Руководства к лабам и др физика / Методички_Общая физика / Электромагнетизм
.pdf
111
магнитный поток всегда прямо пропорционален току. Таким образом, можно записать:
Фсобств = L I , |
(3.23) |
где L − некоторый коэффициент пропорциональности. Этот коэффициент пропорциональности L между собственным магнитным потоком и током называется индуктивностью. В СИ индуктивность измеряется в Генри (Гн).
Индуктивность контура зависит от геометрических характеристик контура и магнитных свойств среды, в которой находится данный контур.
Рассчитаем, например, индуктивность длинного соленоида без сердечника. Магнитное поле внутри длинного соленоида (см. формулу (3.18) и пример 3.7)
B = μ0lNI ,
причем силовые магнитные линии параллельны оси соленоида. Следовательно, полный собственный магнитный поток соленоида
Фсобств |
= NBS |
= |
μ0 N 2S |
I . |
||
|
l |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Сравнение с формулой (3.23) дает: |
μ0N 2S |
|
|
|
|
|
L = |
. |
|
(3.24) |
|||
|
|
|||||
|
l |
|
|
|
|
|
В заключение отметим, что наличие ферромагнитного сердечника, безусловно, скажется на величинах магнитного поля и магнитного потока, пронизывающего витки соленоида. Это значит, что изменится и индуктивность. Этого вопроса мы еще коснемся в дальнейшем, а пока отметим, что причина зависимости индуктивности от вещества сердечника – намагниченность вещества. В результате вещество создает дополнительное магнитное поле, складывающееся с полем, создаваемым током, текущим по виткам соленоида.
3.10. Закон электромагнитной индукции
Пусть произвольный контур (может быть, с током) находится во внешнем магнитном поле. Тогда полный магнитный поток через этот контур будет складываться из магнитного потока от внешнего поля и собственного магнитного потока, обусловленного током в самом контуре:
Ф=Фвнеш+Фсобств. Сформулируем закон электромагнитной индукции. Всякий раз при изменении полного магнитного потока через произвольный контур в
112
контуре возникает электродвижущая сила, называемая электродвижущей силой индукции:
εi = − |
Ф |
, |
(3.25) |
|
t |
||||
|
|
t − время, за |
||
где Ф − изменение полного магнитного потока через контур, |
||||
которое произошло это изменение. Если контур проводящий, то ЭДС индукции приведут к возникновению индукционного тока Ii = εi 
R , где R − полное
сопротивление контура.
Уравнение (3.25) представляет собой математическую запись закона электромагнитной индукции Фарадея. Именно Фарадей, основываясь на многочисленных экспериментальных данных, полученных им же, вывел этот закон.
Понятие ЭДС всегда ассоциируется с некоторыми сторонними силами, которые, действуя на свободные заряженные частицы вещества, приводят к появлению тока. Так, в химических элементах, обсуждаемых в п.п. 2.16 и 2.17, действуют «химические» силы, стремящиеся привести систему окислитель – восстановитель в положение равновесия, в результате чего по цепи идет ток. Природу сторонних сил, приводящих к появлению ЭДС индукции, мы будем обсуждать отдельно в п. 3.15. А пока отметим, что уравнение (3.25) справедливо независимо от причин, вызывающих изменение полного магнитного потока, и независимо от природы сторонних сил, приводящих к появлению ЭДС индукции.
Вообще говоря, уравнение (3.25) определяет некоторое среднее за промежуток времени t значение ЭДС индукции. Переходя от конечных приращений потока и времени к очень (бесконечно) малым приращениям этих величин (дифференциалам) можно определить мгновенное значение ЭДС индукции:
εi |
= − |
dФ |
, |
(3.25,а) |
|
dt |
|||||
|
|
|
|
т.е. величина мгновенного значения электродвижущей силы индукции в контуре равна производной полного магнитного потока контура по времени.
