Руководства к лабам и др физика / Методички_Общая физика / Электромагнетизм

181

Силу переменного тока (напряжения) можно охарактеризовать при помощи амплитуды. Однако амплитудное значение тока непросто измерить экспериментально. Силу переменного тока удобно связать с каким-либо действием, производимым током, не зависящим от его направления. Таковым является, например, тепловое действие тока. Поворот стрелки амперметра, измеряющего переменный ток, вызывается удлинением нити, которая нагревается при прохождении по ней тока.

Действующим или эффективным значением переменного тока (напряжения) называется такое значение постоянного тока, при котором на активном сопротивлении выделяется за период такое же количество теплоты, как и при переменном токе.

Свяжем эффективное значение тока с его амплитудным значением. Для этого рассчитаем количество теплоты, выделяемое на активном сопротивлении переменным током за время, равное периоду колебаний. Напомним, что по закону Джоуля-Ленца количество теплоты, выделяющееся на участке цепи c сопротивлением R при постоянном токе I за время t , определяется по

формуле Q = I 2 R t . Переменный ток можно считать постоянным только в

течение очень малых промежутков времени dt . Поделим период колебаний T на очень большое число малых промежутков времени dt . Количество теплоты dQ , выделяемое на сопротивлении R за время dt : dQ = I 2 R dt . Общее

количество теплоты, выделяемое за период, найдется суммированием теплот, выделяемых за отдельные малые промежутки времени, или, другими словами, интегрированием:

T

Q = ∫I 2 R dt .

0

Сила тока в цепи изменяется по синусоидальному закону

Опуская вычисления, связанные с интегрированием, запишем окончательный результат

Q = 12 I02 RT .

182

Если бы по цепи шёл некоторый постоянный ток I , то за время, равное T , выделилось бы тепло Q = I 2 RT . По определению постоянный ток I , оказывающий такое же тепловое действие, что и переменный, будет равен эффективному значению переменного тока IЭФ . Находим эффективное

значение силы тока, приравнивая теплоты, выделяемые за период, в случаях постоянного и переменного токов

Очевидно, точно такое же соотношение связывает эффективное и амплитудное значения напряжения в цепи с синусоидальным переменным током:

Например, стандартное напряжение в сети 220 В – это эффективное напряжение. По формуле (4.29) легко посчитать, что амплитудное значение напряжения в этом случае будет равно 311 В.

4.4.5. Мощность в цепи переменного тока

Пусть на некотором участке цепи с переменным током сдвиг фаз между током и напряжением равен ϕ, т.е. сила тока и напряжение изменяются по законам:

I = I0sin (ω t), U =U0sin (ω t +ϕ).

Тогда мгновенное значение мощности, выделяемой на участке цепи,

P = IU = I0U 0sin (ω t + ϕ) sin (ω t ).

Мощность изменяется со временем. Поэтому можно говорить лишь о ее среднем значении. Определим среднюю мощность, выделяемую в течение достаточно длительного промежутка времени (во много раз превосходящего период колебаний):

P =I0U0sin (ω t +ϕ) sin (ω t) = I0U0 sin (ω t +ϕ) sin (ω t).

С использованием известной тригонометрической формулы

183

sin α sin β = 12 (cos (α−β)−cos (α+β))

получим

Величину cos ϕ усреднять не нужно, так как она не зависит от времени,

следовательно:

P = 12 I0U0 (cos ϕ−cos (2ω t +ϕ)).

За длительное время значение косинуса много раз успевает измениться, принимая как отрицательные, так и положительные значения в пределах от (−1) до 1. Понятно, что среднее во времени значение косинуса равно нулю

Выражая амплитуды тока и напряжения через их эффективные значения по формулам (4.28) и (4.29), получим

Мощность, выделяемая на участке цепи с переменным током, зависит от эффективных значений тока и напряжения и сдвига фаз между током и напряжением. Например, если участок цепи состоит из одного только

активного сопротивления, то ϕ = 0 и P = IЭФUЭФ . Если участок цепи содержит

только индуктивность или только ёмкость, то ϕ = ±π2 и P = 0.

Объяснить среднее нулевое значение мощности, выделяемой на индуктивности и ёмкости можно следующим образом. Индуктивность и ёмкость лишь заимствуют энергию у генератора, а затем возвращают её обратно. Конденсатор заряжается, а затем разряжается. Сила тока в катушке увеличивается, затем снова спадает до нуля и т. д. Именно по той причине, что на индуктивном и ёмкостном сопротивлениях средняя расходуемая генератором энергия равна нулю, их назвали реактивными. На активном же сопротивлении средняя мощность отлична от нуля. Другими словами провод с сопротивлением R при протекании по нему тока нагревается. И энергия, выделяемая в виде тепла, назад в генератор уже не возвращается.

