Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Электромагнетизм

.pdf

Скачиваний:

221

Добавлен:

29.03.2015

Размер:

2.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 207 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

цепи, называемый током короткого замыкания: Iкз = εr . Это максимальный

ток, который может давать

источник.

Итак,

внутреннее сопротивление источника r

– это

характеристика, определяющая ток короткого

замыкания или максимальные ток и мощность,

которые может давать источник.

Можно сделать вывод, что какова бы ни

была сложная природа источника тока, его

можно

охарактеризовать

всего

двумя

Рис. 2.9. Схема замкнутой

параметрами – электродвижущей силой (ЭДС)

электрической цепи

и внутренним сопротивлением. Любой

источник тока можно представлять себе как

«черный

ящик», состоящий

из идеального

источника ЭДС ε, разность потенциалов на клеммах которого всегда равна ε, и последовательно соединенного с ним сопротивления r, которое называется внутренним сопротивлением источника тока. Такая модель источника тока показана на рис. 2.9.

На этом же рис. 2.9 к клеммам источника подключено некоторое, отличное от нуля сопротивление R. Поскольку внутреннее и внешнее сопротивления соединены последовательно, полное сопротивление цепи будет R + r , и по цепи потечет ток:

I =	ε
I =	R + r .	(2.14)

Последнее равенство называется законом Ома для полной цепи.

Уравнение (2.14) легко преобразуется к виду: ε − Ir = IR . Правая часть этого равенства (а значит и левая) есть напряжение на внешнем сопротивлении R. Это напряжение суть напряжение на выходных клеммах источника тока, так как сопротивление R непосредственно к этим клеммам подключено. Таким образом, при разрядке источника током I напряжение на его клеммах:

Uкл = ε− Ir < ε.		(2.15)
Это напряжение тем ближе к ЭДС, чем меньше внутреннее
сопротивление и ток разрядки. При I = 0	в соответствии	с данным выше
первым определением ЭДС из (2.15) получим	ε =Uкл .

Пример 2.7. В схеме на рис. 2.9 ε=12 В, r =1 Ом, R = 3 Ом.

1) Определить силу тока в цепи. По закону Ома для полной цепи (2.14) получим: I =12(1+3)= 3 А.

2) Определить напряжение на клеммах источника тока. Напряжение на клеммах источника суть напряжение на нагрузке R: Uкл =U R = IR = 3 3 = 9 В. Естественно то же самое получается и по формуле (2.15).

3) Определить мощность, выделяющуюся во внешней цепи. Мощность, выделяющаяся во внешней цепи, есть мощность, выделяющаяся на нагрузке R,

поэтому: Рвнеш=I2R =32 3=27 Вт.

4) Определить мощность, выделяющуюся во внутренней цепи. Конечно, при работе источника тока нагревается не только внешняя нагрузка, но и сам источник, поскольку он обладает внутренним сопротивлением. Мощность, выделяющаяся во внутренней цепи, есть мощность, выделяющаяся на

сопротивлении r: Рвнутр = I 2r = 32 1 = 9 Вт.

5) Определить мощность источника тока (мощность, развиваемую сторонними силами). Работа источника тока расходуется на нагревание как

внешней

нагрузки,

так

самого

источника тока, поэтому:

Р = Р

+Р

= I 2

(R +r) =36

Вт. Можно рассуждать и по-другому,

ист внеш

внутр

опираясь на уравнение (2.13): Рист = Aист

t = I ε = 36 Вт.

6) Определить КПД схемы. Полезной следует считать часть мощности

источника, которая выделяется на внешнем сопротивлении, поэтому:

I 2R

КПД =

внеш

= 0,75 (или 75%).

I 2

(R + r)

R + r

Рист

7) Определить максимальный ток, который может давать заданный источник. Ток будет максимален при коротком замыкании источника (т.е. при

R = 0):

Iкз = εr = 121 =12 (А).

Пример 2.8. Каким должно быть сопротивление R при заданных параметрах источника тока ε и r для того, чтобы во внешней цепи выделялась максимальная мощность? Чему равна эта максимальная мощность?