Производную dФ
dt называют скоростью изменения магнитного потока. Учитывая, что полный магнитный поток представляет собой сумму внешнего и собственного потоков, получаем:
εi |
= − |
dФвнеш |
− |
dФсоб |
. |
(3.25,б) |
dt |
|
|||||
|
|
|
dt |
|
||
113
Слагаемое −d Фвнеш 
dt представляет собой ЭДС индукции,
возникающей за счет изменения внешнего магнитного потока через контур. Внешний магнитный поток (см. формулу (3.19)) может изменяться по трем причинам – вследствие изменения величины В, площади контура S или угла α . Обобщая, можно сделать вывод о том, что первое слагаемое ЭДС индукции обусловлено изменением внешнего поля во времени либо движением контура или его частей во внешнем магнитном поле. В простейшем опыте наблюдать явление электромагнитной индукции можно, приближая или удаляя один из полюсов магнита от проводящего кольца (рис. 3.18), либо, наоборот, кольцо удалять или приближать к магниту. При этом внешний магнитный поток через кольцо увеличивается или уменьшается, в кольце возникает ЭДС индукции и идет индукционный ток, о котором можно судить по отбросу стрелки гальванометра, если его включить в цепь. Отметим, что индуктивность одного витка очень мала. Поэтому, рассматривая данное явление, можно считать, что ЭДС индукции обусловлена лишь изменением внешнего поля, пренебрегая собственным полем кольца и не учитывая второе слагаемое в уравнении
(3.25,б).
Второе слагаемое в уравнении (3.25,б) называется ЭДС самоиндукции:
εS |
= − |
dФсоб |
= − |
d(LI ) |
. |
(3.26) |
dt |
|
|||||
|
|
|
dt |
|
||
Такое название связано с тем, что это слагаемое связано с изменением собственного магнитного потока контура. Согласно уравнению (3.23) изменение собственного магнитного потока может происходить за счет изменений тока в контуре или индуктивности контура. Если индуктивность контура не меняется с течением времени, то равенство (3.26) можно представить в виде:
|
Ii |
S |
N |
εS |
= −L dI |
Рис. 3.18. Схема опыта наблюдения |
|
dt |
индукционного тока |
(3.26,а)
В сущности, на рис. 3.18 представлен один из многочисленных опытов Фарадея. «Магнетизм превратить в электричество» − такова была основная цель, к которой стремился Фарадей в течение 10 лет (1821-1831 г.г.), веривший в эту идею. Главный вывод, который он сделал: электрический ток возникает при движении катушки и магнита относительно друг друга. Вскоре после
114
этого Фарадей создал первый генератор электрического тока. Его устройство и работу мы еще будем обсуждать в дальнейшем.
Пример 3.8. Плоский контур из проволоки с сопротивлением R =1 Ом и площадью S = 0,01 м2 находится в однородном внешнем магнитном поле, индукция которого перпендикулярна плоскости кольца. Индукция поля начинает равномерно изменяться со скоростью dB / dt = 0,01 Тл/с. Определить тепловую мощность, выделяющуюся в витке. Индуктивность витка очень мала.
Решение. При изменении внешнего магнитного поля на величину dB магнитный поток через контур изменяется на величину dФ = SdB (поскольку
вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости кольца |
α = 0 и |
||
cos α =1). Вследствие изменения |
магнитного потока в |
контуре |
возникает |
электродвижущая сила индукции εi |
= dФ dt = S (dB dt), |
по кольцу течет ток |
|
Ii = εi / R . При протекании тока кольцо нагревается. По закону Джоуля-Ленца тепло, выделяющееся в кольце за единицу времени или тепловая мощность (см. формулу (2.7))
P = Ii 2 R = εi2 / R = |
S 2 (dB / dt)2 |
=10−8 Вт. |
|
R |
|
Решая эту задачу, мы пренебрегли ЭДС самоиндукции из-за малой индуктивности витка.
3.11. Правило Ленца
Часто, выполняя расчеты в задачах на электромагнитную индукцию, знак минус, который фигурирует во всех формулах (3.25, 3.26), учитывать необязательно (см. пример 3.8). Что же означает этот знак? Знак минус в формулах (3.25, 3.26) отражает правило Ленца, позволяющее определить направление индукционного тока: индукционный ток, возникающий в результате электромагнитной индукции, всегда направлен так, чтобы препятствовать причине, его вызвавшей. Математически это правило означает,
что знаки ЭДС индукции и изменения потока противоположны: если магнитный поток увеличивается ( dФ > 0 ), то ЭДС индукции отрицательна, если магнитный поток уменьшается ( dФ < 0 ), то ЭДС индукции положительна.
