Руководства к лабам и др физика / Методички_Общая физика / Электромагнетизм

151

напряженности теперь не зависит от поверхности, натянутой на этот контур. Противоречие устранено. Кроме того, мы показали, что величина тока смещения равна величине тока проводимости, т.е. ток смещения замыкает ток проводимости.

Используя представление о токе смещения, можно легко объяснить отсутствие магнитного поля в пространстве вокруг разряжающегося шара. В этом случае токи смещения, замыкая токи проводимости, текут противоположно токам проводимости из бесконечности к поверхности шара и по величине равны токам проводимости. В результате полный ток, текущий от поверхности шара, равен нулю, а, следовательно, нет и магнитного поля. Докажем, что суммарный ток смещения равен скорости изменения заряда шара dq / dt или полному току проводимости I . Напряженность электрического поля заряженного шара

Плотность тока смещения на расстоянии r от центра шара

Тогда полный ток смещения, пересекающий сферическую поверхность радиуса r :

Iсм = jсмS = jсм 4πr2 = ddqt = I .

После того как Максвелл ввёл понятие тока смещения и дополнил теорему о циркуляции, он сформулировал систему из четырёх фундаментальных уравнений, которая объединила все знания об электрических и магнитных явлениях:

152

Для описания полей в изотропныхG G средах к системе нужно добавить уравнения связи между векторами E и D , B и H :

D =εε0E и B =μμ0H .

Система уравнений (3.51) содержит в себе все основные законы электричества и магнетизма. Первое уравнение представляет собой закон электромагнитной индукции. Смысл уравнения в том, что электрическое поле может порождаться переменным магнитным полем. В этом случае электрическое поле является не потенциальным, а вихревым, его силовые линии замкнуты. Работа по перемещению заряда по замкнутому контуру в таком поле, а значит и циркуляция вектора напряженности вихревого поля, отличны от нуля. Левая часть уравнения (циркуляция электрического поля) представляет собой ЭДС индукции εi , а правая – скорость изменения

магнитного потока (− dФdt).

Второе уравнение системы отражает тот факт, что магнитное поле (или буквально: циркуляция магнитного поля) может порождаться как токами проводимости I (движущимися свободными зарядами), так и переменным электрическим полем. Второе слагаемое в правой части уравнения представляет собой скорость изменения потока вектора электрического

смещения (dФD dt) или ток смещения.

Третье уравнение системы представляет собой теорему Гаусса. Его смысл в том, что источником электрического поля (буквально: потока силовых линий) является заряд.

Наконец, четвертое уравнение системы свидетельствует о том, что магнитных зарядов не существует. Магнитные силовые линии нигде не начинаются и нигде не заканчиваются, они всегда замкнуты, т.е. магнитное поле – вихревое поле. Значит, если силовая линия входит в поверхность, то она не может оборваться внутри поверхности, а обязательно выходит из неё. И,

153

следовательно, поток магнитных силовых линий через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Отсутствие в природе магнитных зарядов является причиной того, что уравнения (3.51) не симметричны относительно электрического и магнитного полей.

Для стационарных, т.е. неG меняющихся с течением времени, полей

изменения потоков векторов D и B через любую мысленно выделенную в пространстве поверхность равны нулю. Поэтому равны нулю правая часть первого уравнения и второе слагаемое правой части второго уравнения системы (3.51). В этом случае система уравнений Максвелла в безындукционном приближении имеет вид:

∫(EG, dl )= 0,

L

∫(HG, dlG)= I ,

L

∫(DG,nG)dS = q, (3.52)

S

∫(BG,nG)dS = 0.

S

Стационарное электрическое поле создаётся системой неподвижных зарядов и называется электростатическим полем. Смысл первого уравнения системы (3.52) в том, что электростатическое поле потенциально, работа по перемещению заряда по замкнутой траектории в таком поле равна нулю.

Второе уравнение свидетельствует о том, что в отсутствие переменных электрических полей источником магнитного поля может быть только ток или движущийся заряд. Третье и четвёртое уравнения остаются без изменений.

Одним из самых важнейших выводов, вытекающих из системы уравнений Максвелла (3.51), является вывод о возможности существования магнитного и электрического полей, не связанных с какими-то материальными источниками – зарядами. Электрическое и магнитное поля, порождая друг друга, могут распространяться в пространстве. Распространение электромагнитного возмущения называется электромагнитной волной. Радиоволны, видимый свет, инфракрасное, ультрафиолетовое, рентгеновское излучения, γ-излучение – все эти явления представляют собой электромагнитные волны, отличающиеся частотами колебаний полей и длинами волн. Скорость распространения электромагнитных волн в вакууме (её

часто называют скоростью света) с = 3 108 м/с. Она выражается через электрическую и магнитную постоянные (что само по себе указывает на электромагнитную природу света)

Таким образом, уравнения Максвелла являются фундаментом раздела физики, называемого Волновой Оптикой или в более широком смысле – Физической оптики, науке о природе света.

