Руководства к лабам и др физика / Методички_Общая физика / Электромагнетизм

171

Отношение резонансной амплитуды Bmax к величине статического отклонения колебательной системы B0 называется добротностью колебательной системы Q = Bmax B0 .

Используя формулы для B0 и Bmax (см. пример 4.3), а также связь циклической частоты с периодом колебаний ω = 2πT , получим:

Поскольку β T = δ − логарифмический декремент затухания, то:

Чем меньше декремент затухания, тем выше добротность контура, и тем более он пригоден для радиотехники.

Далее мы покажем, что добротность контура пропорциональна отношению энергии, запасённой в контуре, к её потерям за период колебаний (т.е. энергии, выделяющейся в контуре за период в виде тепла).

4.4. Переменный ток в электрических цепях

Переменный ток представляет собой вынужденные электрические колебания под действием внешней ЭДС. Здесь мы будем рассматривать только синусоидальные ЭДС, изменяющиеся со временем по закону синуса или косинуса. В общем случае любая электрическая цепь переменного тока содержит сопротивление, ёмкость и индуктивность.

4.4.1. Активное, индуктивное и емкостное сопротивления

Рассмотрим сначала цепь, состоящую из одного лишь сопротивления R , подключённого к синусоидальной ЭДС:

ε =ε0sin ω t .

Из второго правила Кирхгофа для такой цепи

U R = ε I R = ε0sin ωt I = εR0 sin ω t

172

можно сделать следующие три вывода:

1) ток через сопротивление R совершает гармонические колебания в одной фазе с напряжением;

2)максимальная сила тока (достигается при значении синуса, равном единице) I0 = ε0 R ;

3)связь амплитуд силы тока I0 и напряжения ε0 на сопротивлении R

формально совпадает с законом Ома для участка цепи с постоянным током. Рассмотрим цепь, состоящую из одной лишь ёмкости C , подключенной к

синусоидальной ЭДС. Второе правило Кирхгофа для такой цепи

следующие три вывода:

1) ток в цепи совершает гармонические колебания, опережая по фазе напряжение на π2 ;

2)максимальная сила тока I0 = ε0ω C = ε0 X C ;

3)связь амплитуд силы тока и напряжения на конденсаторе формально совпадает с законом Ома для участка цепи в случае постоянных токов.

Почему конденсатор оказывает конечное сопротивление переменному току? Ведь между обкладками конденсатора – диэлектрик, а значит, цепь разомкнута, и её сопротивление должно быть очень большим. Этот факт имеет простое объяснение. Переменный электрический ток не проходит сквозь конденсатор, а представляет собой периодически повторяющийся процесс зарядки и разрядки конденсатора.

Рассмотрим цепь, состоящую из одной лишь катушки индуктивности L , присоединённой к синусоидальной ЭДС. Второе правило Кирхгофа для такой цепи

сделать следующие три вывода:

173

1) ток через индуктивность совершает гармонические колебания и отстаёт от напряжения по фазе на π2 ;

3) связь амплитуд силы тока и напряжения на индуктивности формально совпадает с законом Ома для участка цепи в случае постоянных токов.

Пример 4.4. Сравнить накал лампочек, подключённых к синусоидальному и постоянному напряжениям (рис. 4.7 (а, б, в)). Накал лампочек на рис. 4.4,а одинаков.

а

б

в

Рис. 4.7. Схемы включения лампочек (к примеру 4.4)

Решение. Одинаковый накал лампочек на рис. 4.4, а означает, что напряжения источника постоянного тока равно эффективному напряжению источника переменного тока (определение эффективного напряжения будет дано ниже).

Если в обе цепи включить конденсатор достаточно большой ёмкости (рис. 4.4, б), то лампочка в цепи источника переменного тока будет попрежнему гореть ярко, поскольку ёмкостное сопротивление переменному току обратно пропорционально ёмкости и, следовательно, будет мало. В цепи постоянного тока накал отсутствует, поскольку между обкладками конденсатора − диэлектрик, и цепь разомкнута. Другими словами, ёмкость оказывает бесконечно большое сопротивление постоянному току. Это можно

174

понять также, анализируя формулу X C =1(ωC). Постоянный ток означает, что циклическая частота ω→ 0 , и, значит, XC → ∞.

Если в обе цепи включить катушку достаточно большой индуктивности, то ток в цепи источника переменного тока будет мал из-за большого индуктивного сопротивления, лампочка погаснет, а в цепи источника постоянного тока лампочка по-прежнему будет гореть ярко, поскольку индуктивное сопротивление постоянному току равно нулю. Действительно, в

случае постоянного тока ω→ 0 , и индуктивное сопротивление X L = ω L → 0 .

4.4.2. Закон Ома для переменного тока. Активное и реактивное сопротивления

Рассмотрим цепь, включающую в себя все три элемента R , C и L , включённые последовательно (рис. 4.5). Подставим в выражение для амплитуды заряда (4.20) значения

X0 = ε0 / L , ω02 =1/ CL , β = R(2L).