Обратимся вновь к рис. 3.18 ( слева - ближняя сторона кольца). Ответим на два вопроса. Куда будет направлен индукционный ток в кольце? Как будут взаимодействовать кольцо с магнитом?
Опыт, изображенный на этом рисунке, можно описать различными способами. Для ответа на первый вопрос удобно считать, что причиной возникновения ЭДС индукции и индукционного тока в кольце является
115
увеличение магнитного потока через контур вследствие приближения магнита к контуру. Тогда собственное магнитное поле кольца, созданное индукционным током, должно препятствовать увеличению внешнего потока, т.е. собственное магнитное поле будет направлено против внешнего поля. Следовательно, по правилу буравчика ток в кольце потечет против часовой стрелки, если смотреть на кольцо справа. Если магнит удалять от кольца, то собственное магнитное поле кольца будет препятствовать уменьшению внешнего потока, т.е. направлено так же, как и внешнее поле. Значит, в этом случае индукционный ток потечет по часовой стрелке, если смотреть на кольцо справа.
Поскольку магнитное поле действует на движущиеся заряды или токи, очевидно, что поле магнита будет действовать на кольцо с индукционным током с некоторой силой. Для ответа на второй вопрос удобно причиной возникновения ЭДС индукции и индукционного тока в кольце считать просто приближение магнита к кольцу, т.е. уменьшение расстояния между магнитом и кольцом. В этом случае согласно правилу Ленца индукционный ток в кольце потечет таким образом, что появится противодействие этой причине, т.е. между кольцом и магнитом возникнут силы отталкивания. Понятно, что в случае увеличения расстояния между магнитом и кольцом возникнут силы притяжения. Советуем читателям поразмыслить над тем, как будет взаимодействовать магнит с кольцом в случае, если в кольце имеется разрез.
Рассмотрим еще один опыт, демонстрирующий правило Ленца (рис. 3.19). Подвесим между полюсами электромагнита маятник, нижняя часть которого представляет собой медную пластинку, и выведем его из положения равновесия. Что же будет происходить с маятником дальше? При движении маятника в медной пластинке возникнут индукционные токи, направления которых будет меняться. Причиной возникновения 
этих токов можно просто считать движение маятника. По правилу Ленца взаимодействие индукционных токов с магнитом должно препятствовать этой причине, т.е. движению маятника. Таким образом, колебания маятника будут затухать, подобно
колебаниям в вязкой жидкости. Замкнутые токи, возникающие в сплошных проводящих средах, называются
вихревыми токами или токами Фуко – по имени открывшего их французского ученого. Токи Фуко могут быть как вредными, так и полезными. Они возникают в сердечнике при любом изменении магнитного потока через витки катушки. Например, в сердечниках трансформаторов, вращающихся частей
116
генераторов и двигателей, токи Фуко вызывают бесполезное нагревание. Поэтому сердечники делают шихтованными, из тонких листов стали, разделенных тончайшими слоями диэлектрика. Прослойки диэлектрика пересекают возможные пути протекания вихревых токов и тем самым значительно их ослабляют. Для токов Фуко нашли и полезное применение. Они используются в индукционных печах для плавки металлов или приготовления пищи. При этом проводящее тело (металл или пища) фактически играет роль сердечника. Оно помещается внутрь катушки, по которой пропускается переменный ток высокой частоты, порождающий внутри катушки переменное магнитное поле. А далее «работает» закон электромагнитной индукции. Переменное магнитное поле вызывает появление индукционных токов Фуко, которые и разогревают проводящее тело.
В заключение отметим, что правило Ленца является лишь частным случаем более общего принципа Ле Шателье – Брауна: если систему, находящуюся в состоянии устойчивого равновесия, попытаться вывести из этого состояния при помощи какого-либо воздействия, то в системе возникнут процессы, стремящиеся ослабить результат этого воздействия. Иными словами, эти процессы всегда стремятся уничтожить причину, их вызвавшую. Приведем примеры.
Попытаемся слегка сместить рукой вертикально висящий маятник. Маятник будет давить на руку, стремясь возвратиться в исходное состояние.
