Руководства к лабам и др физика / Методички_Общая физика / Электромагнетизм

51

Пример 2.1. Почему лампочки перегорают чаще всего в момент включения?

Решение. Для начала заметим, что выделяющееся тепло не остается внутри провода, а отводится вследствие теплопроводности, излучения или конвекции в окружающее пространство. Так, лампочки специально наполняют для этого инертным газом, служащим проводником тепла, и не реагирующим со спиралью даже при очень высоких температурах.

В момент включения нить лампочки еще холодная, а, следовательно, согласно формуле (2.4) ее сопротивление мало. Поэтому в лампе выделяется

большая тепловая энергия (тепловая мощность Р =U 2 R ), которая не успевает отводиться в окружающее пространство, и нить перегорает.

Формула (2.7) дает три варианта расчета тепловой мощности. Какой же вариант следует использовать при решении конкретных задач? Можно ли считать мощность прямо пропорциональной сопротивлению или ее следует считать обратно пропорциональной ему? Пока не известны какие-либо дополнительные данные задачи, ответить на эти вопросы невозможно. Например, если по проводам течет одинаковый ток (это возможно при их последовательном соединении), то тепловую мощность следует считать прямо

пропорциональной сопротивлению ( P = I 2 R ). Если же всякий раз проводники подключаются к одному и тому же напряжению (как, например, электробытовые приборы), то тепловую мощность следует считать обратно

пропорциональной сопротивлению ( Р =U 2 R ), как мы и поступили при решении предыдущей задачи.

Пример 2.2. При ремонте электроплитки ее спираль укоротили на 0,1 ее длины. Как изменилась теплоотдача плитки?

Решение. Теплота, выделяющаяся в плитке за единицу времениР =U 2 R , где U − напряжение сети (всякий раз одно и то же), а R − сопротивление ее спирали. Учитывая, что R = ρlS , можно написать:

Как видим, теплоотдача плитки возрастает на 11%.

2.3.Последовательное и параллельное соединение проводников

Впрактике электрические цепи представляют собой самые разные варианты соединения проводников,

поэтому нужно уметь сложные цепи поэтапно сводить к двум важнейшим случаям: последовательному и

параллельному соединению проводников. Законы параллельного и последовательного соединения проводников

52

выводятся практически так же, как и законы параллельного и последовательного соединения конденсаторов

(см. п.1. 10).

один и тот же ток I1 = I2 = I3 = I0 ,

где I0 − суммарная сила тока, протекающего через участок АВ (т.е.

ток, входящий в точку А и соответственно выходящий из точки В). Если бы это равенство было не верно, то количество заряда, втекшего за единицу времени, например, в первый провод было бы не равного количеству заряда вытекающему из него. Другими словами, в точках соприкосновения проводов накапливались бы заряды, что в стационарном случае невозможно. Полное

напряжение на участке АВ U0 = ϕA −ϕB равно сумме падений напряжений на

идущий по участку, в узле А разделяется на три части, поэтому: I0 = I1 + I2 + I3 .

53

Используя последнее уравнение и закон Ома, определим общее сопротивление R0 участка цепи АВ:

Итак, в случае параллельного соединения проводников их общее сопротивление вычисляется по формуле:

Предлагаем читателям самостоятельно обобщить формулы (2.8) и (2.9) на случай произвольного количества проводников.

Результаты (2.8) и (2.9) легко объяснить на примере двух одинаковых проводников с сопротивлением R. В случае последовательного соединения:

Действительно, последовательное соединение двух одинаковых проводников будет эквивалентно увеличению в 2 раза общей длины провода, а, следовательно, увеличению в 2 раза и общего сопротивления (см. (2.3)). Параллельное соединение двух одинаковых проводников эквивалентно увеличению в 2 раза площади сечения провода. В этом случае общее сопротивление уменьшится в 2 раза.

Пример 2.3. Найти сопротивление участка цепи АВ (рис. 2.3). Все сопротивления в схеме одинаковы и равны 8 Ом.