Решение. Пользуясь законом Ома для полной цепи (2.14) для мощности, выделяемой во внешней цепи, можно записать:

		ε	2	ε	2	R
Р	= I 2 R =		R =				(2.16)

внеш				(R + r)2
		R + r

График зависимости функции

Рвнеш(R) показан на рис. 2.10. Ясно, что эта функция должна иметь точку максимума (т.е. значение R , при котором мощность во внешней цепи максимальна), поскольку из (2.16) следует, что Рвнеш(0) = 0 и Рвнеш → 0 при R → ∞. Найдем точку максимума

функции Рвнеш(R) . Для этого продифференцируем Рвнеш по сопротивлению R и приравняем производную к нулю:

Рвнеш

ε2

R1 R=r R2

Рис. 2.10. Зависимость мощности, выделяемой во внешней цепи от сопротивления

		(R + r)2 − 2R(R + r)
′	2
Рвнеш = ε		(R + r)	4	= 0 ,
		(R + r)

откуда получаем: R = r . Таким образом, мощность, выделяемая во внешней цепи максимальна, когда внешнее сопротивление равно внутреннему сопротивлению источника (рис. 37).

По формуле (2.16) рассчитаем максимальное значение мощности, выделяемой во внешней цепи:

Р	= Р	(R = r) =	ε2r	=	ε2
			(r +r)2		4r .
max ,внеш	внеш

Отметим, что КПД схемы при этом равен всего на всего 50%, т.е. половина мощности выделяется во внешней цепи и половина – во внутренней:

КПД = RR+ r = r +r r = 12 .

Анализируя график на рис. 2.10, можно сделать вывод, что какое-то требуемое значение мощности, выделяемой во внешней цепи, можно получить двумя способами: подключая к источнику тока некоторые сопротивления R1 и

R , причем	R < r , а	R > r . Какой вариант следует выбрать? Конечно,
2	1	2

предпочтение следует отдать второму варианту (т.е. включить большее сопротивление R2 ), поскольку КПД схемы в этом случае будет больше (см.

вопрос 6 примера 2.5). При подключении же сопротивления R1 < r КПД будет меньше 50%. Во внешней цепи мы тоже получим требуемую мощность, но при

этом еще большая мощность будет бесполезно выделяться во внутренней цепи, т.е. расходоваться на нагрев самого источника. В результате источник быстрее израсходует свой ресурс.

2.5. Химические источники тока. Элемент Вольта

Zn Cu

H+ e–

Zn+2

H2SO4

Рис. 2.11.

Схема элемента Вольта

Итак, мы ввели понятие сторонних сил, действующих в замкнутой электрической цепи, рассмотрели модель источников тока, выяснили, что вне зависимости от природы источников, их можно охарактеризовать всего двумя величинами – ЭДС и внутренним сопротивлением. В заключение этого раздела приведем конкретный пример – рассмотрим устройство и работу простейшего (фактически первого в истории)

химического источника тока, называемого элементом Вольта. Его изобрел итальянский физик Алессандро Вольта (1745-1827 г.г.). Подобные элементы теперь называются гальваническими элементами. Во всех таких элементах источником энергии является энергия химических окислительно-восстановительных реакций.

Элемент Вольта представляет собой два электрода (цинковый и медный), погруженных в водный раствор серной кислоты (рис. 2.11). Серная кислота практически вся диссоциирует в воде: H2SO4→2H+ + SO4-2. Таким образом, разбавленный раствор кислоты состоит в основном из ионов Н+ и SO4-2, сольватированных молекулами воды (т.е. ионов не просто окруженных, а весьма прочно связанных с молекулами воды). При погружении цинковый электрод начинает растворяться, причем в раствор под действием ионов SO4-2 переходят не нейтральные атомы цинка, а ионы Zn+2. При этом на электроде оказывается избыток электронов, и он становится заряженным отрицательно. Раствор же за счет ионов Zn+2 наоборот, приобретает положительный заряд. Между электродом и раствором возникает разность потенциалов. Естественно, некоторые ионы Zn+2, притягиваясь к отрицательно заряженному электроду, возвращаются обратно. В результате достаточно быстро наступает состояние динамического равновесия, в котором число растворяющихся в единицу времени ионов Zn+2 равно числу ионов Zn+2, возвращающихся в электрод. Опыт показывает, что в положении равновесия потенциал цинкового электрода примерно на 0,65 В меньше потенциала раствора.

Если в раствор серной кислоты погрузить медный электрод, будут происходить иные процессы. Медь является достаточно благородным металлом и почти не растворяется в разбавленном растворе серной кислоты. Наоборот,

положительные ионы водорода Н+, попадая на медный электрод, отбирают у него свободные электроны и нейтрализуются. При этом медный электрод становится положительно заряженным, а раствор – отрицательно заряженным. В равновесии потенциал медного электрода примерно на 0,35 В выше, чем потенциал цинкового электрода.

