Руководства к лабам и др физика / Методички_Общая физика / Электромагнетизм

121

L ddIt + R I = 0 ,

которое решается с учетом начального условия (при t = 0 сила тока I = I0 = ε/ r ). В момент перед размыканием ключа через катушку идет ток εr ,

а через сопротивление R идет ток ε/ R. Но поскольку резистор R обладает пренебрежимо малой индуктивностью, можно считать, что начальный ток в замкнутом контуре после размыкания ключа равен току через катушку. С учетом этого решение дифференциального уравнения имеет вид

размыкания цепи величина ЭДС самоиндукции во много раз может превзойти значение ε. Это можно показать на опыте, заменив сопротивление R лампочкой и соответствующим образом подобрать параметры цепи. Например, если ε=3 В, можно взять лампочку, рассчитанную на 10 В. При замкнутом ключе лампочка будет гореть тускло. При размыкании ключа она на мгновение ярко вспыхивает. А если ЭДС индукции во много раз превысит значение ЭДС батареи, лампочка может даже перегореть.

Рассмотрим теперь явление размыкания цепи (рис. 3.21) с точки зрения закона сохранения энергии. Будем предполагать, что вместо резистора R в цепь включена лампочка. Откуда же берется энергия, затраченная на вспышку лампочки? Источник тока уже отключен и не отдает энергию в контур. Следовательно, запасом энергии обладает катушка с током. Эту энергию она получила от аккумулятора, когда ключ был замкнут. В процессе самоиндукции при исчезновении тока в катушке её энергия и переходит в энергию вспышки.

Что собой представляет энергия катушки с током? В начальный момент времени по катушке идет ток I0 , который создает магнитное поле.

Исчезновение тока в катушке означает исчезновение магнитного поля. Значит, по сути, энергия катушки с током – это энергия её магнитного поля. Таким образом, при размыкании цепи в процессе самоиндукции именно энергия

122

магнитного поля катушки переходит в энергию вспышки. Магнитное поле – форма материи, обладающая энергией.

Рассчитаем энергию магнитного поля катушки с током. Преобразуем

формулу (3.28): I R dt = −LdI . Помножим обе части последнего уравнения на

I :

Проинтегрируем обе части уравнения (3.30,а), учитывая, что начальный ток равен I0 , а конечный ток равен нулю:

∫dQ = −L∫0 I dI Q = LI 2 / 2 .

I0

Поскольку на сопротивлении R тепло выделяется за счет энергии магнитного поля катушки, правая часть полученного уравнения должна представлять собой энергию катушки. Таким образом, энергия магнитного поля катушки с током:

Формула (3.31) остается справедливой и для энергии магнитного поля произвольного контура с индуктивностью L и током I .

В дальнейшем будет выведено выражение для плотности энергии электромагнитного поля катушки с током (пример 3.17, стр.136).

3.13. Генераторы и электродвигатели

Принцип работы электродвигателя уже обсуждался в п. 3.8. Катушка или рамка с током, потребляемым от внешнего источника, вращаются в поле магнита под действием сил Ампера. От катушки, например, приводится во вращение соединенное с ней колесо. Таким образом, электрическая энергия, потребляемая от внешнего источника, переходит в механическую энергию.

123

Работа электродвигателя была рассмотрена при помощи простейшей модельной схемы, представленной на рис. 3.16. Подвижная перемычка CD (якорь), находящаяся в магнитном поле (магнитное поле создает индуктор),

Вследствие этого в контуре возникнет ЭДС индукции εi , потечет ток Ii = εi / R

( R − полное сопротивление контура) и выделится тепло. Мы получили простейшую модель генератора электрического тока, в котором механическая работа или энергия превращается в электрическую энергию.

Работа генератора является обратной работе электродвигателя. Клеммы двигателя подключаются к источнику электроэнергии, ЭДС создаёт ток, и в результате за счет силы Ампера движется якорь, т.е. «на выходе» мы получаем механическую энергию или работу. В генераторе, наоборот, за счет механической работы движется якорь и «на выходе» мы получаем ЭДС, т.е. потребляем электроэнергию. В принципе, одно и то же устройство может работать и как двигатель, и как генератор.

