Руководства к лабам и др физика / Методички_Общая физика / Электромагнетизм

161

своего наибольшего значения к тому моменту, когда конденсатор полностью разрядится. Так как в этот момент движущая сила (напряжение на конденсаторе) исчезла, ток начинает уменьшаться. Но, опять-таки, ток не может мгновенно уменьшится до нуля, поскольку теперь в витках катушки возникает ЭДС самоиндукции, препятствующая убыванию тока, т.е. некоторое время поддерживающая ток. За это время конденсатор успевает перезарядиться.

Перед тем, как рассмотреть вопрос о колебаниях в LC-контуре количественно, вспомним некоторые определения и выводы, касающиеся гармонических колебаний и изложенные в первой части физики – механике. Колебания некоторой физической величины x называются гармоническими, если она изменяется со временем по закону косинуса или синуса, т.е.:

где A − амплитуда колебаний (максимальное отклонение смещения x от положения равновесия); ω= 2πT = 2πν − циклическая частота колебаний (T − период, ν − частота колебаний); ϕ = ω t + ϕ0 − фаза, ϕ0 − начальная фаза колебаний. Первая и вторая производные величины x по времени:

x = −Aω sin (ω t +ϕ0 ) , x = −Aω2cos (ω t +ϕ0 ).

Соотношение (4.2) представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Мы показали, что если какая либо физическая величина совершает гармонические колебания, т.е. изменяется по закону (4.1), то для неё справедливо дифференциальное уравнение (4.2). В курсе дифференциальных уравнений доказывается и обратное утверждение: если для какой-либо физической величины удалось (используя законы физики) написать дифференциальное уравнение (4.2), то единственным его решением будет уравнение (4.1), т.е. величина x совершает гармонические колебания. При

этом амплитуда A и начальная фаза ϕ0 определяются начальными условиями,

т.е. значениями величины x и её первой производной x в начальный момент времени t = 0 . Другими словами определяются тем, каким образом экспериментатор «запустит маятник».

162

Теперь рассмотрим задачу о колебаниях в LC-контуре. В контуре действует единственная электродвижущая сила – ЭДС самоиндукции εS .

Согласно закону Ома для неоднородного участка цепи, начало которого – положительная обкладка конденсатора, а конец – отрицательная (рис. 4.1,б), можно записать: (ϕ1 −ϕ2 ) +εS = IR , где (ϕ1 −ϕ2 ) =UC − разность потенциалов или напряжение между обкладками конденсатора. Так как сопротивление контура R = 0, то:

По определению сила тока – это заряд, протекающий через сечение проводника за единицу времени, т.е. производная заряда по времени (см. формулу (2.1)).

заряд положительной обкладки убывает ( dq < 0 ). Тогда производная тока по

Отметим, что в электротехнике величина ЭДС самоиндукции, взятая с обратным знаком, рассматривается как напряжение на катушке

(индуктивности): UL = −εS = LI = Lq . Поэтому уравнение (4.3) можно записать в виде

Уравнение (4.4) представляет собой, по сути, обобщение второго правила Кирхгофа, сформулированного нами ранее (см. п. 2.7) для замкнутых контуров с постоянными токами: сумма падений напряжений в замкнутом контуре равна алгебраической сумме внешних ЭДС, действующих в контуре. Внешние ЭДС в LC-контуре не действуют (ЭДС самоиндукции – это напряжение на индуктивности, внутренняя ЭДС).

Разделив обе части уравнения (4.3) на величину L , получим:

163

Уравнение (4.5) по форме совпадает с уравнением (4.2), т.е. является дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Роль физической величины x играет заряд на обкладках конденсатора q . Можно сделать два

вывода: во-первых, заряд на обкладках конденсатора изменяет по гармоническому закону

Формула (4.8) для периода колебаний заряда в LC-контуре называется формулой Томсона.

По гармоническому закону будут изменяться и другие физические величины, характеризующие процесс колебаний в LC-контуре. Зависимость напряжения на обкладках конденсатора от времени:

(формулой приведения), колебания тока можно записать через функцию косинус:

I = I0cos (ω t +ϕ0 +π2).

164

Сравнение последнего выражения с уравнением (4.6) показывает, что колебание тока отличается от колебания заряда (и напряжения) конденсатора по фазе на π/ 2 . Это означает, что в тот момент, когда заряд конденсатора и

напряжение на нём максимальны, т.е. cos ϕ=1 (напомним, что ϕ = ω t + ϕ0 − фаза), ток в контуре равен нулю (если cos ϕ=1, то sin ϕ = −cos (ϕ+π2)= 0 ). И, наоборот, когда ток максимален, заряд и напряжение на конденсаторе равны

I0

q0

I0

Рис. 4.2. Состояния LC-контура в различные моменты времени

t = 0, T / 4, T / 2, 3T / 4, T , где T − период колебаний. Предполагается, что в

начальный момент времени (t = 0 ) заряд конденсатора максимален. Гармонические колебания будут совершать также величины ЭДС самоиндукции, энергий электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки. Советуем читателям вывести соответствующие выражения

самостоятельно.