Рис. 2.3. Схема расчета сопротивления электрической цепи

54

Решение. Последовательно, шаг за шагом, упрощаем исходную схему (рис.2.3). Заменим параллельно соединенные сопротивления R2 и R3, а также R4 и R5 на их результирующие сопротивления R23 и R45 и от схемы (а) перейдем к схеме (б). Согласно формуле (2.9):

соединены последовательно. По формуле (2.8) находим эквивалентное им

сопротивление: R123 = R1 + R23 =8 +4 =12 (Ом) и переходим к схеме (в). Так как сопротивления схемы (в) соединены параллельно, эквивалентное им сопротивление определяется по формуле (2.9):

Итак, мы нашли сопротивление участка цепи АВ, придя к простейшей схеме (г). Пример 2.4. Определить общий ток в цепи и ток через сопротивление R3 в

схеме на рис. 2.3, если разность потенциалов между точками А и В U0 =12 В. Все сопротивления одинаковы и равны 8 Ом.

Решение. Прежде всего, нужно определить общее сопротивление участка цепи R0 =3 Ом (см. пример 2.3). Далее решение задачи сводится к

последовательному расчету схем г, в, б, а.

Схема (г). По закону Ома находим ток через сопротивление R0 (общий ток в цепи): I0 =U0 R0 =123 = 4 (Ом).

Схема (в). Так как сопротивления R123 и R45 соединены параллельно, то

Схема (б). Через сопротивления R1 и R23 течет один и тот же ток, так как они соединены последовательно. Причем этот ток равен току через эквивалентное им сопротивление R123 (который мы нашли, рассчитывая цепь

I3 =U3 R3 = 48 = 0,5 А.

56

например, сопротивления R1 и R4 нельзя считать соединенными последовательно, поскольку между ними есть узел С. В результате через эти сопротивления

могут течь разные токи, так как в узле С ток I1 делится на две части – токи I4 и I3 . Или, например, сопротивления R1 и R2 нельзя считать соединенными

параллельно, поскольку их правые части соединены проводом с отличным от нуля сопротивлением R3. В этом случае потенциалы точек С и D могут не совпадать (потенциал может падать на сопротивлении R3), а значит и напряжение на сопротивлениях R1 и R2 может быть различным.

Наиболее универсальным методом для расчета сложных электрических цепей является применение правил Кирхгофа (см. п. 2.6). Здесь же мы покажем, как в некоторых случаях можно обойтись и без этих правил.

Замены последовательно или параллельно соединенных сопротивлений на эквивалентные по формулам (2.8) или (2.9) являются простейшими примерами преобразования электрических цепей с двумя выводами. Теперь посмотрим, как «преобразуются» друг в друга схемы, имеющие три вывода, − «звезда» и «треугольник» (рис. 2.6). На рис. 2.6 для удобства сопротивления схемы (а) обозначены малыми буквами, а сопротивления схемы (б) – большими с двойным индексом. Например, сопротивление R23 включено между выводами 2 и 3 и т. д. Если мы хотим заменить одну схему другой, наша задача – получить такие соотношения между r и R, чтобы сопротивления между любыми двумя точками были для обеих схем одинаковыми.

Для того, чтобы найти сопротивление, например, между точками 1 и 2, нужно подать разность потенциалов на эти точки. Тогда в схеме «звезда» ток через сопротивление r3 не пойдет и сопротивления r1 и r2 соединены последова-

Рис. 2.6. Схема соединения сопротивлений «звезда» (а) и «треугольник» (б)

58

Рис. 2.7. Схема замены соединения сопротивлений «звезды» и «треугольника»

Пример 2.6. В схеме на рис. 2.5 R1 = R2 = R3 = R4 =3 Ом, R5 =11 Ом. Определить: 1) сопротивление участка цепи АВ, 2) ток через сопротивление

R5 , если точки А и В подключены к напряжению U0 =12 В.

Решение. На рис. 2.8 показана последовательность преобразований схемы. Отметим лишь, что самым первым было преобразование «треугольника» ACD в «звезду». При этом мы воспользовались формулами (2.10) (см. также рис. 2.7). Для общего сопротивления участка АВ получаем R0 = 4 Ом.

Для нахождения общего сопротивления участка можно было выбрать

12 Ом Рис. 2.8. Последовательность преобразования электрических схем

несколько вариантов преобразования исходной схемы. Например, можно было сначала «треугольник» CBD превратить в «звезду» или, наоборот, «звезду» с центром в узле С (или D) превратить в треугольник. Однако, помимо общего сопротивления, нам необходимо найти еще и ток через сопротивление R5.

59

Поэтому схему нужно преобразовать так, чтобы не затронуть интересующее нас сопротивление R5. Этим мы и руководствовались при выборе преобразований.

