импульс. Второй закон Ньютона для системы материальных точек. Закон сохранения импульса

По определению импульсом частицы с массой m , движущейся со скоростью v , называют величину

p mv .

Если обратиться к закону F ma , то с использованием понятия импульса второй закон Ньютона можно представить в виде

означающем, что сила есть производная импульса материальной точки по времени. Именно в таком виде Ньютон и сформулировал свой закон. При движении тел с небольшими скоростями формулировки ma F и dp / dt F эквивалентны, а при движении тел со скоростями, сравнимыми со скоростью света работает только вторая формулировка. Перепишем соотношение (1.1)

где Fdt называют элементарным импульсом силы. Если (1.2) проинтегрировать по времени, то получаем p m v2 v1 Fdt . Для постоянной силы имеем Ft m v2 v1 .

Запишем второй закон Ньютона в форме (1.1) для каждой частицы системы в отдельности

dtd m1v1 F1 f12 ...

dtd m2 v2 F2 f21 ...

. . . . .

15

и сложим их левые и правые части. Справа в силу третьего закона Ньютона останется только сумма внешних сил Fi . Слева получаем

dtd mi vi dtd pi . Введем понятие импульса системы материальных точек

P pi M vc ,

где M mi - масса всей системы. Тогда приходим к уравнению

Это уравнение называется вторым законом Ньютона для системы материальных точек. Подчеркнем, что в него входит сумма только внешних сил. Уравнение (1.3) можно записать также в других эквивалентных формах

Отсюда видно, что центр инерции системы материальных точек – это такая точка внутри системы частиц, которая движется так, как будто в ней сосредоточена вся масса системы и к ней приложены все внешние силы. Заметим, что в данной точке может не находиться ни одна частица.

Уравнения (1.3) и (1.4) можно применять не только к системе материальных точек, но и к любому твердому телу. Эти уравнения определяют движение только одной его точки – центра инерции.

Введем понятие замкнутой (изолированной) системы тел. Это система, для которой выполняется условие Fi 0 , т.е. либо вообще нет внешних сил, либо они скомпенсированы. Тогда для нее из (1.3) следует

P pi const .

Это один из фундаментальных законов природы – закон сохранения импуль-

са: суммарный импульс замкнутой системы тел не изменяется со временем.

Его частные случаи

1)Пусть система изолирована только в направлении некоторой оси X , т.е.

Fix 0. Тогда сохраняется не весь импульс системы, а только в направле-

нии X : Px const .

2) Если импульс системы P 0, а так как P Mdrc / dt , то центр инерции такой системы никуда не движется rc const , хотя внутри системы может быть движение.

Заметим, что закон сохранения импульса является прямым следствием однородности пространства.

16

Второй закон Ньютона dp / dt F позволяет получить полную информацию о движении частицы, если задан закон изменения силы, действующей на нее. В сочетании с третьим законом Ньютона можно прийти к системе уравнений, определяющих поведение любой системы частиц. Эти уравнения являются дифференциальными уравнениями второго порядка по времени. Для их интегрирования необходимо знание так называемых начальных условий – положения r 0 и скорости v 0 каждой частицы в некоторый момент

времени, принятый за нуль. Таким образом, зная положение и скорость каждой частицы в момент t 0, мы можем в принципе определить состояние системы в любой другой момент времени. Данное обстоятельство навело Лапласа на весьма грустную мысль о том, что все в нашем мире предопределено и все, что может произойти в будущем, уже задано в настоящий момент. А это в некотором смысле судьба! На самом же деле современная квантовая физика говорит о том, что невозможно точное одновременное знание положения и скорости частиц (принцип неопределенности). Поэтому развитие системы является не совсем детерминированным и подчиняется вероятностным законам.