Более подробно электромагнитные волны будут рассмотрены в главе 4.

3.20. Природа магнетизма

Физика не только описывает то или иное явление природы, но и объясняет, почему это явление происходит. В самом начале нашего курса мы говорили о том, что некоторые элементарные частицы, такие, например, как протон или электрон, обладают свойством, которое называется электрическим зарядом. Заряды взаимодействуют с электрическими силами посредством особой формы материи – электрического поля. Но всё же ответить на вопрос, почему взаимодействуют заряды, или почему поле одного заряда действует на другой заряд, невозможно. Можно только сказать, что так устроена природа, и что основное свойство электрического поля – действие на заряды.

Движущиеся заряды создают магнитное поле и посредством этого поля взаимодействуют между собой с магнитными силами. Оказывается на вопрос о причинах магнитного взаимодействия ответить можно. Правда, основываясь на факте существования взаимодействия электрического. Этой важной проблеме и посвящён данный раздел.

Пусть параллельно прямому металлическому проводу длиной l0 с током

бесконечно длинного провода). Это поле действует на частицу с силой Лоренца

FЛ = evB = ev μ2π0rI , направленной к проводу. Электроны в проводе движутся в направлении, противоположном направлению силы тока в проводе, т.е.

155

параллельно частице. Для простоты рассуждений (но без потери смысла) примем, что все электроны в проводе движутся также с постоянной скоростью v. Тогда сила тока I = j S = en0v S (см. формулу 2.23), где n0 − концентрация

электронов; S – площадь поперечного сечения провода. Следовательно, сила Лоренца

Действие этой силы обнаружит наблюдатель 1, связанный с системой отсчёта 1, покоящейся относительно провода. Отметим, что в системе отсчёта 1 провод электрически нейтрален – заряды электронов и ионов компенсируют друг друга, т.е. концентрации электронов и ионов одинаковы (и равны n0 ), поэтому

электрическая сила на частицу не действует.

Теперь перейдём в новую инерциальную систему отсчёта 2, движущуюся

спостоянной скоростью v в направлении движения частицы. В этой системе отсчёта как частица, так и электроны в проводе будут покоиться. Зато движутся со скоростью v положительно заряженные ионы, т.е. узлы кристаллической решётки металла. Поскольку для наблюдателя 2, находящегося в этой системе отсчёта (т.е. движущегося со скоростью v), скорость частицы равна нулю, сила Лоренца тоже равна нулю. Получается, что сила, действующая на частицу, исчезла в новой инерциальной системе отсчёта. Однако, согласно принципу относительности Эйнштейна (который уже обсуждался в п. 3.15), в любых инерциальных системах отсчёта все физические явления должны протекать одинаково. В данном случае, независимо от выбора инерциальной системы отсчёта, должна существовать сила, действующая на частицу. Она должна быть одинакова для наблюдателей 1 и 2. Правда, в системе отсчёта 2 эта сила не может быть магнитной (силой Лоренца), следовательно, в этой системе отсчёта она имеет иную природу.

Для того чтобы понять природу силы, действующей на частицу в системе отсчёта 2, необходимо обратится к одному из самых замечательных результатов специальной теории относительности Эйнштейна. Многие физические величины являются относительными. Это совершенно очевидно, когда мы говорим, например, о такой физической величине как скорость, которая может быть разной в различных системах отсчёта. Например, утверждение «тело движется со скоростью 5 м/с» бессмысленно, пока не будет указано, относительно какого тела (т.е. системы отсчёта) движется данное тело

сэтой скоростью. Долгое время таким же очевидным считался тот факт, что расстояние между двумя точками есть величина абсолютная, независящая от системы отсчёта. Эйнштейн подверг сомнению этот никем не доказанный факт. Согласно его теории относительности расстояние между двумя точками или размеры тела вдоль направления его движения (длина) могут изменяться, при этом поперечные размеры, в направлении перпендикулярном движению тела (ширина) не изменяются. Фактически, длина тела в зависимости от системы

156

отсчёта может быть любой. Она изменяется от нулевого значения до некоторого максимального:

Формула (3.55) показывает, что максимальную длину тело имеет в системе отсчёта, где оно покоится: при v=0 получаем l = l0 . Минимальная же длина не

ограничена. Она меньше в тех системах отсчёта, где скорость тела больше. При скоростях v, близких к скорости света c, длина стремится к нулю.