Таким образом, при одновременном погружении цинкового и медного электродов в раствор серной кислоты в равновесии потенциал медного электрода будет примерно на 0,65+0,35=1,1 В выше, чем потенциал цинкового электрода. Медный электрод образует положительный полюс (с большим потенциалом), а цинковый – отрицательный полюс элемента. Разность потенциалов между электродами при разомкнутой цепи, равная 1,1 В, и есть ЭДС элемента.

Соединим теперь цинковый и медный электроды металлическим проводником. Свободные электроны во внешней цепи (в металлическом проводнике) начнут двигаться от цинкового электрода, где имеется их избыток, к медному электроду, где их недостает. Возникнет электрический ток, направленный от меди к цинку. А что же при этом происходит в растворе (внутренней цепи)? Поскольку электроны покидают цинковый электрод, нарушается состояние равновесия цинковый электрод – раствор, в результате чего цинковый электрод за счет растворения стремится восстановить свой прежний отрицательный заряд. За счет прихода электронов по внешней цепи в медный электрод его положительный заряд уменьшается, нарушается состояние равновесия медный электрод – раствор, в результате чего медный электрод, поглощая ионы Н+, восстанавливает свой положительный заряд.

Мы видим, что в то время как во внешней цепи от цинкового электрода к медному движутся электроны, во внутренней цепи движутся ионы, причем движутся против действия электрического поля: положительные ионы Н+ перемещаются (диффундируют) к положительному полюсу – медному электроду, а отрицательные ионы SO4-2, способствуя растворению ионов Zn+2, диффундируют к отрицательному полюсу – цинковому электроду. Так в замкнутой цепи осуществляется круговой процесс перемещения электрических зарядов, т.е. электрический ток. При прохождении тока по цепи разность потенциалов между электродами будет поддерживаться постоянной за счет растворения цинкового электрода и осаждения ионов водорода на медном электроде. Но так как оба электрода при этом все время находятся в неравновесном состоянии по отношению к раствору, эта разность потенциалов будет меньше, чем 1,1 В (что согласуется с формулой (2.15)). Стоит только разомкнуть внешнюю цепь, система быстро придет в положение равновесия, окислительно-восстановительные реакции прекратятся, и между электродами возникнет разность потенциалов, равная ЭДС (в нашем случае 1,1 В).

Какие же сторонние силы заставляют двигаться заряды против поля внутри источника? Эти силы можно было бы назвать химическими силами. Они действуют на границе электрод – раствор. По существу действие этих сил

отражает стремление системы электроды – раствор к положению равновесия, в результате чего в элементе происходят окислительно-восстановительные реакции. Точно так же, например, при отклонении маятника от положения равновесия возникает сила, стремящаяся возвратить его в это положение. Выражение «химическая сила» является весьма формальным. При рассмотрении механизмов химических реакций крайне редко пользуются понятиями «химическая сила», да и просто сила. В теории возможность протекания тех или иных химических процессов рассматривают энергетически, или точнее, при помощи так называемых термодинамических потенциалов – внутренней энергии, энтальпии, свободной энергии (энергии Гельмгольца) и потенциала Гиббса. Так при постоянных давлении и температуре равновесному положению системы отвечает минимум потенциала Гиббса. Именно стремление системы к минимуму потенциала Гиббса заставляет, например, растворяться цинковый электрод в растворе кислоты.

Работа химических сил, совершаемая против сил, действующих со стороны электрического поля, есть работа источника тока. Эта работа равна энергии, выделяющейся при химических окислительно-восстановительных реакциях в элементе (для элемента Вольта суммарную реакцию можно выразить уравнением Zn+H2SO4=ZnSO4+H2). Таким образом, источник энергии электрического тока – энергия, выделяющаяся при химических реакциях между электродами и раствором кислоты. При работе элемента за счет тока будет нагреваться внешняя цепь, но, естественно будет нагреваться и сам реакционный сосуд – внутренняя цепь. Мы уже знаем, что нагрев внутренней цепи (так же как и конечную величину тока короткого замыкания источника) можно формально объяснить, приписав источнику некоторое внутреннее сопротивление. При коротком замыкании элемента потенциалы двух электродов будут равными, так как напряжение во внешней цепи U = I R = I 0 = 0. При этом система электроды – раствор будет более всего далека от своего равновесного состояния, а значит процессы растворения цинкового электрода и осаждения ионов водорода на медном электроде сильно активизируются, и по цепи потечет максимально возможный ток – ток короткого замыкания. Поскольку для протекания описанных процессов необходимо присутствие ионов SO4-2 вблизи цинкового электрода и Н+ – вблизи медного, величина тока короткого замыкания ограничена, например, конечной скоростью диффузии ионов Н+ и SO4-2 в растворе. Все процессы, ограничивающие величину тока короткого замыкания, учитываются формально величиной внутреннего сопротивления источника.