Тогда формула (4.20) приводится к виду

а зависимость заряда конденсатора от времени (4.19) примет вид

175

Таким образом, ток в цепи совершает гармонические колебания с амплитудой

Для удобства переобозначим циклическую частоту колебаний внешней ЭДС Ω → ω. Тогда:

Величина X = X L − XC называется реактивным сопротивлением цепи,

сопротивление R − активным сопротивлением цепи.

Термин «активное сопротивление» используется в том смысле, что именно на этом сопротивлении рассеивается энергия в виде тепла.

Величина Z = R2 + X 2 называется полным сопротивлением цепи. Формулу (4.23), связывающую амплитудные значения тока и

напряжения, можно записать в виде, формально совпадающим с законом Ома для участка цепи в случае постоянного тока

Уравнение (4.24) представляет собой закон Ома для переменного тока. Наибольшее амплитудное (резонансное) значение силы тока будет при

наименьшем значении знаменателя в уравнении (4.23), т.е. когда X L − XC = 0 .

Последнее уравнение представляет собой условие резонанса для тока: амплитуда силы тока максимальна при совпадении частоты внешней ЭДС и собственной частоты контура. Вспомним, что амплитуда заряда достигает

максимального значения при условии ω= ω02 − 2β2 . Условия для резонанса

тока и заряда конденсатора практически совпадают при небольших затуханиях.

В резонансе полное сопротивление цепи переменному току равно активному сопротивлению: Z = R . При этом амплитудное значение тока

I0 = ε0 R .

177

Точно так же складываются напряжения при последовательном соединении элементов цепи.

Итак, складывать токи и напряжения в цепи с переменным синусоидальным током нужно векторно. Законы для последовательного и параллельного соединения двух элементов можно записать в виде

сопротивлении колеблется в одной фазе с током. Так как напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на π2 , вектор U0 L повёрнут

относительно оси 0x на угол π2 против часовой стрелки, т.е. направлен вдоль положительного направления оси 0y. Так как напряжение на ёмкости отстаёт от тока по фазе на π2 , вектор U0C повёрнут относительно оси 0x на угол π2 по часовой стрелке, т.е. направлен вдоль отрицательного направления оси 0y. По закону последовательного соединения амплитуду U0 суммарного напряжения в

цепи найдём из векторного уравнения: U0 =U0 R +U0 L +U0C . Сначала удобно сложить противоположно направленные вектора U0 L и U0C . Их сумма равна вектору, направленному вдоль оси 0y и по величине равному I0 (X L − XC )= I0 X , где X − реактивное сопротивление цепи. Далее по теореме Пифагора находим величину результирующего вектора U0

178

Последняя формула в точности совпадает с формулой (4.23).

Используя векторную диаграмму, легко найти сдвиг фаз между током в цепи и суммарнымG напряжениемG на концах цепи. Сдвиг фаз равен углу ϕ

между векторами I0 и U0 . Из прямоугольного треугольника

Для нормального функционирования электрической схемы параметры всех её элементов должны быть точно рассчитаны. Как правило, расчёт электрических цепей с переменным током, содержит больше нюансов по сравнению со схемами питания постоянным током. Например, вблизи резонанса напряжение на отдельном элементе схемы может во много раз превышать амплитуду напряжения генератора.

Пример 4.5. Рассчитать допустимую амплитуду напряжения генератора U0 в электрической цепи на рис. 4.5, если пробой конденсатора наступает при напряжении U = 500 В. Параметры схемы: C =10 мкФ, L =1 Гн, R = 3 Ом,

180

Так как по условию задачи R = X L , получаем:

Поскольку в отсутствие катушки I0 =U0 R , можно сделать вывод о том, что амплитуда силы тока генератора при последовательном включении в цепь

катушки уменьшится в 2 раз. Заметим, что если бы вместо индуктивности мы последовательно включили ещё одно такое же активное сопротивление R , амплитуда силы тока уменьшилась бы в 2 раза.

Теперь рассмотрим параллельное включение в цепь катушки (рис. 4.10,б). По закону параллельного соединения U0 L =U 0R=U0 . При построении векторной диаграммы в этом случае удобно сначала отложить вектор амплитуды напряжения в цепи U0 вдоль оси 0x (рис. 4.11,б). Тогда, поскольку ток и напряжение на активномG сопротивлении колеблются в одной фазе, вектор амплитуды силы тока I0 R через сопротивление R будет направлен так же вдоль оси 0x. Поскольку колебания тока через индуктивность отстают от напряжения по фазе на π/ 2 , вектор амплитуды силы тока I0 L будет направлен антипараллельно оси 0y. По закону параллельного соединения амплитуда

из которого можно сделать вывод о том, что амплитуда силы тока генератора

при параллельном включении в цепь катушки увеличится в 2 раз. Заметим, что если бы вместо индуктивности мы параллельно включили в цепь ещё одно такое же активное сопротивление R , то суммарное сопротивление уменьшилось бы в 2 раза, а амплитуда силы тока генератора возросла в 2 раза.

4.4.4. Эффективные напряжение и ток