Руководства к лабам и др физика / Методички_Общая физика / Электромагнетизм

Знание потенциала в данной точке поля позволяет рассчитать потенциальную энергию заряда q, помещенного в эту точку поля. Поэтому потенциал называют энергетической характеристикой электрического поля.

Итак, электрическое поле, являясь полем потенциальным, имеет две

характеристики – векторную или силовую Е, и скалярную или энергетическую

ϕ. Фактически, дальнейшее изложение электростатики сводится к нахождению

этих характеристик для полей, создаваемых различными конфигурациями неподвижных зарядов.

Понятия «потенциальная сила», «потенциальное поле» и «потенциальная энергия» обсуждались и ранее в разделе «Механика». Работа любых потенциальных сил при перемещении взаимодействующих тел из положения 1 в положение 2 не зависит от способа перемещения тел относительно друг друга и всегда определяется выражением (1.8). Например,

работа силы тяжести Атяж = mgh1 − mgh2 , Wп = mgh – потенциальная энергия тела, центр масс которого поднят на высоту h относительно условно выбранного нулевого уровня; для работы силы упругости пружины

Аупр = kx12 2 −kx22 2, Wп = kx22 - потенциальная энергия упругой деформации

пружины.

Понятия работа и энергия тесно связаны. Энергия определяется как способность тела или системы совершать работу. Если совершить работу над системой, то энергия системы повышается на величину работы. Наоборот, если система сама совершает работу, то ее энергия уменьшается на величину работы. Этому общефизическому принципу вполне соответствует уравнение (1.8) – работа поля (т.е работа самой системы каких-то зарядов или системы каких-то масс) равна убыли потенциальной энергии системы.

1.3. Связь напряженности электрического поля и потенциала

Предположим, что нам известен потенциал ϕ электрического поля во всех точках пространства. Как найти напряженность поля в некоторой точке?

Выберем в пространстве, где существует электрическое поле, декартову прямоугольную систему координат. Перенесем некоторый пробный заряд q вдоль оси x на малое расстояние dх. Тогда работа электрического поля по перемещению заряда q из одной точки в другую

С другой стороны по определению элементарная работа силы F (на

небольшом участке траектории) есть скалярное произведение векторов F и приращения радиус-вектора dr :

dA = (F ,drG)= Fxdx + Fy dy + Fz dz ,

где Fx ,Fy ,Fz − проекции вектора силы на соответствующие оси прямоугольной

т.е. проекция вектора напряженности электрического поля на ось x равна производной потенциала ϕ по направлению оси x, или, другими словами, равна

Итак, все три компоненты вектора напряженности электрического поля известны:

13

т.е. две характеристики электрического поля – напряженность и потенциал связаны друг с другом. Зная потенциал ϕ в каждой точке пространства, где

существует электрическое поле, можно определить вектор напряженности Е в каждой точке этого пространства, и наоборот.

1.4. Электрическое поле точечного заряда. Принцип суперпозиции

Определим напряженность и потенциал электрического поля точечного заряда q на расстоянии r от него. Поместим некоторый «пробный» положительный заряд q0 на расстоянии r от заряда q . Тогда на заряд q0

действует сила, модуль которой определяется выражением (1.1)

F = k qrq2 0 .

По определению напряженности поля (1.3) находим

Таким образом, величина напряженности электрического поля точечного заряда обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда до точки

наблюдения. Согласно (1.3) вектор E направлен так же, как и сила,

действующая на «пробный» положительный заряд q . Если заряд q

G 0 G

положительный, то вектор E направлен вдоль радиус-вектора r (рис.1.3, а), проведенного от точечногоG заряда в точку наблюдения. Если заряд

отрицательный, то вектор E направлен против вектора r (рис. 1.3, б). Таким

образом, для проекции вектораE на направление радиус-вектора r , проведенного от точечного заряда в точку наблюдения, получится формула

16

Работа кулоновских сил, как сил потенциальных, не зависит от способа перемещения зарядов q1 и q2 относительно друг друга и определяется

выражением (1.8). Сравнение полученного результата и формулы (1.8) показывает, что потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов

положительна, если заряды отталкиваются, и отрицательна, если заряды притягиваются.

1.5. Графическое изображение электрических полей. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности

Для большей наглядности электрическое поле часто изображается при помощи силовых линий и

между двумя любыми точками эквипотенциальной поверхности равна нулю. Силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям и направлены в сторону наиболее резкого убывания потенциала. Этот факт следует из уравнения (1.10) и доказывается в курсе математического анализа разделе «Скалярные и векторные поля».

Рассмотрим в качестве примера электрическое поле, создаваемое на расстоянии r от точечного заряда. Согласно (1.11,б) вектор напряженности совпадает с направлением вектора r , если заряд положительный, и

17

противоположен ему, если заряд отрицательный. Следовательно, силовые линии расходятся радиально от заряда (рис. 1.6, а, б). Густота силовых линий,

как и напряженность, обратно пропорциональна квадрату расстояния ( r−2 ) до заряда. Эквипотенциальные поверхности электрического поля точечного заряда представляют собой сферы с центром в месте расположения заряда.