Может показаться, что время нормальной работы элемента ограничено полным растворением цинкового электрода или полным осаждением ионов водорода на медном электроде. В действительности же, в результате осаждения ионов водорода медный электрод достаточно быстро как бы заменяется водородным и ЭДС элемента уменьшается. Явление выделения побочных продуктов на электродах, ослабляющее их ЭДС, называется поляризацией

а) разрядка источника

гальванических элементов. Для того

чтобы устранить это явление, нужно

ϕ1

ϕ2

подобрать электроды и электролиты

таким образом, чтобы состав

б) зарядка источника

электродов при работе

элемента

оставался прежним. Например, в

элементе

Даниэля

цинковый

ϕ1

ϕ2

медный

электроды

погружены

разные растворы ZnSO4 и CuSO4

Рис. 2.12. Схема неоднородного

соответственно,

соединенные

пористой перегородкой. При работе

участка электрической цепи

этого элемента цинковый

электрод

растворяется, а на медном электроде выделяется медь, так что его состав не изменяется.

В других источниках электрической энергии могут происходить иные процессы, могут действовать иные сторонние силы. Однако, роль и смысл сторонних сил всегда одни и те же. Сторонние силы поддерживают разность потенциалов во внешней цепи, а их работа по перемещению единичного заряда во внутренней цепи по определению равна ЭДС.

2.6. Закон Ома для неоднородного участка цепи

Неоднородный участок цепи в отличие от однородного включает источник тока (рис. 2.12). На таком участке цепи на свободные заряды кроме сил электрического поля действуют сторонние силы. Значит, и работу на таком участке совершают как электрическое поле, так и источник тока. Результат работы всех сил, действующих на участке цепи с активным сопротивлением при прохождении тока, может быть единственным – нагревание сопротивления. Следовательно, для неоднородного участка цепи

Аэл + Аист = Q .

(2.17)

Это уравнение полезно сравнить с аналогичным уравнением для однородного участка цепи Аэл = Q , которое использовалось при выводе закона ДжоуляЛенца (2.6). В случае однородного участка работу совершает только электрическое поле.

Будем считать, что источник тока (рис. 2.12,а) разряжается, т.е. ток направлен от точки с потенциалом ϕ1 к точке с потенциалом ϕ2 . Пусть q -

заряд, прошедший по участку цепи. Тогда Аэл = q(ϕ1 −ϕ2 ) , а из определения ЭДС (см.(2.13)) Аист = qε. Тепло выделяется как на внешнем сопротивлении

R , так и на внутреннем сопротивлении источника r , поэтому по закону Джоуля-Ленца Q = I 2 (R + r) t . Учитывая, что q = I t , из (2.17) получим:

I(ϕ1 −ϕ2) t +I ε t = I2(R +r) t .

Отсюда следует:

(ϕ1 −ϕ2 ) + ε = I (R + r) .

(2.18)

Выражение (2.18) и представляет собой закон Ома для неоднородного участка цепи.

Вывод закона Ома для неоднородного участка в случае, когда источник тока заряжается, во многом аналогичен выводу, приведенному выше. В этом случае, очевидно, где-то в цепи есть иные источники, которые заряжают наш источник и обуславливают направление тока, показанное на рис. 2.12,б. Работа

источника теперь будет отрицательной Аист = −qε. Если химическая реакция в элементе обратима, то, пропуская ток в обратном направлении, заряжая источник, можно восстановить исходное состояние элемента, т.е. восстановить запасы его энергии. В прямой химической реакции при разрядке источника энергия qε выделяется, а в обратной реакции точно такая же энергия поглощается источником. Если в первом случае источник совершает положительную работу А= qε, то во втором случае ее следует считать

отрицательной А= −qε.

Работа электрического поля теперь будет равна Аэл = q(ϕ2 −ϕ1), так как положительный заряд переносится от точки с потенциалом ϕ2 к точке с потенциалом ϕ1 .

Записывая закон сохранения энергии, и выполняя простейшие

преобразования, получим:
(ϕ2 −ϕ1)−ε=I(R+r) .	(2.18,а)

Рассмотрим несколько частных случаев.

1) Исключим из участка цепи источник тока. Тогда ε = 0 , r = 0 и, как и следовало ожидать, из (2.18) получим закон Ома для однородного участка цепи:

ϕ1 −ϕ2 = IR U = IR .