Другой элементарной моделью генератора (переменного тока) является рамка или катушка (якорь) с проволочной обмоткой, вращающаяся между полюсами постоянного магнита (индуктора). При вращении катушки, состоящей из N витков площадью S , в магнитном поле внешний магнитный поток Ф = NBS cos α через её обмотку изменяется, так как изменяется угол α между нормалью к плоскости витков и направлением вектора магнитной индукции B . В результате в обмотке якоря возникает ЭДС индукции, которая представляет собой напряжение на выходных клеммах катушки, т.е. напряжение, вырабатываемое генератором. Принципиально ничего не изменится, если, наоборот, вращать магнит внутри неподвижной обмотки. В этом случае индуктор будет ротором, а якорь статором.

Обычно в качестве индуктора, создающего магнитное поле, в технических генераторах применяются электромагниты, представляющие

124

собой катушки с железными сердечниками. Магнитное поле создается током, текущим по обмотке электромагнита. Для питания электромагнитов применяются отдельные аккумуляторные батареи либо генераторы, укрепленные на одном валу с главным генератором. В качестве якоря применяются обмотки, в которых создается ЭДС индукции, используются рамки или катушки, вращающиеся в магнитном поле индуктора. Якорь приводится во вращение с помощью двигателей внутреннего сгорания, паровых турбин или водяных турбин гидроэлектростанций.

Пример 3.12. Вывести зависимость напряжения на выходных клеммах генератора от времени, если в качестве якоря используется катушка, состоящая из N витков площадью S . Якорь вращается равномерно с угловой скоростью ω в магнитном поле индуктора с индукцией B . Чему равно максимальное значение напряжения генератора?

Решение. Закон изменения угла при равномерном вращении имеет вид: α =ω t +α0 , где ω − угловая скорость вращения якоря, α0 − начальный угол между нормалью к плоскости витков и магнитной индукцией. Следовательно, зависимость магнитного потока от времени имеет вид: Ф = NBS cos(ω t +α0 ) .

По закону электромагнитной индукции (см. формулу 3.25,а), дифференцируя последнее выражение по времени, находим ЭДС индукции:

εi = − ddФt = NBS ω sin (ω t + α0 ) .

Таким образом, на выходных клеммах генератора получаем переменное напряжение, зависящее от времени по синусоидальному закону. При подключении к клеммам такого генератора какой-либо нагрузки через неё потечет переменный синусоидальный ток.

Поскольку максимальное значение функции синус равно единице, максимальное значение напряжения (или ЭДС индукции): εi max = NBSω.

возникающую в контуре ABCD. Какая сила необходима для того, чтобы перемещать перемычку с такой скоростью? Сопротивление контура ABCD постоянно и равно R .

Определим силу тяги, необходимую для движения перемычки со скоростью v . Под действием ЭДС индукции в контуре ABCD возникает индукционный ток

Ii = εi / R = B l v / R .

Врезультате на перемычку со стороны магнитного поля действует сила Ампера

которая по правилу Ленца препятствует причине (силе тяги), вызвавшей индукционный ток, т.е. направлена в сторону, противоположную силе тяги (рис. 3.22). Таким образом, для движения перемычки CD с постоянной скоростью v необходимо преодолевать возникающую при этом силу Ампера, т.е. прикладывать к перемычке силу

3.14.Трансформаторы

Внастоящее время в технике, наряду с постоянным током, широко используется и переменным ток. Напряжение постоянного тока, применяемого

влиниях электропередачи, для питания различных электронных схем, электродвигателей, научились преобразовывать в широких пределах. Важное преимущество переменного тока над постоянным током состоит в том, что напряжение переменного тока можно достаточно легко повышать или понижать практически без потерь энергии. Трансформаторы – это приборы, при помощи которых преобразуется напряжение переменного тока. Принцип работы трансформаторов, так же как и генераторов, основан на законе электромагнитной индукции.

127

вторичной обмотки точно такой же, как поток через один виток первичной обмотки. Это происходит потому, что магнитное поле в ферромагнетиках значительно превышает магнитное поле в воздухе (см. п. 3.16) и все замкнутые магнитные силовые линии практически без рассеяния идут внутри общего для обмоток сердечника. Замкнутый ферромагнитный сердечник, являясь «проводником магнитный силовых линий», представляет собой замкнутую «магнитную цепь», внутри которой проходят все силовые линии. Таким образом, при изменении потока через виток первичной обмотки синхронно изменяется поток через виток вторичной обмотки и во вторичной обмотке возникнет ЭДС самоиндукции εs2 . В результате через нагрузку R2 течет ток и она потребляет энергию, первоначально взятую из сети. Однако напряжение на нагрузке R2 отличается от напряжения сети. Выведем выражение для коэффициента трансформации.