Рассматривая упрощенные схемы, также как и в примере 2.4, легко получить, что общий ток, поступающий на участок цепи АВ I0 =3 А, а ток через сопротивление R5: I5 = 0,75 А.

2.4. Источники тока. Закон Ома для полной цепи

Для того чтобы поддерживать разность потенциалов на концах проводника и, следовательно, существование постоянного электрического тока в проводнике и постоянное тепловыделение, необходимы источники электрической энергии (электрического тока). В источниках такого рода происходит разделение зарядов разных знаков и на выходных клеммах появляется разность потенциалов.

Подключим какую-нибудь нагрузку (сопротивление) к источнику электрической энергии. Получим замкнутую цепь. Каким образом движутся заряды вне и внутри источника тока? Прежде всего, еще раз напомним, что мы рассматриваем только стационарные токи, т.е. заряды нигде не накапливаются, а просто циркулируют по замкнутой цепи. Вне источника (во внешней цепи) ток идет от «плюса» к «минусу» (клемма «плюс» – клемма с большим потенциалом, клемма «минус» – клемма с меньшим потенциалом). Таким образом, во внешней цепи заряды движутся в направлении, в котором на них действует электрическое поле внутри проводника: положительные по полю, отрицательные против поля. Внутри источника электрической энергии (во внутренней цепи) ток идет от «минуса» к «плюсу», т.е. заряды движутся в направлении, противоположном тому, в котором на них действует электрическое поле. Значит, внутри источника перемещение зарядов вызывается не электрическим полем, а какими-то иными причинами. Эти причины (химические, механические, световые, магнитные и т. д.) зависят от природы источника тока.

Силы, действующие внутри источника электрической энергии, заставляющие заряды двигаться против действия электрического поля, называются сторонними силами. При этом часто при решении каких-то задач природа этих сил значения не имеет и не конкретизируется. Сторонние силы при упорядоченном движении зарядов совершают работу, за счет которой, например, нагреваются сопротивления. Очевидно, что полный запас энергии источника тока равен работе, которую могут совершить сторонние силы.

К идее о необходимости действия в замкнутой цепи сторонних сил полезно прийти и иным образом. Представим себе, что на свободные заряды в замкнутой цепи действовали бы одни электрические силы. Известно, что цепь

60

при прохождении по ней тока нагревается. Выделившееся тепло тогда можно было бы рассматривать только как результат работы электрических сил (электрического поля). Но работа электрического поля по перемещению зарядов по замкнутой траектории (в данном случае замкнутой цепи) равна нулю (этот факт подробно обсуждался в п.1.12). А значит, не могла бы нагреваться и цепь, что явно противоречит опыту. Следовательно, где-то в замкнутой цепи обязательно должны действовать силы не электростатического происхождения, работа которых отлична от нуля, т.е. сторонние силы. Место действия сторонних сил в замкнутой цепи и можно назвать источником электрической энергии или источником тока.

Важнейшей характеристикой источника тока является электродвижущая сила (ЭДС). Можно дать два

эквивалентных определения ЭДС.

1)ЭДС – разность потенциалов на выходных клеммах источника тока при разомкнутой внешней цепи (или когда ток через источник не идет). Далее мы покажем, что в случае разрядки или зарядки источника тока разность потенциалов на его выходных клеммах соответственно меньше ЭДС и больше ЭДС.

2)ЭДС – работа сторонних сил (источника) по разделению единичного заряда (или просто при прохождении через источник единичного заряда):

Из (2.12) следует, что, зная ЭДС источника, силу тока и время его протекания, можно определить работу, совершенную сторонними силами:

Обсудим вторую характеристику источника – внутреннее сопротивление. Представим себе, что мы замкнули клеммы источника проводником с исчезающе малым сопротивлением R → 0 , другими словами, сделали короткое замыкание источника. Тогда, если бы источник был идеальным, т.е. на его выходных клеммах разность потенциалов была бы всегда равна ЭДС, то

по закону Ома мы получили бы I = εR = ε0 = ∞ , т.е. источник давал бы бесконечный ток и в единицу времени совершал бы бесконечно большую работу (см. (2.13)), что невозможно. Таким образом, при работе любого источника обязательно должны существовать какие-либо внутренние механизмы ограничения максимального тока. Эти механизмы могут быть различными в зависимости от природы источника тока. Однако все они могут быть смоделированы, если ввести вторую характеристику источника – внутреннее сопротивление r . В этом случае при коротком замыкании за счет конечного внутреннего сопротивления источника мы получим конечный ток в