Руководства к лабам и др физика / Методички_Общая физика / Электромагнетизм

132

Если ЭДС индукции представить как произведение некоторого среднего значения напряженности вихревого электрического поля на длину контура

εi = Eср l , то для оценки величины напряженности вихревого поля, направленного вдоль провода, получим Eср = εi / l .

По закону электромагнитной индукции (3.25,а) из уравнения (3.39) получаем:

Учитывая выражение для магнитного потока (3.19, а), уравнение (3.40) можно представить в виде:

где S может быть любой поверхностью, натянутой на контур L.

Уравнение (3.40,а) представляет собой одно из уравнений Максвелла. Его смысл в том, что источником электрического поля может быть переменное магнитное поле. Или буквально: переменное магнитное поле создаёт отличную от нуля циркуляцию электрического поля.

В соответствии с принципом относительности Эйнштейна все явления природы происходят одинаково во всех инерциальных системах отсчета.

Принципа относительности мы уже касались в п. 3.1, когда говорили о том, что в любой инерциальной системе отсчета действующая на заряд электромагнитная сила одна и та же, хотя ее электрическая и магнитная составляющие могут изменяться.

На первый взгляд может показаться, что закон электромагнитной индукции описывает принципиально два различных физических явления: возникновение ЭДС индукции и индукционного тока в контуре в результате действия силы Лоренца (т.е. действия самого магнитного поля) и в результате действия вихревого электрического поля, порождаемого переменным магнитным полем. Сам же закон (3.25) одинаков в обоих случаях! Выясним причины этого «совпадения». Рассмотрим вновь опыт Фарадея, представленный на рис. 3.18. Представим себе двух наблюдателей, один из которых «сидит» на магните, а другой – на кольце. Если в контур кольца включить гальванометр, то оба наблюдателя увидят отклонение его стрелки. Первый наблюдатель, находящийся на кольце, будет утверждать, что переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое, которое действует на электроны кольца с силой, в результате по кольцу идет ток. Для второго наблюдателя, находящегося на магните, магнит неподвижен, а

3.16. Магнитное поле в веществе

До сих пор мы рассматривали магнитные поля, создаваемые какими-то движущимися зарядами или токами в вакууме или в воздухе, что почти то же самое. Магнитное поле может существенно измениться, если в него поместить какое-то вещество.

Рассмотрим опыт на рис. 3.26. Первая катушка через ключ К подключена к источнику постоянного тока. В цепь второй катушки, витки которой намотаны на витки первой, включен гальванометр, по отбросу стрелки которого можно судить о полном заряде, прошедшем по цепи второй катушки. Пусть первоначально сердечник в катушках отсутствует. При замкнутом ключе К через первую катушку течет некоторый постоянный ток, создающий в катушке магнитное поле. Витки второй катушки намотаны на витки первой, поэтому магнитное поле будет пронизывать также и витки второй катушки. При размыкании ключа К магнитное поле в первой, а значит и второй катушках начинает убывать, так как убывает ток, текущий через первую катушку. В результате в цепи второй катушки возбуждается ЭДС индукции и потечет кратковременный ток. По отбросу стрелки гальванометра G можно судить о полном заряде, протекшем через вторую катушку после размыкания ключа.

134

Полный заряд, протекший по цепи второй катушки можно найти по формуле (вывод см. в примере 3.9),

q = − Ф2 −Ф1 ,

R

где R – полное сопротивление цепи второй катушки. Начальный магнитный поток через вторую катушку Ф1 = NB0S , конечный магнитный поток Ф2 = 0 .

Величина B0 − магнитное поле, создаваемое током, текущим по виткам первой катушки до размыкания ключа. В результате получим q = NB0S R . Измеряя заряд при помощи гальванометра, можно определить начальное магнитное поле внутри катушек: B0 = qR(NS ).