Пусть в системе отсчёта 1, где проводник покоится, его длина равна l0 . В

системе отсчёта 2 проводник движется, поэтому его длина и объём становятся меньше (площадь сечения S не изменяется). Число ионов кристаллической

решётки N И остаётся прежним, значит, при переходе к системе отсчёта 2 увеличивается их концентрация:

где n0 = NИV0 − концентрация ионов в системе отсчёта 1, nИ − концентрация

ионов в системе отсчёта 2. Электроны, наоборот, в системе отсчёта 1 двигались со скоростью v, а в системе отсчёта 2 они покоятся. Следовательно, концентрация электронов при переходе к системе отсчёта 2 уменьшается:

ne = n0 1−v2 / c2 . Отсюда следует вывод: в системе отсчёта 2 проводник

становится электрически заряженным, поскольку концентрация положительно запряженных ионов стала больше концентрации электронов. Положительно заряженный провод будет притягивать отрицательно заряженную частицу. Таким образом, в системе отсчёта 2 на частицу по-прежнему действует сила, направленная к проводу. Только природа этой будет электрической.

Докажем, что электрическая сила, действующая на частицу в системе отсчёта 2, в точности равна силе Лоренца (см. формулу (3.54)), действующей на частицу в системе 1.

Сначала выразим линейную плотность заряда τ провода через концентрацию зарядов:

τ = ql = VN/ Se = NeSV = neS .

Линейная плотность положительных зарядов провода τИ = nИeS , линейная плотность отрицательных зарядов τe = neeS . Результирующая линейная плотность заряда провода τ = τИ − τe = (nИ − ne ) eS . Будем

157

полагать, что v << с, т.е. величина v2 / c2 очень мала (даже при больших токах дрейфовая скорость электронов в проводе составляет обычно лишь несколько мм/с). Тогда разность концентраций ионов и электронов в проводе:

(3.56), получаем: F = n0e2v2 S(2πε0c2r). Так как c2 =1(ε0μ0 ) (см. формулу (3.53)), то: F =μ0n0e2v2 S(2πr), что в точности совпадает с результатом (3.54).

Равенство сил, действующих на частицу в системах отсчёта 1 и 2 доказано. Мы показали, что сила Лоренца, действующая в системе отсчёта 1, преобразуется в электрическую силу, действующую в системе отсчёта 2.

Понятно, что справедливым будет и обратное утверждение о том, что электрическая сила, действующая в системе отсчёта 2, преобразуется в силу Лоренца при переходе к системе отсчёта 1. Таким образом, проявление магнетизма можно объяснить с точки зрения теории относительности. Говорят,

что магнетизм – есть релятивистское явление.

Релятивистскими явлениями обычно называют явления, которые можно объяснить при помощи теории относительности. Особенно сильно эти явления начинают проявлять себя при скоростях тел, близких к скорости света. Если скорости тел малы по сравнению со скоростями света, то релятивистские явления или эффекты обычно незаметны. Почему же столь явно проявляет себя сила Лоренца в системе отсчёта 1, ведь скорость частицы невелика? Почему же столь явно взаимодействуют, например, два параллельных провода с током? Ответ на эти вопросы прост: проводники, по которым течёт ток, в высокой степени нейтральны. Магнитные силы на фоне мощного электрического взаимодействия были бы незаметны (попробуйте доказать, что электрические

силы в (с/ v)2 раз больше магнитных сил). Однако электрическое

взаимодействие отсутствует, и действие магнитных сил становится явным. В заключение отметим ещё один важный факт. В системе отсчёта 1 на

заряженную частицу действовала магнитная сила, а в системе отсчёта 2 –

158

электрическая. Поэтому, говоря о взаимодействии зарядов, можно говорить о величине силы взаимодействия, но не имеет смысла говорить отдельно об электрическом или магнитном взаимодействии, не указывая систему отсчёта, в которой ведётся наблюдение. Электрические и магнитные взаимодействия зарядов − две части одного и того же явления электромагнитного взаимодействия, одинакового во всех инерциальных системах отсчёта.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1.На что действует магнитное поле? Запишите выражение для силы Лоренца. Как направлена эта сила? Чему равна её работа?

2.Каков характер движения заряженных частиц в однородных электрическом и магнитном полях?

3.Каким образом определяют массы мельчайших заряженных частиц?

4.Какая сила называется силой Ампера. Чему равен её модуль? Как она направлена?

5.Чему равна сила Ампера, действующая на замкнутый проводник с током в однородном магнитном поле?

6.Каково поведение рамки с током в магнитном поле?

7.В чём заключается эффект Холла? Для каких целей его используют? Объясните, как можно определить знак свободных носителей заряда.

8.От каких параметров и как зависит вектор магнитной индукции поля, создаваемого движущимся зарядом? Каким образом направлен этот вектор?

9.Сформулируйте закон Био-Савара-Лапласа. Приведите примеры его применения.

10.Что такое силовые линии магнитного поля? Нарисуйте силовые линии магнитных полей а) прямого тока, б) кругового витка с током, в) соленоида, г) полосового магнита.

11.Как взаимодействуют между собой витки соленоида?