На рис. 1.7 показано электрическое поле системы двух равных по модулю, но противоположных по знаку точечных зарядов. Мы предоставляем разобрать этот пример читателям самостоятельно. Отметим лишь, что силовые линии всегда начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. В случае электрического поля одного точечного заряда (рис. 1.6, а, б) предполагается, что силовые линии обрываются на очень удаленных зарядах противоположного знака. Считается, что Вселенная в целом нейтральна. Поэтому, если имеется заряд одного знака, то где-то обязательно

Рис. 1.6.

Электрические поля положительного (а) и отрицательного (б) зарядов

Рис. 1.7. Электрическое поле двух равных по модулю, и противоположных по знаку точечных зарядов

найдется равный ему по модулю заряд другого знака.

18

1.6. Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме

Основной задачей электростатики является задача о нахождении напряженности и потенциала электрического поля в каждой точке пространства. В п. 1.4 мы решили задачу о поле точечного заряда, а также рассмотрели поле системы точечных зарядов. В этом параграфе речь пойдет о теореме, позволяющей рассчитывать электрическое поле более сложных заряженных объектов. Например, заряженной длинной нити (прямой), заряженной плоскости, заряженной сферы и других. Рассчитав напряженность электрического поля в каждой точке пространства, используя уравнения (1.12) и (1.13), можно вычислить потенциал в каждой точке или разность потенциалов между двумя любыми точками, т.е. решить основную задачу электростатики.

Для математического описания введем понятие потока вектора

напряженности или потока электрического поля. Потоком (Ф) вектора Е электрического поля через плоскую поверхность площади S называется величина:

αвектора E и единичного вектора нормали n к

площадке S (рис. 1.8). Формулу (1.16) можно

Sзаписать, используя понятие скалярного произведения векторов:

считать плоскими, а затем записать выражение (1.16) или (1.16,а) для каждого куска поверхности и сложить их. В пределе, когда поверхность Si очень мала ( Si → 0 ), такую сумму называют поверхностным интегралом и обозначают

∫(E,nG)dS . Таким образом, поток вектора напряженности электрического поля

S

через произвольную поверхность S определяется выражением:

19

В качестве примера рассмотрим сферу радиуса r , центром которой служит положительный точечный заряд q , и определим поток электрического

поля через поверхность этой сферы. Силовые линии (см., например, рис.1.6, а) выходящие из заряда, перпендикулярны поверхности сферы, и в каждой точке сферы модуль напряженности поля один и тот же

Величина ES и представляет собой поток электрического поля через поверхность сферы. Таким образом, получаем Ф = qε0 . Видно, что поток через поверхность сферы электрического поля не зависит от радиуса сферы, а зависит только от самого заряда q . Поэтому, если провести ряд

концентрических сфер, то поток электрического поля через все эти сферы будет одинаковым. Очевидно, что число силовых линий, пересекающих эти сферы, тоже будет одинаковым. Условились число силовых линий, выходящих из

заряда, принимать равным потоку электрического поля: N = ES = qε0 .

Если сферу заменить любой другой замкнутой поверхностью, то поток электрического поля и число силовых линий, пересекающих ее, не изменятся. Кроме того, поток электрического поля через замкнутую поверхность, а значит

и число силовых линий, пронизывающих эту поверхность, равняется qε0 не

только для поля точечного заряда, но и для поля, создаваемого любой совокупностью точечных зарядов, в частности – заряженным телом. Тогда величину q следует считать как алгебраическую сумму всей совокупности

зарядов, находящихся внутри замкнутой поверхности. В этом и состоит суть теоремы Гаусса, которая формулируется так:

Поток вектора напряженности электрического поля через произвольную

20

(EG, nG)= E cos 0 = E . Затем вынесли величину E за знак интеграла в силу того,

что она постоянна в любой точке сферы S . Применяя теорему Гаусса для решения конкретных задач, специально в качестве произвольной замкнутой поверхности стараются выбирать поверхность, для которой выполняются описанные выше условия.

Приведем несколько примеров на применение теоремы Гаусса.

Пример 1.2. Рассчитать напряженность электрического поля равномерно заряженной бесконечной нити. Определить разность потенциалов между двумя точками в таком поле.

Решение. Предположим для определенности, что нить заряжена положительно. В силу симметрии задачи можно утверждать, что силовые линии будут радиально расходящимися от оси нити прямыми (рис.1.9), густота которых по мере удаления от нити уменьшается по какому-то закону. По этому

же закону будет уменьшаться и величина электрического поля E . Эквипотенциальными поверхностями будут цилиндрические поверхности с осью, совпадающей с нитью.

Пусть заряд единицы длины нити равен τ. Эта величина называется линейной плотностью заряда и измеряется в СИ в единицах [Кл/м]. Для расчета