Руководства к лабам и др физика / Методички_Общая физика / Электромагнетизм

Например, для емкости уединенного заряженного металлического шара, находящегося в диэлектрической среде ( ϕ = k q(ε R)), получим:

Пример 1.10. Два проводника с емкостями С1 и С2 и потенциалами ϕ1 и ϕ2, расположенные далеко друг от друга, соединяются проводящей проволокой. Определить потенциалы проводников после соединения. Считать, что электроемкость проволоки пренебрежимо мала.

Решение. При соединении проводников с различными потенциалами проводящей проволокой часть заряда одного проводника перетекает по проволоке на другой проводник так, что потенциалы проводников выравниваются. Действительно, в равновесии (отсутствии токов) потенциал любой точки проводящей системы, состоящей из проводников и проволоки, будет одинаков (см. пример 1.8).

Выравнивание потенциалов проводников полезно уяснить себе и с точки зрения закона Ома, который будет обсуждаться в следующей главе. Ток по проволоке прекратится, когда разность потенциалов (или напряжение) на ее концах будет равна нулю.

Если проводники расположены далеко друг от друга, то потенциал каждого из них можно рассчитывать как потенциал уединенного проводника при помощи формулы (1.31). Пусть q1 и q2 − заряды проводников до

соединения, а q1′ и q′2 − заряды проводников после соединения. Тогда,

используя закон сохранения заряда, находим потенциал проводников ϕ′ после соединения:

Так как электроемкость проволоки пренебрежимо мала, мы не учитываем ее заряд. Полученный результат показывает, что если электроемкость одного из проводников очень велика по сравнению с электроемкостью другого

проводника ( С1 >> С2 ), то его потенциал меняться практически не будет

42

( ϕ′ ≈ ϕ1 ). Например, при соединении проводника с землей (заземлении) его

потенциал становится равным потенциалу Земли, который принимают равным нулю.

1.11. Энергия электрического поля

Для того чтобы зарядить конденсатор, очевидно, нужно затратить некоторую работу. Следовательно, заряженный конденсатор обладает энергией, которая и будет равна работе, затраченной на его зарядку. Возникает ряд вопросов. Откуда взялась эта энергия? Где и в каком виде она сосредоточена?

Убедится в том, что в конденсаторе действительно запасена энергия, можно и экспериментально. Например, если обкладки заряженного конденсатора соединить проволокой, то она нагреется. В этом случае энергия конденсатора переходит во внутреннюю энергию проволоки в результате кратковременно текущего тока. Аналогичным образом к заряженному конденсатору можно присоединить лампочку. В результате она на мгновение вспыхнет. И, наконец, всем известно, какая громадная энергия выделяется при разряде молнии в гигантском конденсаторе «облако – Земля».

Для того чтобы ответить на поставленные в начале этого параграфа вопросы, рассчитаем сначала работу, необходимую для зарядки плоского конденсатора, а, следовательно, и энергию плоского конденсатора. Возьмем плоский незаряженный конденсатор, обкладки которого разделены слоем диэлектрика и будем небольшими порциями каким-либо образом переносить электроны с одной обкладки на другую. При этом на одной обкладке появятся лишние электроны, и она будет заряжаться отрицательно, а на второй обкладке будет их недостаток, и она будет заряжаться положительно. Отметим, что способ переноса электронов роли не играет. Сейчас мы ставим «мысленный» эксперимент. Далеко не все «мысленные» эксперименты можно вообще осуществить на практике. Однако в физике они широко используются теоретиками для проведения математических расчетов. Итак, пусть в момент, когда обкладки уже были заряжены зарядом q , с одной обкладки на другую

был еще перенесен заряд dq . Работа dA , необходимая для переноса заряда dq не зависит от траектории заряда и противоположна по знаку работе электрического поля (см. (1.7)): dA = dq( ϕ2 −ϕ1 ) = dqU . Далее воспользуемся определением емкости конденсатора (1.27): U = qC . Тогда работа по переносу

порции заряда dq с одной обкладки на другую dA = qdqC . Интегрируя последнее выражение, находим полную работу, необходимую для заряжания конденсатора до заряда q :

43

Используя формулу (1.27), полученное выражение можно записать и так:

А= СU2 2 .

