Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Электромагнетизм

.pdf

Скачиваний:

221

Добавлен:

29.03.2015

Размер:

2.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 203 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

поверхность ФБОК = ESБОК . По теореме Гаусса этот полный поток равен

∑qi ε0 . Таким образом, получили
i
ESБОК =	1	∑qi .
ESБОК =		∑qi .
	ε0 i

Сумма зарядов, находящихся внутри цилиндра, выразим через линейную плотность заряда τ: ∑qi = τ l . Учитывая, что SБОК = 2π r l , получим

Е 2π r l = τ lε0 ,

откуда:

Е =	τ
Е =	2πε0r ,	(1.19)

т.е. напряженность и густота силовых линий электрического поля равномерно заряженной бесконечной нити убывает обратно пропорционально расстоянию

( r −1 ).

Найдем разность потенциалов между точками, находящимися на расстояниях r1 и r2 от нити (принадлежащими эквипотенциальным

цилиндрическим поверхностям с радиусами r1 и r2 ). Для этого воспользуемся

связью напряженности

электрического

поля с потенциалом в виде (1.9,в):

Еr = −dϕ dr . Учитывая

выражение

(1.19),

получим

дифференциальное

уравнение с разделяющимися переменными:

= −dϕ

dϕ = −

τdr

2πε0 r

ϕ2

∫dϕ = −

∫

ϕ1 −ϕ2 =

2πε

ϕ1

ϕ2

Пример 1.3. Рассчитать напряжен-

ность электрического поля равномерно

заряженной плоскости. Определить раз-

ϕ1

ность

потенциалов между

двумя

точками в таком поле.

Решение.

Электрическое

поле

равномерно

заряженной

плоскости

показано на рис. 1.10. В силу симметрии

силовые

линии

должны

быть

Рис. 1.10.

перпендикулярны

плоскости. Поэтому

сразу можно сделать вывод о том, что

Схема к расчету электрического поля

равномерно заряженной плоскости

густота линий, а, следовательно, и

напряженность электрического поля при

удалении от

плоскости

меняться не

будут. Эквипотенциальные поверхности представляют собой плоскости, параллельные данной заряженной плоскости. Пусть заряд единицы площади плоскости равен σ. Эта величина называется поверхностной плотностью заряда и измеряется в СИ в единицах [Кл/м2].

Применим теорему Гаусса. Для этого в качестве произвольной замкнутой поверхности S выберем цилиндр длиной l , ось которого перпендикулярна

плоскости, а основания равноудалены			от нее (рис.1.10).	Общий поток
электрического поля		Ф = ФОСН +ФБОК .	Поток через боковую поверхность
равен	нулю. Поток	через каждое из	оснований равен	ESОСН , поэтому
ФОСН	= 2ES ОСН . По теореме Гаусса получим:

2ESОСН =		1		∑qi .

		ε0			i
Сумму зарядов, находящихся внутри цилиндра S , найдем через поверхностную
плотность заряда σ: ∑qi = σ SОСН .	Тогда				2ESОСН = σSОСН ε0 , откуда:
i	σ
E =			.		(1.20)

	2ε0

Из полученной формулы видно, что напряженность поля равномерно заряженной плоскости не зависит от расстояния до заряженной плоскости, т.е. в любой точке пространства (в одной полуплоскости) одинакова и по модулю, и по направлению. Такое поле называется однородным. Силовые линии однородного поля параллельны, их густота не меняется.

Найдем разность потенциалов между двумя точками однородного поля (принадлежащим эквипотенциальным плоскостям ϕ1 и ϕ2 , лежащим в одной полуплоскости относительно заряженной плоскости (рис.1.10)). Направим ось

x вертикально вверх, тогда проекция вектора напряженности на эту ось равна модулю вектора напряженности Ex = E . Воспользуемся уравнением (1.9):

	dϕ		dϕ		ϕ	x
Еx = −		Е = −		dϕ = −Edx	∫2 dϕ = −∫2 Edx .
	dx		dx
					ϕ1	x1

Постоянную величину E (поле однородно) можно вынести из под знака

ϕ2	x2
интеграла: ∫dϕ = −E ∫dx . Интегрируя, получаем: ϕ1 −ϕ2 = Е(х2 − х1 ). Итак,
ϕ1	x1

потенциал однородного поля линейно зависит от координаты.