12.Сформулируйте теорему о циркуляции вектора магнитной индукции. Сформулируйте теорему о потоке вектора магнитной индукции. Каков физический смысл этих теорем? Приведите примеры на применение теоремы о циркуляции для магнитного поля.

13.Каков принцип работы электродвигателя?

14.Чему равна работа силы Ампера по перемещению витка с током в магнитном поле? Объясните, почему работа силы Ампера может быть отличной от нуля.

15.Электродвигатель, обмотка которого имеет сопротивление 1 Ом подключён к напряжению 120 В. Сила тока, текущего по обмотке 15 А. Не противоречат ли эти данные закону Ома: U = I × R =15 ×1 =15 ≠120 (В)?

16.Дайте определение индуктивности контура. Выведите выражение для индуктивности соленоида.

159

17.Сформулируйте закон электромагнитной индукции. Приведите примеры наблюдения этого явления.

18.Что называется ЭДС самоиндукции?

19.Объясните правило Ленца. Приведите примеры, демонстрирующие применение этого правила.

20.Что такое токи Фуко?

21.Что такое экстратоки размыкания и замыкания?

22.Чему равна энергия магнитного поля контура с током?

23.Объясните принцип работы генератора электрического тока.

24.Объясните принцип действия трансформатора.

25.Нарисуйте схему линии передачи электроэнергии. Почему электроэнергию нужно передавать под возможно большим напряжением?

26.Объясните природу явления электромагнитной индукции.

27.Что такое магнитная проницаемость среды?

28.На какие группы делятся вещества в зависимости от магнитных свойств?

29.В чем заключается природа намагничивания веществ?

30.Дайте определение намагниченности вещества.

31.Сформулируйте теорему о циркуляции для магнитного поля в веществе.

32.Дайте определение напряженности магнитного поля.

33.Объясните механизмы намагничивания диамагнетиков, парамагнетиков и ферромагнетиков. Что происходит с этими веществами при выключении магнитного поля?

34.Что называется магнитным гистерезисом?

35.Нарисуйте и проанализируйте петлю гистерезиса.

36.Как можно размагнитить ферромагнетик?

37.Что такое ток смещения? В каких случаях он «течёт»? Приведите примеры.

38.Запишите систему уравнений Максвелла и объясните смысл этих уравнений.

39.Как выглядит система уравнений Максвелла для стационарных полей?

40.Объясните природу магнетизма.

4.ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

4.1. Колебательный контур

Простейший пример электрических колебаний – это колебания напряжения и тока в обычной осветительной сети. Эти колебания происходят в результате действия внешней ЭДС генератора, изменяющейся по синусоидальному закону, т.е. являются вынужденными колебаниями. Напомним, что колебания можно разделить на свободные и вынужденные. Вынужденные колебания – это колебания, происходящие при воздействии на

160

колебательную систему какой-либо внешней периодически действующей силы. Свободные колебания возникают при смещении колебательной системы из положения равновесия (т.е. внешняя сила действует только один раз перед началом колебаний) и в дальнейшем происходят без каких-либо внешних периодических воздействий на маятник. Простейшие примеры механических систем, совершающих свободные колебания – пружинный и физический маятники. А могут ли электрические величины совершать свободные колебания?

Рассмотрим схемы, представленные на рис. 4.1. Если заряженный до

Рис. 4.1. RC-контур(а) и LC-контур(б)

напряжения U конденсатор емкостью C замкнуть на резистор, то конденсатор практически мгновенно разрядится (рис. 4.1,а). Энергия конденсатора по закону сохранения не исчезает бесследно. При протекании тока разрядки провод нагреется, т.е. весь запас энергии конденсатора перейдёт в тепло:

CU 2 2 Q . Если же конденсатор замкнуть на катушку с индуктивностью L

(рис. 4.1, б), то конденсатор будет не просто разряжаться, а перезаряжаться, т.е. в контуре возникнут колебания заряда на конденсаторе. А вместе с ними возникнут и колебания тока в контуре, напряжения на конденсаторе, ЭДС самоиндукции, возникающей в витках катушки, колебания энергий электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки. Энергия электрического поля конденсатора будет переходить в энергию магнитного

поля катушки, и наоборот CU 2 2 LI 2 2 . Контур, состоящий из ёмкости и индуктивности, называется колебательным контуром без затухания (сопротивление контура R = 0) или LC-контуром. А сам колебательный процесс в LC-контуре называется электромагнитными колебаниями.

Качественно колебания в LC-контуре можно объяснить следующим образом. Главной причиной колебаний является ЭДС самоиндукции

εS = −L(dIdt), возникающая в витках катушки при изменении тока. После

замыкания цепи в контуре возникает электрический ток, направленный от положительной обкладки конденсатора к отрицательной. При этом ЭДС самоиндукции препятствует нарастанию тока, и он постепенно достигает