Поскольку во вторичной цепи действует только электродвижущая сила

Величина ЭДС самоиндукции во вторичной обмотке:

где Фсоб = N2Фвит − собственный магнитный поток через витки вторичной обмотки.

Из уравнений (3.34) и (3.36) следует:

Сопротивление самой намотки обычно бывает малым. Поэтому, если считать, что сопротивление первичной намотки R1 → 0 , из уравнения (3.33) получим:

128

Рис. 3.24. Схема линии передачи электроэнергии

т.е. ЭДС самоиндукции в первичной обмотке εs2 равно по величине и противоположно по знаку электродвижущей силе сети U1 . Учитывая равенства

(3.33,а) и (3.35,а), из уравнения (3.37) получаем выражение для коэффициента трансформации:

Коэффициент трансформации зависит от числа витков в первичной и вторичной обмотках. Если, например, в первичной обмотке 100 витков, а во вторичной 1000 витков, то трансформатор будет повышать напряжение в 10 раз.

Трансформаторы применяются для передачи электроэнергии на большие расстояния с наименьшими потерями. Для передачи электроэнергии на большие расстояния с наименьшими потерями напряжение в начале линии передачи нужно повысить, а в конце линии передачи перед потребителем понизить (рис. 3.24).

Пусть, например генератор имеет мощность P =106 Вт, которая определяется механической мощностью, затрачиваемой на раскрутку ротора, и является постоянной величиной. Например, мощность генератора гидроэлектростанции определяется мощностью потока воды, раскручивающей турбину, которая находится на одном валу с ротором. Предположим

Pнагр / P = 0,01 или 1%. Если, к примеру, уменьшить напряжение в линии до

130

перпендикулярная скорости vG. Силу Лоренца можно разложить на две составляющиеG G G , действующие вдоль провода и перпендикулярно ему:

FЛ = F1 + F2 . Сила F1 направлена перпендикулярно проводу против направления его перемещения. GТакая сила действует на каждый электрон в проводе. По сути, сумма всех сил F1 , действующих на различные электроны, представляет собой силу Ампера (см. пример 3.13). Она стремится затормозить проводник и совершает отрицательную работу. Составляющая F2 направлена вдоль проводника, разгоняетG электроны и совершает положительную работу, работа составляющейG F1 отрицательна. Полная работа силы Лоренца, как всегда, равна

нулю. Сила F1 привела бы к остановке перемычки CD, если бы на перемычку

не действовала еще одна сила, совершающая положительную работу, - сила тяги. И в конечном итоге именно за счет механических усилий, т.е. работы силы тяги, вырабатывается электроэнергия (по контуру ABCD течет ток и контур нагревается).

Составляющая силы Лоренца F2 обусловлена движением проводника со скоростью v2 (рис. 3.25). Поэтому F2 = ev2 B . Работа по перемещению одного электрона от одного полюса перемычки CD к другому A1 = F2 l = ev2Bl , работа по перемещению N электронов A = N A1 = Ne v2Bl = qv2Bl , где q = Ne − суммарный заряд, прошедший вдоль перемычки. Тогда ЭДС индукции (см. формулу (2.12)) εi = Aq = v2 Bl . Этот результат совпадает с результатом (3.32) примера 3.13, полученным формально из закона электромагнитной индукции.

Если движущаяся перемычка CD незамкнута, то индукционного тока не будет, но один из концов перемычки под действием силы Лоренца зарядится отрицательно, а другой положительно, т.е. между концами перемычки возникнет разность потенциалов, которая и будет равна ЭДС индукции, определяемой выражением (3.32). Можно сказать, что в этом случае движущаяся в магнитном поле перемычка будет представлять собой незамкнутую «батарейку». Небольшая разность потенциалов возникает, например, на концах крыльев самолетов, осей машин и т.п. при движении в магнитном поле Земли.

Таким образом, роль сторонних сил, вызывающих появление ЭДС индукции в случае движения контура или его части в магнитном поле играет сила Лоренца, или точнее её составляющая, направленная вдоль проводника. Именно сила Лоренца, например, действует на электроны во вращающемся в магнитном поле якоре, приводя к возникновению электродвижущей силы генератора. Можно сказать, что возникновение индукционного тока в случае движения контура или его частей не представляет собой принципиально нового физического явления. Похожим образом, например, объясняется эффект Холла, рассмотренный в п. 3.5.