Разность потенциалов между двумя точками электрического поля – есть напряжение между этими точками (U ). Обозначим расстояние между эквипотенциальными плоскостями х1 − х2 = d . Тогда можно записать, что в

однородном электрическом поле:

ϕ1 −ϕ2 =U = Ed .

(1.21)

Еще раз подчеркнем, что при использовании формулы (1.21) нужно помнить,

что величина d

− не расстояние между точками

1 и 2, а расстояние между эквипотенциальными

плоскостями, которым эти точки принадлежат.

Пример 1.4. Рассчитать напряженность

электрического

поля двух

параллельных

плоскостей,

однородно

заряженных

поверхностными

плотностями зарядов +σ

− σ.

Воспользуемся

результатом

Решение.

примера 1.3 и принципом суперпозиции.

Рис. 1.11.

Согласно

этому

принципу

результирующее

Схема к расчету электрического

электрическое поле в любой точке пространства

поля двух плоскостей

ЕG = ЕG1 + ЕG

2 , где

Е1 и ЕG2

напряженности

электрических полей GпервойG

и второй плоскости. В пространстве между

плоскостями вектора Е1 и Е2 направлены в одну сторону, поэтому модуль

напряженности

результирующего поля Е=σ (2ε0 )+σ (2ε0 )=σ ε0 .

Во

внешнем пространстве вектора Е1 и Е2 направлены в разные стороны, поэтому Е=σ(2ε0 )−σ(2ε0 )=0 (рис. 1.11). Таким образом, электрическое поле есть

только в пространстве между плоскостями. Оно однородно, так как является суммой двух однородных полей.

Пример 1.5. Найти напряженность и потенциал электрического поля равномерно заряженной сферы. Суммарный заряд сферы равен Q, а радиус

сферы – R .

Решение. В силу симметрии распределения заряда силовые линии должны быть направлены вдоль радиусов сферы.

Рассмотрим область внутри сферы. В качестве произвольной поверхности S выберем сферу радиуса r < R , центр которой совпадает с центром заряженной сферы. Тогда поток электрического поля через сферу S: Ф = ESСФ . Сумма зарядов внутри сферы S радиуса r равна нулю, поскольку все заряды располагаются на поверхности сферы радиуса R > r . Тогда по теореме Гаусса: ЕSСФ = 0 . Поскольку SСФ ≠ 0 , то E = 0 . Таким образом внутри равномерно заряженной сферы поля нет.

Рассмотрим область вне сферы. В качестве произвольной поверхности S выберем сферу радиуса r > R , центр которой совпадает с центром заряженной сферы. Поток электрического поля через сферу S : Ф = ESСФ . Сумма зарядов внутри сферы равна полному заряду Q заряженной сферы радиуса R . Тогда по

теореме Гаусса: ESСФ = Qε0 . Учитывая, что SСФ = 4πr 2 , получим:

E =	Q	= k	Q	.
	4πε0 r 2
			r 2

Рассчитаем потенциал электрического поля. Удобнее начать с внешней области r > R , поскольку мы знаем, что на бесконечном расстоянии от центра сферы потенциал принимается равным нулю. Используя уравнение (1.11,а) получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

= −

dϕ

dϕ = −k

∫dϕ = −kQ∫

ϕ = k

+C1 .

Константа С1

= 0, поскольку ϕ → 0 при r → ∞. Таким образом, во внешнем

пространстве ( r > R ): ϕ = k Qr .

Точки на поверхности заряженной сферы ( r = R ) будут иметь потенциал

ϕ = k QR .

Рассмотрим область r < R . В этой области E = 0 , поэтому из уравнения

(1.11,а) получаем:	0 = −dϕ dr ϕ = C2 . В силу непрерывности функции
ϕ(r) константа C2	должна быть равна значению потенциала на поверхности
заряженной сферы:	С2 = k Q R . Таким образом, потенциал во всех точках

внутри сферы: ϕ = k QR .

