Руководства к лабам и др физика / Методички_Общая физика / Электромагнетизм

82

произведения сила Лоренца перпендикулярна плоскости векторов ν и В, а ее величина или модуль:

где α − угол между векторами скорости и магнитной индукции. Точно определить направление силы Лоренца можно, например, пользуясь правилом левой руки (так можно определить направление векторного произведения любых двух векторов): четыре пальца левой руки нужно расположить вдоль вектора скорости (первого вектора в векторном произведении) так, чтобы вектор магнитной индукции (второй вектор) входил в ладонь, тогда оттянутый на 900 большой палец укажет направление силы Лоренца (векторного произведения), если заряд положительный. Если же заряд отрицательный то

сила Лоренца будет направлена в противоположную

Bположительных и отрицательных зарядов, вектор магнитной индукции направлен за плоскость чертежа.

рассчитывать работу позволяет судить об энергетических

превращениях.

Вспомним, например, что работа гравитационных и кулоновских сил не зависит от формы траектории тел или пути перехода системы тел из одного состояния в другое. Этот факт дает возможность рассматривать важнейшую физическую величину, называемую потенциальной энергией. Сами же силы называют потенциальными.

К классу диссипативных сил относят силы, полная работа которых всегда отрицательна. Это силы трения, сопротивления. Результатом действия этих сил является переход механической энергии во внутреннюю, другими словами, выделение тепла. Причем, количество выделившегося тепла по величине равно работе диссипативных сил.

Поскольку сила Лоренца перпендикулярна скорости заряженной частицы, ее работа всегда равна нулю, независимо от того, как эта частица движется в магнитном поле. Действительно, элементарная работа, совершаемая на

небольшом участке траектории dL , определяется выражениемG

dA = F dL cos α, где α − угол между векторами перемещения dL и силы

83

FG . Вектор dLG направлен так же, как и скорость частицы. Поскольку скорость

перпендикулярна силе, то α = 900 , а значит, элементарная работа равна нулю. Будет равна нулю и полная работа, совершаемая силой Лоренца на всей траектории движения частицы, так как полная работа есть сумма элементарных работ.

Обсуждаемое свойство силы Лоренца является уникальным. Подобных сил в природе больше не существует. Силы, работа которых всегда равна нулю, называют гироскопическими. В неинерциальных системах отсчета существуют и другие гироскопические силы, например, центробежная сила и сила Кориолиса. Эти силы фиктивны в том смысле, что невозможно указать тело, со стороны которого они действуют. К этим силам не применим третий закон Ньютона.

3.2. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях

Электромагнитная сила, действующая на заряженную частицу, складывается из сил, действующих со стороны электрического и магнитного полей:

Силу, определяемую формулой (3.2), называют обобщенной силой Лоренца. Учитывая действие двух полей, электрического и магнитного, говорят, что на заряженную частицу действует электромагнитное поле.

Рассмотрим движение заряженной частицы в одном только электрическом поле. При этом здесь и далее предполагается, что частица нерелятивистская, т.е. ее скорость существенно меньше скорости света. На частицу действует только электрическая составляющая обобщенной силы

Лоренца F = qE . Согласно второму закону Ньютона частица движется с ускорением:

начальной скоростиG . Если начальная скорость равна нулю или направлена вдоль вектора Е, движение частицы прямолинейное и равноускоренное. Если

84

же начальная скорость частицы направлена под углом к вектору Е, то траекторией движения частицы будет парабола. Траектории движения заряженной частицы в однородном электрическом поле такие же, как и траектории свободно (без сопротивления воздуха) падающих тел в гравитационном поле Земли, которое вблизи поверхности Земли можно считать однородным.

Пример 3.1. Определить конечную скорость частицGы массой m и зарядом q , пролетевшей в однородном электрическом поле Е расстояние d .

Начальная скорость частицы равна нулю.

Решение. Так как поле однородно, а начальная скорость частицы равна нулю, движение частицы будет прямолинейным равноускоренным. Запишем уравнения прямолинейного равноускоренного движения с нулевой начальной скоростью:

ускоряющей разностью потенциалов. Таким образом, скорость, которую набирает частица, проходя ускоряющую разность потенциалов U :

При движении в неоднородных электрических полях ускорение заряженных частиц переменное, и траектории будут более сложными. Однако, задачу о нахождении скорости частицы, прошедшей ускоряющую разность потенциалов U , можно решить исходя из закона сохранения энергии. Энергия движения заряженной частицы (кинетическая энергия) изменяется за счет работы электрического поля:

85

Здесь использована формула (1.5) для работы электрического поля по перемещению заряда Aэл = qU . Если начальная скорость частицы равна нулю

( ν0 = 0 ) или мала по сравнению с конечной скоростью, получим: mv22 = qU ,

откуда следует формула (3.4). Таким образом, эта формула остается справедливой и в случае движения заряженной частицы в неоднородном поле. В этом примере показаны два способа решения физических задач. Первый способ основан на непосредственном применении законов Ньютона. Если же действующие на тело силы переменны, бывает более целесообразным использование второго способа, основанного на законе сохранения энергии.

Теперь рассмотрим движение заряженных частиц в магнитных полях. Изменение кинетической энергии частицы в магнитном поле могло бы

произойти только за счет работы силы Лоренца: Ек = АЛ. Но работа силы Лоренца всегда равна нулю, значит кинетическая энергия частицы, а вместе с тем и модуль ее скорости не изменяются. Заряженные частицы движутся в магнитных полях с постоянными по модулю скоростями. Если электрическое

2.Вектор магнитной индукции

перпендикулярен начальной скорости частицы (на рис. 3.2 вектор магнитной индукции направлен за плоскость чертежа). Второй закон Ньютона для частицы имеет вид:

maG = FЛ или maG = q[υ × B].