184

Если участок цепи содержит несколько элементов, то сдвига фаз ϕ

может быть иным. Например, в случае участка цепи, изображенного на рис. 4.5, сдвиг фаз между током и напряжением определяется по формуле (4.27).

Пример 4.7. К генератору переменного синусоидального тока подключён резистор с сопротивлением R . Во сколько раз изменится средняя мощность, расходуемая генератором, если к резистору подключить катушку с индуктивным сопротивлением X L = R а) последовательно, б) параллельно

(рис. 4.10)? Активным сопротивлением катушки пренебречь.

Решение. Когда к генератору подключено одно только активное сопротивление R , расходуемая мощность

Рассмотрим цепь на рис. 4.10, а. В примере 4.6 было определено амплитудное значение силы тока генератора: I0 =U0 ( 2 R). Из векторной

диаграммы на рис. 4.11,а определяем сдвиг фаз между током и напряжением генератора

В результате средняя расходуемая генератором мощность

Ответ: при последовательном включении в цепь индуктивности средняя мощность, расходуемая генератором, уменьшится в 2 раза.

Рассмотрим цепь на рис. 4.10,б. В примере 4.6 было определено амплитудное значение силы тока генератора I0 = 2 U0 R . Из векторной

диаграммы на рис. 4.11,б определяем сдвиг фаз между током и напряжением генератора

185

Ответ: при параллельном включении индуктивности средняя мощность, расходуемая генератором, не изменяется.

4.5. Электромагнитные волны

Волна – это процесс распространения колебаний в пространстве. В зависимости от природы волны колебания совершают различные физические величины. Например, в случае звуковых волн распространяются деформации в какой-то среде. Распространение волн происходит потому, что частицы среды связаны между собой упругими силами, способными вызывать колебания. Поэтому если сместить из положения равновесия какую-либо частицу среды, то начнет смещаться и соседняя частица и т. д. Вместе с колебаниями частиц колебания совершают плотность, давление, концентрация частиц в среде.

Проще всего представить себе морские волны. Длиной волны ( λ) называется расстояние между соседними гребнями (в случае звуковой волны – расстояние между ближайшими точками с максимальными плотностью или давлением). Эквивалентное определение: длина волны – это расстояние, которое волна проходит за время, равное периоду колебаний T . В однородных средах волны распространяются с постоянной скоростью. Поэтому, исходя из определения длины волны, можно записать: λ = υ T . Учитывая связь периода и частоты T =1/ ν , получаем формулу, связывающую длину волны, скорость волны и частоту колебаний в волне любой природы:

Например, если за одну минуту (60 с) на берег приходит 10 волн, а расстояние между гребнями λ = 5 м, то частота ν =10 / 60 =1/ 6 (Гц), а скорость волн

υ = 5 (1/ 6)= 0,833 (м/с).

Примером электромагнитной волны является свет. Она представляет собой распространение в пространстве электрических и магнитных полей. Существование электромагнитных волн впервые теоретически предсказал Максвелл. Этот факт следует из его уравнений (см. п. 3.19). Изменяющееся (переменное) электрическое поле вызывает появление в окружающем пространстве изменяющегося магнитного поля. В свою очередь изменяющееся магнитное поле порождает изменяющееся электрическое поле и т. д. Таким образом, переменные электрическое и магнитное поля образуют электромагнитное поле, распространяющееся в пространстве. Так как существование электромагнитных волн никоим образом не связано со средой, они, в отличие от звуковых волн, могут распространяться в вакууме. Скорость распространения электромагнитных волн в вакууме или скорость света

Конечно, когда мы смотрим на луч света, невозможно догадаться, что свет – волна, и тем более, электромагнитная волна. Огибающую векторов напряженностей полей мы не видим, и не можем «на глаз», как в случае морских волн, оценить длину волны. Экспериментальным доказательством волновой природы света являются опыты по интерференции и дифракции света, которые изучают в разделе «Оптика». А простейшим прибором для определения длины волны света является дифракционная решётка.