Итак, мы получили, что напряженность и потенциал электрического поля, создаваемого равномерно заряженной сферой, вне сферы равны напряженности и потенциалу поля, создаваемого

точечным зарядом той же величины Q,

что и заряд сферы, помещенным в центр сферы. Во внутреннем пространстве поле отсутствует, а потенциал во всех точках одинаков. Электрическое поле (силовые линии и эквипотенциальные поверхности) заряженной сферы изображены на рис. 1.12. Предполагается, что сфера заряжена положительно. Вне сферы силовые линии и распределены в пространстве точно так же, как и силовые линии точечного заряда.

На рис. 1.13 изображены графики зависимости Е(r) и ϕ(r) . Функция ϕ(r)

Рис. 1.12. Схема к расчету электрического поля равномерно заряженной сферы

k	Q	E	k	Q	ϕ
k	Q		k	Q
	R2			R

Рис. 1.13. Распределение напряженности и потенциала около равномерно заряженной сферы

непрерывна, а функция Е(r) скачкообразно меняется при переходе через

границу заряженной сферы. Величина скачка равна k QR2 . Действительно, вблизи заряженной сферы ( r → R ) напряженность поля во внешнем

пространстве ≈ k QR2 , а внутри равна нулю.

Величину скачка можно выразить через поверхностную плотность заряда на сфере:

E = k	Q	=	Q	=	σ	.
	R2		4πε0 R2
					ε0

Заметим, что это общее свойство электростатического поля: на заряженной поверхности проекция напряженности на направление нормали всегда

испытывает скачок

E = σ ε0 независимо от формы поверхности.

Рекомендуем проверить этот принцип для поля равномерно заряженной плоскости и поля двух параллельных заряженных плоскостей (примеры 1.3, 1.4).

С точки зрения математики непрерывность потенциала в точках

заряженной поверхности означает, что	Aim ϕ(r) =	Aim ϕ(r) . С точки зрения
физики непрерывность функции ϕ(r)	r →R+0	r →R−0
физики непрерывность функции ϕ(r)	можно объяснить следующим образом.

Если бы потенциал на границе некоторой области имел бы скачок (разрыв), то при бесконечно малом перемещении некоторого заряда q из точки 1, лежащей

с одной стороны границы, в точку 2, лежащую на другой ее стороне, совершалась бы конечная работа А= q(ϕ1 −ϕ2 ) , где ϕ1 и ϕ2 − потенциалы

точек 1 и 2 соответственно, а величина (ϕ1 −ϕ2 ) равна величине скачка потенциала на границе области. Конечная работа, совершенная на бесконечно малом перемещении, означает, что на границе раздела бы действовали бесконечно большие силы, что невозможно.

Напряженность электрического поля, в отличие от потенциала, на границе области может меняться очень резко (скачкообразно).

Пример 1.6. Две концентрические сферы радиусов R1 и R2 ( R1 < R2 )

равномерно заряжены равными по модулю, но противоположными по знаку зарядами +Q и −Q (сферический конденсатор). Определить

напряженность и потенциал электрического поля во всем пространстве.

Решение. Решение этой задачи можно было бы также начать с применения теоремы Гаусса. Однако, используя результаты предыдущего примера и принцип суперпозиции (1.13, 1.14), ответ можно получить быстрее.

Во внешних точках пространства ( r > R2 ) электрическое поле создается зарядами обеих сфер. Величина напряженности поля первой сферы

E1 = k Qr 2 и направлена от сфер вдоль радиусов. Величина напряженности

поля второй сферы такая же E2 = k Qr2 , но направлена противоположно. Следовательно, согласно принципу суперпозиции, во всех внешнихG точках пространства электрическое поле будет отсутствовать Е = Е1 + Е2 = 0 .

Рассмотрим точки пространства между сферами ( R1 < r < R2 ). Эти точки являются внутренними для отрицательно заряженной сферы, поэтому в этой области Е2 = 0 (см. пример 1.5). Для положительно заряженной сферы эти

точки являются внешними, поэтому

E1 = k

r 2 .