Сила Лоренца постоянна по величине и направлена перпендикулярно скорости и вектору магнитной индукции. Значит, частица будет двигаться все время в одной плоскости. Кроме того, из второго закона Ньютона следует, что и ускорение частицы будет постоянно по величине и перпендикулярно скорости. Это возможно только тогда, когда траектория частицы – окружность, а ускорение частицы − центростремительное. Подставляя во второй закон

87

вектору магнитной индукции со скоростью v . Траектория такого движения представляет собой винтовую линию или спираль (см. рис. 3.3). Шаг спирали h

– расстояние, пролетаемое частицей вдоль вектора индукции за время одного оборота:

h = v//T = v// 2πm = 2πmv0 cosα . qB qB

Откуда известны массы мельчайших заряженных частиц (электрона, протона, ионов)? Каким образом удается их «взвесить» (ведь, на весы их не положишь!)? Уравнение (3.5) показывает, что для определения массы заряженной частицы нужно знать радиус ее трека при движении в магнитном поле. Радиусы треков мельчайших заряженных частиц определяют с помощью камеры Вильсона, помещенной в магнитное поле, или с помощью более совершенной пузырьковой камеры. Принцип их работы прост. В камере Вильсона частица движется в пересыщенном водяном паре и является ядром конденсации пара. Микрокапельки, конденсирующиеся при пролете заряженной частицы, отмечают ее траекторию. В пузырьковой камере (изобретенной лишь полвека назад американским физиком Д. Глейзером) частица движется в перегретой жидкости, т.е. нагретой выше точки ее кипения. Это состояние неустойчиво и при пролете частицы происходит вскипание, вдоль ее следа образуется цепочка пузырьков. Подобную картину можно наблюдать, бросив в стакан с пивом крупинку поваренной соли: падая, она оставляет след из пузырьков газа. Пузырьковые камеры являются важнейшим инструментом для регистрации мельчайших заряженных частиц, являясь по сути, основными информативными приборами экспериментальной ядерной физики.

3.3. Сила Ампера

Если магнитное поле действует на одну движущуюся заряженную частицу, то, естественно, оно будет действовать и на поток заряженных частиц, т. е. на электрический ток. Сила, действующая со стороны магнитного поля на проводник с током, называется силой Ампера.

Рассчитаем величину силы Ампера, действующую на элемент тока длины l . Эту длину следует выбрать настолько малой, чтобы считать, что поле в области элемента тока однородно. На каждый электрон в проводнике будет действовать сила Лоренца:

FЛ = evBsin α ,

88

где v − средняя скорость упорядоченного движения электронов, α − угол между скоростью и вектором магнитной индукции. Тогда сумма всех сил Лоренца, действующих на электроны элемента тока, или сила Ампера:

FA = N ×FЛ = NeνBsinα.

Число свободных электронов в элементе тока:

N = n V = nS l ,

где n − концентрация свободных электронов в проводнике, 1/м3; V − объем элемента тока; S − площадь поперечного сечения проводника. Тогда:

FA = nS levBsin α = (nevS)B l sin α .

Величина в скобках представляет собой произведение плотности тока j = nev

на площадь поперечного сечения провода, т. е. равна силе тока (см. уравнение (2.23)). Следовательно, для силы Ампера, действующей на элемент тока, получим:

измерения магнитного поля в СИ. Расположим проводник перпендикулярно

проводника с током в магнитном поле, нужно разбить его на малые отрезки, которые можно считать прямолинейными, а поле

в области каждого из отрезков однородным, затем определить силы Ампера, действующие на каждый такой отрезок и вычислить векторную сумму полученных сил, т.е. в пределе нужно взять интеграл вдоль всей длины провода

L :

FA = ∫I[dl × B].

L

В заключении приведем пример, в котором обсудим важное свойство силы Ампера, действующей на проводник с током произвольной формы в однородном магнитном поле.

Пример 3.2. Определить результирующую силу Ампера, действующую на

Таким образом, результирующая сила равна силе Ампера, которая бы действовала на прямолинейный проводник AC с тем же током I , начало которого находится в начале первого отрезка с проводом, а конец – в конце второго отрезка с проводом. Фактически при вычислении силы Ампера ломаный проводник ADC можно заменить прямолинейным проводником АС.

Совершенно ясно, что если ломаный проводник будет содержать большее число звеньев, то результат не изменится. При вычислении силы Ампера его

90

заменяют прямолинейным проводником, начало которого находится в начале первого звена, а конец – в конце последнего.

Наконец, если проводник, представляет собой произвольный криволинейный участок провода, то его можно разделить на маленькие (элементарные) кусочки и представить в виде ломаной линии. Отсюда следует важный вывод: сила Ампера, действующая на криволинейный участок проводника с током в однородном магнитном поле, не зависит от формы проводника, а зависит только от расстояния между началом и концом этого участка (т. е. фактически от координат начала и конца участка).

Результаты примера 3.2 позволяют сделать еще один вывод: сила Ампера,

действующая на замкнутый проводник с током в однородном магнитном поле, равна нулю.

Замкнутый проводник с током мы будем сокращенно называть рамкой с током или витком с током.

3.4. Рамка с током в магнитном поле

На каждый элемент рамки с током, помещенной в магнитное поле, будет действовать сила Ампера. Суммируя все действия, можно определить результирующую силу Ампера и результирующий момент сил Ампера. Если магнитное поле однородно, то согласно выводу, сделанному в предыдущем параграфе, результирующая сила равна нулю, и на рамку будет действовать один только вращательный момент.

Моменты сил Ампера, действующих на стороны CD и AE :