Рис. 2.13. Узел электрической цепи

клеммах:

2) Соединим (закоротим) точки 1 и 2, тогда ϕ1 = ϕ2 , и мы получили замкнутую цепь (рис. 2.9). Из

(2.18) закономерно следует закон Ома для замкнутой цепи:

ε= I(R + r) .

3)Исключим из участка цепи внешнее сопротивление R . Тогда в случае разрядки источника из (2.18,а) получим, что разность потенциалов на его

ϕ1 −ϕ2 = I r −ε

(сравните с полученной ранее формулой (2.15)). При достаточно больших токах напряжение на клеммах источника может оказаться больше ЭДС.

В случае зарядки источника из (2.18,а) получим, что разность потенциалов на его клеммах:

ϕ2 −ϕ1 = ε+ Ir > ε

В заключение подчеркнем, что закон Ома для неоднородного участка цепи является, по сути, прямым следствием закона сохранения энергии (и, конечно, закона Джоуля-Ленца).

2.7. Правила Кирхгофа

Простые электрические цепи достаточно легко рассчитываются с применением законов Ома и законов последовательного и параллельного соединения проводов. Более сложные разветвленные электрические цепи удобнее рассчитывать при помощи правил Кирхгофа.

Рассмотрим произвольную разветвленную цепь, на отдельных участках которой включены источники тока с известными характеристиками. Точка цепи, в которой сходится более двух проводов (рис. 2.13), называется узлом.

Первое правило Киргхофа. Сумма токов втекающих в узел равна сумме токов, вытекающих из узла:

∑Iвх = ∑Iвых .

(2.19)

Эквивалентная формулировка первого правила Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю − ∑Ii = 0 . При этом втекающим

и вытекающим из узла токам приписываются противоположные знаки. В нашем случае (рис. 2.13): I2 + I4 = I1 + I3 + I5 .

Рис. 2.14. Фрагмент электрической цепи с замкнутым контуром.

Первое правило Кирхгофа, по сути, является следствием закона сохранения заряда. Оно также отражает тот факт, что при постоянном токе в узле не происходит нарастающее во времени накопление заряда того или иного знака. Для этого нужно, чтобы количество заряда, втекающее в узел в единицу времени, было равно количеству заряда, вытекающего из него.

		1
	R3		ε1, r1
	R3
	I3
ε3, r3			R1
ε3, r3			I1
		I2
3	ε2, r2	R2	2
		R2

Второе правило Кирхгофа. В

произвольном замкнутом контуре алгебраическая сумма ЭДС, действующих в этом контуре, рана

сумме падений напряжений на отдельных участках этого контура:

∑εi = ∑Ii Ri

(2.20)

Некоторые слагаемые в (2.20) как слева, так и справа могут быть отрицательными. При решении конкретных задач токи на отдельных участках первоначально расставляются произвольным образом. Затем произвольным образом выбирается положительное направление обхода замкнутого контура (по часовой или против часовой стрелки). Если ток течет вдоль положительного направления, его берут со знаком «+», если против положительного направления – со знаком «−». Если ЭДС действует вдоль положительного направления, т.е. при обходе контура источник проходится от клеммы «−» к клемме «+», то значение ЭДС берется со знаком «+», и наоборот. Если в результате расчета сила тока получится отрицательной, то значит, мы не угадали направление тока на данном участке и его просто следует изменить на противоположное. Сама же величина тока, независимо от того, как мы расставим токи в начале решения задачи, получится правильной.

Для доказательства второго правила Кирхгофа рассмотрим произвольный замкнутый контур в цепи, который в общем случае может включать в себя внешние сопротивления и ЭДС на каждом участке (от узла до узла). Положительным будем считать направление по часовой стрелке. Пусть для определенности наш контур включает три участка (рис. 2.14). Направление токов расставим произвольно. Применим закон Ома (2.18) к каждому из трех неоднородных участков цепи. Для первого участка 2-1 работа электрического поля положительна, а работа источника (он заряжается) отрицательна, поэтому:

(ϕ2 −ϕ1) −ε1 = I1R1 + I1r1.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 207 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Методички_Общая физика

#
29.03.20151.27 Mб58Лабы_Электромагнетизм.pdf
#
29.03.2015993.79 Кб60Метод указания 3.doc
#
29.03.20151.18 Mб55Методичка по механике 2004-97.doc
#
29.03.20155.65 Mб163Методичка по электромагнетизму.doc
#
29.03.20153.22 Mб49Механика, колебания и МФ.pdf
#
29.03.20152.17 Mб221Электромагнетизм.pdf