Таким образом,

величина

напряженности поля в этой области

Е = E1 = k

r 2 . Здесь поле

создают

только заряды меньшей сферы.

( r < R1 ) Е = 0 и Е

= 0,

Наконец, во внутренних точках пространства

поэтому электрического поля в этих точках нет.

−σind

+σind

Eind

Рис. 1.14. Схема электрического поля у металлической пластины

Аналогично можно применить принцип суперпозиции и для потенциалов. Получаются следующие результаты:

r > R2 : ϕ = 0 ;

R1 < r < R2 : ϕ = k

− k

;

r < R

ϕ = k

− k

= const

Рекомендуем самостоятельно получить эти результаты, а также схематически изобразить электрическое поле и построить графики Е(r) и ϕ(r) .

1.7. Проводники в электрическом поле

По своим электрическим свойствам все вещества делятся на проводники и непроводники, или диэлектрики. Проводником обычно называется среда, в которой имеется достаточное число свободных электрических зарядов. Например, в металлах в 1 см3 содержится около 1023 свободных электронов, которые могут двигаться внутри металла свободно, но не могут покинуть его поверхности (без какого-либо дополнительного воздействия на металл, например, облучения). В диэлектриках свободных электронов менее 106 в 1 см3, а в хороших диэлектриках менее 103 в 1 см3 (концентрацию свободных носителей определяют, используя эффект Холла, см. п. 3.5).

Хорошими проводниками электрического тока являются не только металлы, но, например, еще растворы электролитов и ионизованные газы. Пока мы будем рассматривать только металлы.

Металлы имеют кристаллическую структуру. В узлах кристаллических решеток металлов находятся положительно заряженные ионы, а валентные электроны могут свободно передвигаться между ними в различных направлениях по всему объему. Совокупность свободных электронов в металле называют электронным газом.

Если металлическую пластинку поместить в электрическое поле (см. рис. 1.14), то свободные электроны будут перемещаться внутри нее под действием поля против силовых линий, пока результирующее поле внутри металла не станет равным нулю, а, следовательно, будет равна нулю и сила, действующая на электроны внутри металла. В результате под действием внешнего электрического поля на поверхности пластины появятся заряды с поверхностными

плотностями +σind и −σind . Эти заряды называются индуцированными.

Электрическое поле индуцированных зарядов и компенсирует внешнее электрическое поле.

Пример 1.7. Тонкую металлическую пластину помещают в однородное электрическое поле напряженностью Е0 =100 кВм перпендикулярно сило-

вым линиям. Определить поверхностную плотность индуцированных зарядов на гранях пластины.

Решение: В равновесии напряженность электрического поля внутри металла равна нулюG . С другой стороны она складывается из напряженности

внешнего Gполя Е0 и напряженности поля, созданного индуцированными

зарядами Еind . Так как пластина достаточно тонкая, то можно считать, что

электрическое поле индуцированных зарядов однородно и рассчитать его так же, как и поле двух равномерно заряженных плоскостей (см. пример 1.4):

Еind = σind ε0 . Таким образом:

0 = Е0 − Еind σind = ε0Е0 =8,85×10−12 ×105 =8,85×10−7 (Клм2 ) .

Поверхностную плотность индукционных зарядов можно представить в виде: σ = еn , где е − модуль заряда электрона, а n − число электронов, приходящееся на единицу поверхности

n = σ = 8,85×10−7 = 5,5×1012 штук/м2 . e 1,6×10−19

Для компенсации внешнего поля достаточно ничтожной доли от общего числа электронов ( ≈1023 штук/см3 ) в металле.

Мы рассмотрели пример с металлической пластиной. Естественно, что в равновесии электрическое поле внутри металла будет равно нулю в образцах любой формы. Индуцированные заряды всегда текут в такие участки поверхности проводника, чтобы поле внутри него обратилось в нуль.

Пример 1.8. Доказать, что все точки металла имеют один и тот же потенциал, т.е. металлы – эквипотенциальны.