Итак, при распространении электромагнитной волны в каждой точке, через которую проходит волна, колебания совершают напряженности

электрического и магнитного полей. Если колебания электрического вектора E

случае для напряженности электрического поля в какой-то фиксированной точке пространства с координатой z можно записать E = E0sin (ω t′+ϕ0 ) , где t′

− время колебаний в точке с координатой z . Предположим, что в точке с координатой z = 0 находится источник волны, тогда колебания в «нашей» точке z начнутся лишь через время z / c с момента начала распространения волны. Поэтому t′ = t − zc , где t − время работы источника волны. Таким образом

Уравнение (4.33) называется уравнением линейно поляризованной волны или, сокращенно, уравнением плоской волны.

Из уравнения (4.33) следует, что плоская волна представляет собой периодический процесс, как во времени, так и в пространстве. Если рассматривать какую-то фиксированную точку с координатой z0, то слагаемое

где δ = ϕ0 − 2λπ z0 − постоянная, играющая роль начальной фазы колебаний.

Последнее уравнение показывает, что в любой фиксированной точке оси z0 происходит периодический во времени процесс колебаний вектора напряженности электрического поля. Если зафиксировать какой-то момент

времени t0 , т.е. «заморозить волну» − «остановить» колебания векторов E , тогда уравнение (4.33) можно записать так

пространственную периодичность плоской волны: огибающая всех векторов E в любой фиксированный момент времени представляют собой синусоиду. Именно в виде синусоиды волны и показывают на рисунках (см., например рис. 4.12).

Пространственную и временную периодичность волн просто понять, рассматривая морские волны. Линия, огибающая поверхность моря в любой момент похожа на синусоиду – это пространственная периодичность. Если на море плавает чайка, то она движется вверх-вниз – это периодичность во времени.

4.5.1. Шкала электромагнитных волн

188

Электромагнитные волны могут иметь различные частоты и, соответственно, различные длины ( λ = c / ν ). Классификация электромагнитных волн по частотам называется шкалой электромагнитных волн. Границы частот являются условными.

Волны с частотами менее 105 Гц (длинами волн более 3000 м) называются

длинными волнами. Далее, радиоволны имеют частоты от 105 до 3·1010 Гц

(длины волн от 3000 м до 1 см). Далее следует микроволновая область: частоты от 3·1010 до 6·1011 Гц (длины волн от 1 см до 0,5 мм). Источники излучения длинных волн, радиоволн и миллиметровых волн являются электрические токи в антеннах, электроны небольших энергий, движущиеся в электрических и магнитных полях.

К микроволновой области примыкает диапазон инфракрасных волн: частоты от 6·1011 до 4,3·1014 Гц (длины волн от 0,5 мм до 0,76 мкм = 760 нм). Источниками излучения инфракрасных волн являются молекулы любого нагретого вещества. Например, инфракрасные волны излучают все окружающие нас тела при комнатной температуре.

Электромагнитные волны с частотами от 4,3·1014 Гц до 7,6·1014 Гц (длинами волн от 760 нм до 380 нм) лежат в области чувствительности человеческого глаза, т.е. представляют собой видимый свет. Свет с длиной волны 760 нм, распространяющийся в вакууме, соответствует темно-красному цвету, а свет с длиной волны 380 нм – темно-фиолетовому. Отметим, что при переходе в достаточно плотные среды скорость световых волн и длина световой волны заметно изменяются, а частота волн остается без изменения. Отношение скорости света в вакууме к скорости света в среде называется абсолютным показателем преломления среды (точно также соотносятся и длины волн). За ощущение цвета ответственна частота волны. Поэтому, например, красный мяч останется красным, если его разглядывать под водой.

Потом следуют ультрафиолетовые волны: частоты от 7,6·1014 Гц до 5·1016 Гц (длины волн от 380 нм до 6 нм). Источниками видимого и ультрафиолетового излучения являются атомы и молекулы, валентные электроны которых (электроны внешних орбиталей, расположенных далее всего от ядра) находятся в возбужденных состояниях, а также заряженные частицы высоких энергий.

Далее лежит область рентгеновского излучения: частоты от 5·1016 Гц до 3·1019 Гц (длины волн от 6 нм до 0,01 нм). Рентгеновские лучи испускаются электронами при столкновениях с тяжелыми металлами, а также при переходах электронов в атомах с внешних орбиталей высоких энергий на внутренние орбитали, расположенные вблизи ядра.

И, наконец, излучение еще более высокой частоты называется γ- излучением. Гамма-лучи испускаются возбужденными ядрами атомов, например, при распадах некоторых радиоактивных элементов.