Следовательно, энергия заряженного конденсатора:

W = CU2 2 . (1.32)

Выразим полную энергию конденсатора через напряженность электрического поля между пластинами (см. 1.20,б):

Теперь вычислим объемную плотность энергии w или энергию, приходящуюся на единицу объема конденсатора:

w = WV = SdW = εε02E 2 .

Используя связь (1.24) между напряженностью электрического поля Е и

вектором электрического смещения D полученный результат можно записать так:

w = Е2D . (1.33)

Объемная плотность энергии конденсатора уже не зависит от каких-либо его геометрических характеристик. Она выражается лишь через характеристики электрического поля конденсатора. Таким образом, можно предположить, что энергия конденсатора – это энергия электрического поля, заключенного между его обкладками. Тогда становятся ясными превращения энергии в опытах,

44

описанных в начале параграфа. Всякий раз при разрядке конденсатора электрическое поле между обкладками исчезает, а энергия электрического поля переходит в другие виды энергии.

Выражение (1.33) для плотности электрического поля в какой то точке пространства (небольшой области), доказанное нами в случае электрического поля конденсатора, является универсальным. В общем случае энергия неоднородного электрического поля, заключенная в некотором объеме V, рассчитывается через объемный интеграл:

W= V∫w dV = V∫ED2 dV .

Взаключение отметим, что энергия электрического поля уединенного заряженного проводника:

Это выражение можно получить примерно так же, как и выражение (1.32).

1.12. Потенциальность электрического поля. Теорема о циркуляции

В начале этой главы, изучая электрическое поле в вакууме, мы уже отмечали его потенциальный характер. Электрическое поле будет потенциальным и в веществе. Вообще, электрическое поле любой системы зарядов (свободных или связанных) является потенциальным. Напомним, что потенциальный характер электрического поля выражается в том, что работа по перемещению электрического заряда из точки 1 в точку 2 в электрическом поле

не зависит от формы траектории и определяется выражением А= q(ϕ1 −ϕ2 ) . Если точки 1 и 2 совпадут, то А= q(ϕ1 −ϕ2 ) = 0 . Потенциальность электрического поля равносильна утверждению, что работа электрического поля по перемещению какого-либо заряда по замкнутой траектории равна нулю.

С другой стороны, работу по перемещению заряда по какой-либо кривой L можно вычислить по формуле:

А= ∫( F ,dl ) .

L

Используя формулу (1.4), для работы по замкнутой траектории получим:

45

A = ∫( qE,dl ) = q∫( E,dl ).

L L

L

электрического поля по замкнутому контуру L . Мы получили, что циркуляция вектора напряженности электрического поля по замкнутому контуру L равна нулю. Это утверждение называется теоремой о циркуляции электрического поля. Теорема равносильна тому факту, что электрическое поле, созданное любой системой зарядов, является потенциальным.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.

1.Какие частицы являются носителями электрического заряда?

2.Что значит зарядить тело? Изменяется ли при этом его масса?

3.Если потереть газетой детский воздушный шар, а затем приблизить его к потолку и отпустить, он станется висеть у потолка. Почему?

4.Сформулируйте закон Кулона.

5.С какой силой действуют два одноименных и равных по величине заряда на третий заряд, помещенный посередине между ними?

6.Зависит ли сила взаимодействия зарядов от среды, в которой они находятся?

7.Каким образом заряды, находящиеся на некотором расстоянии друг от друга, взаимодействуют?

8.Дайте определение напряженности электрического поля.

9.Что называется напряжением между двумя точками поля?