Заключим газ в цилиндр, закрытый легким подвижным поршнем. В равновесии давление газа будет равно внешнему давлению. Если сместить поршень вверх, увеличивая объем газа, то давление газа упадет и станет меньше внешнего. Это будет служить препятствием для дальнейшего перемещения поршня вверх.
Внесем проводник в электрическое поле. В результате на каждый свободный заряд проводника будет действовать сила. Возникнет процесс перераспределения зарядов в проводнике таким образом, что электрическое поле внутри проводника исчезнет (см. п. 1.7), т.е. причина (электрическое поле) перераспределения зарядов будет уничтожена.
Пример 3.9. Катушка с сопротивлением R =1 Ом и индуктивностью Гн замкнута накоротко и находится в однородном внешнем магнитном поле. За некоторое время внешний магнитный поток возрастает на величину Фвнеш = 0,001 Вб за счет изменения внешнего поля, а ток достигает
значения I = 0,09А. Какой заряд прошел по катушке за это время?
Решение. При изменении магнитного потока в витках катушки индуцируется ЭДС εi = −dФ/ dt . Подчеркнем, что dФ − полное изменение
потока через витки катушки, включающее как изменение внешнего потока, так и изменение собственного потока (индуктивность по условию задачи не является пренебрежимо малой величиной). Индукционный ток, текущий по катушке,
117
Ii = εi / R = − RdФdt .
Заряд dq , прошедший по катушке за малый промежуток времени dt :
dq = Ii dt = −dRФ .
Полный заряд q , прошедший по катушке, найдется суммированием всех зарядов dq , другими словами интегрированием:
|
1 Ф2 |
Ф |
−Ф |
|
q = − |
|
Ф∫dФ = − |
|
2 R 1 . |
R |
|
|||
1 |
|
|
||
В начальный момент времени ток через катушку не шел, поэтому начальный полный поток через витки катушки равен начальному внешнему потоку Ф1 = Фвнеш. В конечный момент времени по катушке идет ток I , следовательно полный поток складывается из внешнего и собственного, равного по величине L I . Причем, по правилу Ленца собственное магнитное поле катушки направлено против внешнего, поскольку внешний поток возрастает. Поэтому собственный поток ослабляет внешний и полный поток в конечный момент Ф2 = Ф2внеш − L I . Таким образом:
q = − |
(Ф2внеш − L I ) −Ф1внеш |
= − |
Фвнеш − L I |
= −10−4 Кл. |
|
R |
|||
|
R |
|
||
Знак минус в ответе означает, что индукционный ток шел таким образом, что собственное магнитное поле было направлено против внешнего поля.
Пример 3.10. Сверхпроводящее кольцо сечением S и индуктивностью L вносят в однородное магнитное поле с индукцией Втак, что линии магнитного поля перпендикулярны плоскости кольца. Какой ток потечет по кольцу?
Решение. При внесении магнитное поле за некоторое время t в кольце возбуждается индукционный ток
|
Ii = εi / R = − |
Ф |
, |
|
|
R t |
|||
|
|
|
|
|
откуда следует Ф = −Ii R |
t . Поскольку контур сверхпроводящий R = 0, а |
|||
значит изменение полного |
потока |
Ф = 0 . |
Другими словами, полный |
|
магнитный поток через сверхпроводящее кольцо не изменяется, т.е. сохраняется. Начальный магнитный поток Ф1=0 (кольцо находилось вне пределов магнитного поля, и ток в кольце отсутствовал), а конечный магнитный поток складывается из внешнего потока BS ( cosα =1, поскольку
118
линии поля перпендикулярны плоскости кольца) и собственного потока ( L I ): Ф2 = BS − L I . Причем, по правилу Ленца собственный поток направлен против внешнего (внешний поток возрастает), поэтому собственный поток взят
со знаком минус. Так |
как полный поток |
сохраняется, то |
Ф1=Ф2 или |
0 = BS − L I , откуда I = BS / L . |
|
теоремы о |
|
В примере 3.10, |
по сути, обсуждается |
частный случай |
|
сохранении магнитного потока: при движении идеально проводящего замкнутого провода в магнитном поле остается постоянным полный магнитный поток, пронизывающий контур провода. По отдельности внешний и собственный потоки через сверхпроводящий контур могут меняться, но их сумма остается неизменной. Такое сохранение обусловлено индукционными токами, которые согласно правилу Ленца препятствуют всякому изменению магнитного потока.