4.5.2. Получение электромагнитных волн

189

Составляющими компонентами электромагнитных волн являются переменные электрическое и магнитное поля. Следовательно, для получения электромагнитной волны необходимо эти поля создать. Это можно сделать с помощью переменного тока, текущего по проводу. Тогда магнитное поле вокруг провода будет переменным, оно будет порождать переменное электрическое поле, которое в свою очередь опять породит переменное магнитное поле и т. д., таким образом, в пространстве «побежит» электромагнитная волна. Переменный ток представляет собой ускоренно движущиеся заряды. Поэтому можно сказать, что электромагнитные волны порождаются зарядами, движущимися с ускорением. Например, электромагнитные волны излучает колеблющийся электрический диполь, называемый вибратором Герца (при колебаниях заряды полюса диполя двигаются с переменной скоростью, т.е. с ускорением).

На первый взгляд может показаться, что экспериментально получить и обнаружить электромагнитные волны просто. Однако между теоретическим предсказанием существования электромагнитных волн (и возможности передачи информации без проводов) (Максвелл, 1864-1865 г.г.) и экспериментальным подтверждением их существования (Герц, 1888 г.) лежит более двух десятков лет. Рассмотрим основные проблемы, связанные с экспериментальным обнаружением электромагнитных волн.

Во-первых, электромагнитные волны должны быть достаточно интенсивными. Согласно закону электромагнитной индукции (представляющему собой одно из уравнений Максвелла) электрическое поле, возникающее при изменении магнитного тем больше, чем выше скорость изменения магнитного поля. То же самое можно сказать и о переменном магнитном поле, порождаемым переменным электрическим полем. Таким образом, для того, чтобы получить электромагнитные волны достаточной интенсивности должна быть высока частота колебаний тока или вибратора Герца. Расчет показывает, что средняя мощность излучения пропорциональна четвертой степени частоты: Р ~ ω4.

Для успешных опытов частоты порядка частоты осветительной сети (ν = 50 Гц) не достаточны. Высокие частоты (несколько МГц и более) можно получить в электрических колебательных LC-контурах. Однако, здесь мы сталкиваемся с другой проблемой. Длина волны, соответствующая частоте 1

МГц, λ = c / ν = 300 м. Эта величина намного превышает размеры любой цепи. Поскольку электрическая цепь замкнута, для любого участка всегда найдется участок, в котором ток течет в противоположном направлении. Поскольку расстояние между противоположными участками гораздо меньше длины волны, они будут действовать как противофазные излучатели, ослабляя действие друг друга практически до нуля. То же можно сказать о противоположных участках витка катушки, противоположно заряженных пластинах конденсатора.

190

Проблему можно понять еще лучше, если воспользоваться формулой (4.31) для средней мощности, выделяемой в цепи. Например, катушку и конденсатор нельзя использовать в качестве излучателей электромагнитных волн, так как для этого данные элементы цепи должны отдавать энергию в окружающее пространство. Но сдвиг фаз между током и напряжением в индуктивности и емкости ϕ = π/ 2 , следовательно, средняя мощность Р = 0.

Индуктивность и емкость передают весь запас энергии обратно источнику тока и не могут отдавать энергию в окружающее пространство. Резистор так же не может быть использован в качестве излучателя, поскольку вся энергия выделяется в нем в виде тепла. Включение резистора последовательно с емкостью или катушкой изменяет ϕ, но опять-таки за счет выделения тепла, но не за счет излучения. Для излучения волн нужна разность фаз, отличная от π/ 2 , но сделать это нужно не за счет выделения тепла, т.е. без резисторов.

Итак, для получения электромагнитных волн необходима открытая форма цепи и достаточно высокая частота электрических колебаний. В 1888

сформатора. Когда напряжение достигает достаточно большой величины, в промежутке проскакивает искра, воздушный промежуток на какое-то время становится проводящим, и в вибраторе возникают высокочастотные колебания электрического заряда или быстро меняющийся во времени ток, который приводит к излучению электромагнитных волн. Длина электромагнитных волн задаётся размерами вибратора. В качестве «антенн» для обнаружения волн Герц использовал другой вибратор с меньшим искровым промежутком, а также приемный виток (рис. 4.13,б). Если приемники были настроены в резонанс на частоту излучателя (т.е. собственные частоты колебаний излучателя и приемника совпадали), то в их искровых промежутках проскакивали небольшие искорки. Герц не только получил электромагнитные волны, но и воспроизвел с ними некоторые явления, характерные для волн – отражение, преломление, поляризацию. Таким образом, Герц доказал, что электромагнитные волны, теоретически предсказанные Максвеллом, реальны.