10.Объясните, что такое потенциал некоторой точки поля и потенциальная энергия заряда, находящегося в данной точке.

11.Как связаны две характеристики электрического поля – напряженность и потенциал?

12.Потенциал возрастает по мере удаления от точечного заряда. Каков знак заряда?

13.Сформулируйте принцип суперпозиции.

46

14.Электрическое поле создают два разноименных точечных заряда, равных по абсолютной величине. Как направлен вектор напряженности в точках, равноудаленных от этих зарядов? Чему равен потенциал в этих точках?

15.Изобразить графически электрическое поле двух равных по абсолютной величине а) разноименных, б) одноименных точечных зарядов.

16.Рядом с нейтральным металлическим шаром находится точечный заряд. Изобразить картину силовых линий электрического поля во всем пространстве. То же самое сделайте для точечного заряда, находящегося вблизи поверхности Земли.

17.Сформулируйте теорему Гаусса. Приведите примеры её применения.

18.Пусть Е1=100 В/м – напряженность электрического поля в точке, удаленной на расстоянии r1=1 см от а) точечного заряда, б) длинной заряженной нити, в) равномерно заряженной пластины больших размеров. Чему будет равна напряженность электрического поля во всех перечисленных случаях при r2=0,5 см?

19.Как изменяется напряженность и потенциал электрического поля в зависимости от расстояния до центра а) равномерно запряженной сферы, б) двух разноименно заряженных равными по абсолютной величине зарядами концентрических сфер? Постройте графики.

20.Чем строение проводников отличается от строения диэлектриков?

21.Что такое электростатическая защита?

22.В каком случае сила электростатического взаимодействия двух металлических шаров больше – при наличии одноименных или разноименных зарядов на шарах (при прочих равных условиях)?

23.Вблизи поверхности Земли существует электрическое поле и его напряженность такова, что разность потенциалов между точками на уровнях головы и пяток может быть равна 200 В. Представляет ли такое напряжение опасность для человека?

24.Два шарика с зарядами +5 нКл и −3 нКл соединяют проволокой. Как распределится заряд на шариках, если а) шарики одинаковые, б) радиус первого шарика в 2 раза больше радиуса второго?

25.Всегда ли между проводником, заряженным положительно, и проводником, заряженным отрицательно, существует разность потенциалов?

26.Опишите процесс поляризации диэлектрика.

27.Почему к заряженному телу притягиваются лёгкие нейтральные бумажки?

28.Какие заряды называются а) поляризационными, б) свободными?

29.Дайте определение вектора электрического смещения. Что характеризует данный вектор?

30.Сформулируйте теорему Гаусса для электрического поля в диэлектриках.

31.Между пластинами заряженного плоского конденсатора, отключенного от источника напряжения, ввели диэлектрик (ε=2). Во сколько раз изменятся величины векторов напряженности и электрического смещения между пластинами?

47

32.Дайте определение вектора поляризации. Каков его физический смысл?

33.Что такое конденсатор. Где и с какой целью его применяют?

34.Дайте определение электроёмкости конденсатора. От каких параметров она зависит?

35.Как изменится плотность энергии электрического поля конденсатора, если его заряд увеличить в два раза?

36.Конденсатор заряжен и отключен от источника напряжения. Каким образом можно увеличить его энергию в два раза?

37.Объясните, что означает термин «потенциальность» электрического поля.

2.ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

2.1. Закон Ома для однородного участка цепи

Электрическим током называется упорядоченное движение заряженных частиц, например, электронов в металлах. Условимся, что законы постоянного тока мы будем обсуждать на примере металлических проводников.

Напомним, что в металле положительные заряды, являющиеся ядрами атомов, связаны в кристаллической решетке и перемещаться не могут. Внешние (валентные) электроны не связаны с определенными атомами и могут более или менее свободно перемещаться по проводнику. Эти электроны называются свободными или электронами проводимости.