1.2.5. Движение тела с переменной массой

Найдем уравнение движения тела при непрерывном отделении (или присоединении) к нему вещества. Пусть в некоторый момент времени t масса тела равна m , а присоединяемое (или отделяемое) вещество имеет скорость u относительно данного тела. Перейдем в инерциальную систему отсчета, скорость которой равна скорости тела v в данный момент (т.е. тело покоится в данной системе отсчета). Пусть за время dt отделяется масса dm и скорость тела изменяется на d v . Тогда данная система приобретает импульс dp mdv dm u , который должен быть равен Fdt , F - некоторая сторонняя сила

mdv dm u Fdt

или после деления на dt

m ddtv F dmdt u .

Данное уравнение называется уравнением Мещерского, слагаемое

dmdt u - реактивная сила и при dmdt 0 (отделение вещества) эта сила направ-

лена против скорости u .

17

Рассмотрим для примера движение ракеты в отсутствие внешних сил при постоянной скорости газовой струи. Тогда уравнение Мещерского принимает вид

md v = udm dv u dmm .

После интегрирования находим v u ln m const . Значение константы найдем из начальных условий. Пусть в момент старта при v 0 масса ракеты равна m0 , т.е. выполняется равенство 0 u ln m0 const const u ln m0 . И окончательно получаем

v u ln mm0 .

Впервые эту формулу получил Циолковский.

1.3. Энергия и работа. Закон сохранения энергии 1.3.1. Работа. Мощность

Пусть при движении материальной точки мас- F сы m по некоторой траектории задана сила F (рис.

Величина 12 mv2 называется кинетической энергией тела

K12 mv2 ,

апроизведение FdS dA - элементарная работа силы F на пути dS . Полная работа на участке 1-2

2

A FdS .

1

Данное выражение можно записать иначе A F cos dS FS dS и для посто-

янной силы A FS cos , где - угол между направлением силы и скорости тела. В отличие от силы работа величина алгебраическая (скалярная). Работа

18

положительна, если 0 / 2 , отрицательна, если / 2 и равна нулю, если / 2 .

Если проинтегрировать соотношение (1.5) по всему пути, то получаем

A K2 K1 12 mv22 12 mv12 .

Данное равенство называется теоремой об изменении кинетической энергии:

работа всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии. Отсюда следует, что работа положительна, если кинетическая энергия растет и отрицательна, если кинетическая энергия уменьшается.

Скорость совершения работы называется мощностью силы

и численно равна работе за единицу времени. Средняя мощность определяется как P A / t . Работа в СИ измеряется в джоулях (Дж), мощность - в ваттах (Вт).

1.3.2.Энергия

Вмеханике существует два понятия энергии – кинетическая и потенци-

альная.

Кинетическая энергия K 12 mv2 - это функция состояния тела, зави-

сящая от его скорости. Для системы тел K 12 mi vi 2 и изменение кинетиче-

ской энергии определяется работой всех сил.

Потенциальная энергия. Прежде чем дать ее определение, введем понятие консервативных сил. Это силы, работа которых не зависит от пути, а определяется только начальным и конечным положением тела. Если тело перемещается между точками 1 и 2 по двум разным траекториям (рис. 1.12), то

20

U 12 kx2

(мы приняли, что недеформированная пружина не обладает энергией).

1.3.3. Связь силы и потенциальной энергии

Потенциальная энергия определяется работой силы, действующей на частицу. Следовательно, сама энергия напрямую зависит от силы. Найдем эту связь.

Начнем со случая, когда потенциальная энергия зависит только от одной координаты U U x . Запишем ее бесконечно малое изменение как

dU dUdx dx . Пусть теперь U зависит от двух переменных U U x, y . Для

определения малого изменения U нам потребуется совершить бесконечно малое перемещение dS , которое можно представить как два последовательных перемещения – одно вдоль оси X , другое – вдоль оси Y (рис. 1.14). То-

где i , j, k - орты осей X ,Y , Z . Второй множитель есть вектор бесконечно ма-

лого перемещения dS . А вот первый множитель называется градиентом потенциальной энергии и обозначается как

U i U j U k gradU U .

x y z

Это вектор, направленный в сторону наискорейшего роста потенциальной энергии и равный скорости ее изменения. Проекции данного вектора