Теперь вставим внутрь катушек железный сердечник и установим тот же начальный ток, текущий по виткам первой катушки. При размыкании ключа отброс стрелки гальванометра, т.е. полный заряд, протекающий через вторую катушку, значительно увеличиться. Пусть показание гальванометра увеличивается в μ раз. Анализ последней формулы показывает, что магнитное

поле внутри катушек в присутствии сердечника в μ раз больше, чем поле в отсутствие сердечника: B =μ B0 . Увеличение магнитного поля можно объяснить только наличием внутри катушек сердечника, поскольку в обоих случаях в начале опыта ток устанавливался одинаковый. Величину μ называют

магнитной проницаемостью среды. Она показывает, во сколько раз магнитное поле в среде изменяется по сравнению с магнитным полем в вакууме. Магнитная проницаемость железа гораздо больше единицы и достигает

значений μ = 5000 . Вещества, подобные железу, называются

ферромагнетиками. К ферромагнетикам относятся никель, кобальт, гадолиний и ещё некоторые редкоземельные элементы. Кроме того, сильными ферромагнетиками являются различные сорта стали и некоторые сплавы

металлов, магнитная проницаемость которых может достигать порядка μ =106 !

Вещества, магнитная проницаемость которых немного превышает единицу, называются парамагнетиками. Например, парамагнитными свойствами обладают воздух ( μ =1,000038 ), алюминий ( μ =1,000023 ), платина

( μ =1,000253) . И, наконец, вещества, магнитная проницаемость которых

немного меньше единицы, называются диамагнетиками. Магнитное поле в диамагнетиках уменьшается по сравнению с полем в вакууме. Примерами диамагнетиков являются вода ( μ = 0,999991 ), золото ( μ = 0,999963 ), висмут

( μ = 0,999824 ) и другие.

Причины изменения магнитного поля в среде похожи на причины изменения электрического поля в среде (п.п. 1.7, 1.8). Любое вещество состоит из молекул или атомов, которые, в свою очередь, состоят из заряженных

135

частиц. Движение электронов вокруг ядер можно рассматривать как элементарный электрический ток, и атом представлять себе в виде микроскопического витка с током. Виток с током имеет магнитный момент и создает магнитное поле. Суммарное магнитное поле всех атомов и представляет собой магнитное поле, возбуждаемое веществом. Движение электронов внутри атомов и молекул будем называть молекулярными токами в отличие от обычных токов проводимости, текущим по проводам.

Пример 3.14. В модели атома водорода Нильса Бора электрон вращается по круговой траектории вокруг положительно заряженного ядра (фактически протона). Пусть известны скорость электрона v и радиус орбиты R . Найти магнитный момент такого атома.

Решение. Атом представляет собой виток с током I , создаваемым движением одного электрона. Магнитный момент атома pm = I s , где

s = π R2 − площадь сечения витка. По определению сила тока есть заряд, протекающий через сечение проводника за единицу времени I = q / t . В нашем

случае через данную точку траектории один раз за период обращения T = 2πR / v пролетает один единственный электрон. Поэтому сила тока

I = e /T = ev / 2πR ,

где e − заряд электрона. Тогда магнитный момент атома pm = 2evπR πR2 = evR2 .

Отметим, что если боровский атом водорода поместить в магнитное поле с индукцией B , то на атом со стороны поля будет действовать вращательный момент

M = pmB sin α ,

где α − угол между векторами pm и B (напомним, что вектор pGm направлен

перпендикулярно плоскости витка). Таким образом, внешнее магнитное поле будет ориентировать атом в магнитном поле подобно тому, как оно ориентируетG магнитную стрелку. В устойчивом положении равновесия вектора

pGm и B параллельны, вращательный момент при этом будет равен нулю.

Микроскопические магнитные моменты отдельных атомов в отсутствие внешнего магнитного поля могут быть ориентированы хаотически или отсутствовать совсем. В этом случае их суммарное магнитное поле будет равно нулю. Внешнее магнитное поле ориентирует магнитные моменты атомов параллельно вектору магнитной индукции. Действительно, на виток с током в

136

магнитном поле действует вращательный момент, стремящийся повернуть виток в положение равновесия, при котором внешнее поле перпендикулярно плоскости витка, или, другими словами, параллельно магнитному моменту витка (см. п. 3.4 и пример 3.14). Таким образом, во внешнем магнитном поле магнитные моменты атомов преимущественно направлены вдоль поля и их суммарное магнитное поле отлично от нуля. Суммарное магнитное поле

представляет собой сумму внешнего поля B0 и поля молекулярных токов атомов вещества BGm :

B = B0 + Bm .

В ферромагнетиках и парамагнетиках вектора B0 и Bm параллельны, и внешнее поле усиливается полемG молекулярных токов атомов; а в

диамагнетиках вектора BG0 и Bm антипараллельны, и внешнее поле ослабляется

полем молекулярных токов атомов.