В равновесии, когда внутри металла поле равно нулю и любая его точка имеет один и тот же потенциал, свободные электроны участвуют в тепловом движении и движутся неупорядоченно по всем направлениям. Электрический ток отсутствует. Если же на концах провода создать разность потенциалов, то условие равновесия будет нарушено, и на тепловое движение электронов наложится их упорядоченное движение, т.е. возникнет электрический ток. Разность потенциалов между какими-либо двумя точками проводника является достаточным условием получения электрического тока.

Силой электрического тока называется заряд, протекающий через поперечное сечение проводника в единицу времени. Математически это означает, что сила тока есть производная заряда по времени:

Выражение (2.2) представляет собой закон Ома для однородного участка цепи. Величина R в коэффициенте пропорциональности между током и напряжением (1/R) называется электрическим сопротивлением проводника. Сопротивление проводника зависит от его свойств:

где ρ − удельное сопротивление проводника, зависящее от его материала, l − длина, S − площадь поперечного сечения проводника. Наименьшим удельным

( ρ =1.55×10−8 Ом м) и алюминий ( ρ = 2.5×10−8 Ом м).

Сопротивление металлических проводников увеличивается с ростом

где ρ0 − удельное сопротивление при 00С, а α − постоянная для данного

вещества величина, называемая температурным коэффициентом сопротивления. Изменение сопротивления при изменении температуры может быть весьма значительным. Так у лампы накаливания при прохождении по ней тока и нагреве ее спирали сопротивление последней увеличивается более чем в

10 раз.

Кроме того, сопротивление металлов существенно зависит от наличия примесей, т.е. чистоты металла. Природу сопротивления и всех перечисленных зависимостей мы еще будем обсуждать в дальнейшем. А пока заметим, что величина сопротивления отражает степень помех, которые испытывают свободные электроны при своем движении по проводнику под действием напряжения. Естественно предположить, что помехи эти связаны с многочисленными столкновениями электронов с атомами кристаллической решетки, в результате которых электроны передают свою энергию этим атомам.

В электрических схемах проводник с сопротивлением принято изображать в виде прямоугольника так, как показано на рис.2.1,б. При этом тонкие линии следует рассматривать как соединительные провода с пренебрежимо малым сопротивлением.

50

2.2. Работа и мощность электрического тока. Закон Джоуля - Ленца

При прохождении электрического тока через цепь могут происходить различные явления. Проводники нагреваются, могут иметь место химические изменения в них (например, в растворах электролитов), проводник с током действует на магнитную стрелку (магнитное действие тока). Энергетические изменения в природе можно рассматривать как результат работы некоторых сил. Поэтому мы будем говорить, что все рассматриваемые явления происходят вследствие работы тока. При этом под термином «работа тока» мы будем подразумевать работу сил, действующих на заряженные частицы в проводнике со стороны электрического поля.

В этом разделе речь пойдет о тепловом действии тока на участке цепи (рис. 2.1), на концах которого поддерживается постоянная разность потенциалов. Имея в виду определение разности потенциалов (1.5) как работы по перемещению единичного заряда, работу электрического поля в проводнике

Под воздействием электрического поля свободные электроны ускоряются, приобретая кинетическую энергию. Но, как уже отмечалось выше, сталкиваясь с атомами, электроны приобретенную энергию отдают кристаллической решетке металла, усиливая колебания атомов. Температура проводника повышается. Таким образом, работа электрического тока полностью расходуется на нагрев сопротивления: A = Q . Используя закон Ома (U = IR ),

для количества теплоты, выделяющегося на участке цепи можно записать:

Выражение (2.6) является законом Джоуля-Ленца.

Для работы электрического тока в единицу времени или мощности тока получаем:

где приведены различные выражения для мощности, получающиеся при помощи закона Ома (2.2). Мощность электрического тока равна количеству теплоты, выделяющемуся в проводнике в единицу времени.

Тепловое действие тока в технике хорошо известно. В заключение приведем два примера на использование рассмотренных законов.