Решение. В равновесии поле внутри металла отсутствует: Е = 0 . Воспользуемся уравнением (1.10):

Рис. 1.15. Электрическое поле точечного заряда вблизи поверхности Земли

	dϕ	= 0,
	dx	= 0,
	dx
	dϕ	= 0,	ϕ = const .
0 = −grad ϕ dy			ϕ = const .
	dϕ	= 0.
	dz	= 0.
	dz

Поскольку силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям, электрическое поле вблизи проводника должно быть нормально к его поверхности. (Это понятно, так как если бы поле имело касательную составляющую, то электроны задвигались бы вдоль поверхности

проводника). В качестве примера на рис. 1.15 показано электрическое поле точечного заряда вблизи поверхности Земли (Земля – проводник).

Напомним, что тело является заряженным, если количества отрицательных и положительных зарядов частиц, из которых оно состоит, не совпадают. Если эти количества совпадают, то отрицательный суммарный заряд тела компенсируется положительным суммарным зарядом, и тело является нейтральным.

Пример 1.9. Доказать, что внутри заряженных металлов (проводников) не может быть свободных нескомпенсированных зарядов. Весь заряд металла располагается на его поверхности.

Решение: Используем теорему Гаусса. Выберем внутри металла произвольную замкнутую поверхность, тогда поток электрического поля через эту поверхность Ф=0, поскольку в равновесии внутри металла поле

отсутствует, т.е. Е = 0 . По теореме	Гаусса получаем: 0 = ∑qi ε0 , откуда
	i
следует доказываемое утверждение:	∑qi = 0 , т.е. область, ограниченная
	i

произвольно выбранной поверхностью внутри металла, оказывается нейтральной. Весь нескомпенсированный заряд металла может располагаться только на его поверхности.

Результат, полученный в примере 1.9, можно объяснить следующим образом. Нескомпенсированные электрические заряды должны располагаться на поверхности проводника потому, что между ними действуют кулоновские силы отталкивания. Эти силы заставляют одноименные заряды разойтись на как можно большее расстояние друг от друга, т.е. расположиться на поверхности проводника. Поверхностная плотность электричества будет максимальна на наиболее удаленных выступающих частях проводника, например, на остриях. Поверхностная плотность зарядов на остриях может быть настолько большой, что возникает электрический пробой воздуха. Вблизи острия воздух ионизируется, становится проводником и «снимает» заряды с острия. На этом основано действие молниеотвода. Заряженные тучи нейтрализуются, «снимая» заряды противоположных знаков прежде всего с наиболее выступающих, острых предметов на поверхности Земли.

Теперь поместим во внешнее электрическое поле пустотелый проводник,

например, металлический шар с

полостью (рис. 1.16). Мысленно

заполним объем полости 1 металлом.

Тогда поле повсюду внутри шара

будет равно нулю. При этом на

поверхности

шара

возникнут

индуцированные

заряды,

поле

которых компенсирует внешнее поле.

Объем 1 в целом электрически

нейтрален (см. пример 1.9). Если

теперь

«вырезать»

этот

объем,

Рис. 1.16. Пустотелый металлический

вследствие

его

нейтральности это

шар в электростатическом поле

никак

не скажется

на

равновесии

индуцированных

зарядов

на

поверхности

проводника.

Следова-

тельно, не изменится и электрическое поле индуцированных зарядов. Оно попрежнему будет компенсировать внешнее электрическое поле теперь уже в полости. Таким образом, если полость целиком окружить проводником, то внутри полости электрическое поле будет отсутствовать, как и в толще проводника. На этом основан принцип электростатической защиты различного оборудования, которое помещается внутрь металлической полости.

1.8. Электрическое поле в диэлектриках

<<< < Предыдущая 1 23 / 203 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Методички_Общая физика

#
29.03.20151.27 Mб58Лабы_Электромагнетизм.pdf
#
29.03.2015993.79 Кб60Метод указания 3.doc
#
29.03.20151.18 Mб55Методичка по механике 2004-97.doc
#
29.03.20155.65 Mб163Методичка по электромагнетизму.doc
#
29.03.20153.22 Mб49Механика, колебания и МФ.pdf
#
29.03.20152.17 Mб221Электромагнетизм.pdf