Вещество, в котором магнитные моменты атомов упорядочены по направлению, называется намагниченным.

Намагниченностью вещества J называется величина, равная отношению суммарного магнитного момента объема вещества к величине этого объема (или средний магнитный момент единицы объема вещества):

где pmi − магнитный момент i-ого атома, находящегося в объёме V.

Важно отметить, что парамагнетики и диамагнетики могут быть намагниченными только будучи помещены во внешнее магнитное поле, тогда как что ферромагнетики способны сохранять состояние намагниченности и в отсутствие внешнего поля.

На рис. 3.27 схематически показан намагниченный сердечник катушки с

током. Внешнее магнитное поле B0 создается током, текущим по намотке сердечника (на рис. 3.27 намотка не показана). Под действием внешнего поля отдельные атомы (или витки) ориентируются так, что их магнитные моменты pm параллельны внешнему полю. Молекулярные токи соседних атомов в

местах их соприкосновения текут в разных направлениях и взаимно компенсируют друг друга. Молекулярные токи, выходящие на наружную боковую поверхность сердечника остаются некомпенсированными. Они складываются и дают некоторый суммарный ток Im . Таким образом, намагниченный сердечник можно представлять себе как цилиндр, по боковой поверхности которого течет некоторый ток Im . Отметим, что в отличие от тока свободных электронов

текущих по обмотке, суммарный молекулярный ток Im представляет собой ток

138

поперечного сечения сердечника. Тогда величина вектора намагниченности (см. формулу 3.41)

J = PVm = ISm lS = Ilm ,

где l − длина сердечника, V = S l − его объём. В п. 3.6 (см. формулу 3.17) было введено понятие линейной плотности поверхностного тока i . Величина Im / l представляет собой как раз ток намагничивания, приходящийся на

единицу длины сердечника, или линейную плотность тока намагничивания im .

Таким образом, величина вектора намагниченности сердечника равна линейной плотности тока намагничивания: J = im . Заметим, что и размерность вектора

намагниченности такая же, как и размерность линейной плотности тока −

[А/м].

Полный ток намагничивания, текущий по боковой поверхности сердечника, можно выразить через величину вектора намагниченности:

Формулу (3.42) можно обобщить и доказать следующее утверждение. Полный ток намагничивания, пронизывающий произвольную поверхность S , натянутую на замкнутый контур L представляет собой циркуляцию вектора намагничивания по контуру L :

Теперь перейдём к теореме о циркуляции магнитного поля. Ранее она уже была сформулирована в п. 3.7 для поля в вакууме (см. формулу 3.20). Напомним, что циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру L определяется суммарным током I , пронизывающим произвольную поверхность S , натянутую на контур L :

∫(B, dl )= μ0 ∑Ii = μ0 I .

В веществе кроме токов проводимости текут молекулярные токи или токи намагничивания. Поэтому теорему о циркуляции нужно «поправить», учитывая, что поверхность S , кроме тока проводимости I , может пронизывать

и некоторый суммарный ток намагничивания Im :

139

Рассчитать суммарный ток намагничивания порой бывает достаточно сложно и в общем случае это можно сделать по формуле (3.42,а). Но наличие токов намагничивания и, как следствие, изменение магнитного поля в среде можно учесть и другим образом. В среде поле в μ раз больше, чем в вакууме, поэтому теорему о циркуляции можно «поправить» и так:

∫(B, dl )= μ0μ I

L

(ещё раз подчеркнем, что наличие токов намагничивания учитывается домножением правой части уравнения на μ ). Отсюда следует:

Для описания магнитного поля в веществе удобно ввести вспомогательный вектор:

который называется напряженностью магнитного поля. Таким образом определить напряженность магнитного поля можно только в случае

изотропных сред, где вектора H и B параллельны. В общем случае

L

Формула (3.45) и выражает собой теорему о циркуляции для магнитного поля в веществе: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному контуру L равна суммарному току проводимости, пронизывающему произвольную поверхность S, натянутую на контур L.

Эта теорема показывает, что величина вектора напряженности определяется только токами проводимости, т.е. токами свободных зарядов, текущих по проводам, и не зависит от среды. Тот факт, что при определении вектора напряженности можно не обращать внимания на наличие вещества и