Пример. 4.1. Максимальное значение напряжения на обкладках конденсатора LC-контура U0 =10 В. Определить значение силы тока I1 в

контуре в тот момент, когда напряжение на конденсаторе станет равным U1 =5 В, если C = 50 нФ, L = 0,01 Гн.

Решение. Задачу можно решить, используя уравнения колебаний напряжения и тока (4.9) и (4.10). Однако проще воспользоваться законом сохранения энергии.

При колебаниях в LC-контуре энергия электрического поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля катушки, и наоборот. Суммарная энергия электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки в любой

момент времени остаётся неизменной: CU 2 2 + LI 2 2 = const .

165

В начальный момент времени напряжение на конденсаторе и его заряд максимальны. При этом сила тока в цепи равна нулю (рис. 4.2) и полный запас энергии контура состоит из энергии электрического поля конденсатора:

W0 = CU02 2 . В промежутке времени между t = 0 и t =T / 4 по цепи идёт ток, но конденсатор ещё полностью не разрядился. Поэтому энергия контура в конечный момент времени: W1 = CU12 2 + LI12 2 . Таким образом

4.2. Колебательный контур с затуханием

Колебательный контур без сопротивления − это идеальная модель. Реально LC-контур всегда обладает некоторым сопротивлением R хотя бы за счет подводящих проводов. Рассмотрим LC-контур с сопротивлением R (рис. 4.3). Такой контур называется контуром с затуханием или LCR-

контуром. При замыкании обкладок заряженного конденсатора в контуре начинаются колебания.

Однако теперь при протекании электрического тока за счет сопротивления R контур нагревается.

Энергия электрического поля, первоначально запасенная в конденсаторе, постепенно переходит во внутреннюю энергию провода, амплитуды колебаний всех электрических величин уменьшаются вплоть до полного прекращения колебаний.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний некоторой

Оно отличается от дифференциального уравнения гармонических колебаний (4.2) слагаемым ( 2β x ), учитывающим силы сопротивления, действующие на маятник. Коэффициент β называется коэффициентом затухания. Если величина x − смещение, её производная x − скорость, тогда слагаемое 2β x отражает тот факт, что сила сопротивления пропорциональна скорости.

166

В случае, когда затухание не слишком велико (выполняется условие β < ω0 ), решение дифференциального уравнения (4.10) имеет вид:

экспоненциальному закону; A0 − начальная амплитуда колебаний; ω = ω02 −β2 − циклическая частота колебаний; ω0 − собственная циклическая частота

колебаний (частота, с которой колебался бы маятник, если бы сил сопротивления не было). Присутствие сил сопротивления уменьшает циклическую частоту колебаний и, соответственно, увеличивает период колебаний:

Вернемся к электромагнитным колебаниям в LCR-контуре. Поскольку внешние ЭДС в цепи не действуют, сумма падений напряжений на отдельных элементах контура равна нулю

Уравнение (4.12) по форме совпадает с дифференциальным уравнением (4.10). Отсюда можно сделать два основных вывода.

1) . Процесс в LCR-контуре представляет собой затухающие колебания, зависимость заряда конденсатора от времени подобна (4.11):

График функции (4.13) изображен на рис. 4.4. сплошной линией. Отдельно пунктирной линией показана зависимость амплитуды колебаний заряда от времени A(t)= q0e−βt .

амплитуды почти в 3 раза существенно, однако не означает полного прекращения колебаний.

Время затухания τ есть величина, обратная коэффициенту затухания β:

времени t : A1 = q0e−β t . Через время τ, т.е. в момент времени t +τ амплитуда

Из формулы (4.14) следует, что β =1/ τ. Таким образом, коэффициент

затухания – это величина, обратная времени затухания, т.е. времени, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

Декрементом затухания σ называется величина, равная отношению амплитуд следующих друг за другом колебаний:

Уравнение (4.18) называется дифференциальным уравнением вынужденных колебаний под действием синусоидальной ЭДС.

С точки зрения математики уравнение (4.18) представляет собой линейное неоднородное (правая часть отлична от нуля) дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Решение данного уравнения представляет собой сумму двух слагаемых

q(t)= q0e−βt cos (ω t +ϕ0 )+ Bcos (Ω t +α).

Первое слагаемое – общее решение однородного уравнения (с правой частью, равной нулю), второе слагаемое – частное решение неоднородного уравнения. Первое слагаемое в точности совпадает с уравнением (4.13) и представляет собой затухающие колебания заряда конденсатора с циклической частотой

ω = ω02 −β2 . Второе слагаемое соответствует собственным вынужденным колебаниям заряда с циклической частотой вынуждающей силы Ω. Таким

переходным. Первое слагаемое экспоненциально затухает за время по порядку величины, равное времени затухания τ =1/ β. Переходный режим заканчивается и наступает режим установившихся вынужденных колебаний с частотой вынуждающей силы Ω

колебательной системы ω0 и β , но не зависят от начальных условий. Подставляя функцию q(t) (4.19) в уравнение (4.18), можно найти выражение