Анализ формулы Ф = −Ii R t (см. решение примера 3.10) показывает,
что даже если сопротивление контура отлично от нуля, но изменения внешнего поля будут происходить очень быстро ( t → 0 ), то изменение магнитного потока за столь малое время опять таки равно нулю, т.е. магнитный поток не может измениться слишком резко. Рассмотрим еще один пример.
Пример 3.11. Кольцо с сопротивлением R , сечением S и индуктивностью L первоначально находится в однородном магнитном поле с индукцией В так, что линии магнитного поля перпендикулярны плоскости кольца. Внешнее поле очень быстро убирают. Какой ток потечет по кольцу сразу после выключения внешнего поля?
Решение. Поскольку внешнее поле убирают практически мгновенно, полный поток через кольцо не успевает измениться за столь малое время, т.е. сохраняется. Первоначально ток по кольцу не идет, и полный магнитный поток через кольцо представляет собой поток внешнего поля Ф1 = BS . После
выключения внешнего поля внешний поток становится равен нулю, зато появляется индукционный ток в кольце, т.е. собственный поток. Значит, сразу после выключения внешнего поля полный поток через кольцо представляет собой собственный поток кольца Ф2 = L I . Так как полный поток сохраняется,
то Ф1 = Ф2 или BS = L I , откуда ток сразу после выключения поля I = BS / L . В дальнейшем этот ток с течением времени будет уменьшаться из-за наличия сопротивления и приближаться к нулю тем быстрее, чем больше величина R .
3.12. Явления при замыкании и размыкании тока. Энергия магнитного поля
Явления при замыкании и размыкании тока обусловлены индуктивностью цепи или самоиндукцией. Пусть, например, в цепь с аккумулятором включена катушка. Если каким-либо образом изменять ток в
119
цепи, то собственный магнитный поток через катушку будет изменяться, и в цепи, помимо ЭДС аккумулятора, начнет действовать электродвижущая сила самоиндукции, которая по правилу Ленца будет препятствовать изменению питающего катушку тока. При этом удобно считать, что в дополнение к питающему току аккумулятора пойдет ток, вызванный ЭДС самоиндукции. Этот ток называется экстратоком или индукционным током. По правилу Ленца индукционный ток должен препятствовать причине (изменению начального тока в катушке), его вызвавшей. Следовательно, при увеличении тока в цепи индукционный ток потечет навстречу, а при уменьшении – в том же направлении, что и первичный ток.
Разберем явления, возникающие при замыкании и размыкании цепи. При замыкании цепи ток возрастает с нуля. Навстречу начинает течь индукционный ток (экстраток замыкания), который препятствует этому возрастанию. Поэтому ток в цепи достигает своего постоянного значения не сразу, а лишь через некоторое время, зависящее от величины индуктивности. Наоборот, при размыкании цепи ток исчезает не сразу, так как некоторое время течет экстраток размыкания, направленный так же, как и первичный ток. Отметим, что при резком размыкании цепи при определенных условиях величины ЭДС самоиндукции и экстратока размыкания могут быть велики, и превышать ЭДС источника величину тока, текущего до размыкания цепи. Поэтому на предприятиях для того, чтобы не повредить электрооборудованиеие, напряжение отключают не сразу, а понижают до нуля постепенно.
|
Теперь рассмотрим количественную оценку этого явления. Цепь, |
|||||||||||||
состоящая |
из источника |
постоянного |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
тока |
с |
ЭДС |
ε, |
катушки |
с |
|
L |
R |
|
|||||
индуктивностью |
L и |
сопротивления, |
|
|
|
|
|
|||||||
представлена на рис. 3.20. Полное |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
сопротивление |
цепи |
|
(с |
учетом |
|
|
|
|
|
|
I |
|||
сопротивления |
обмотки |
катушки, |
|
|
ε |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
внутреннего сопротивления источника) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
обозначим R . При замыкании ключа К |
|
|
|
|
K |
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
в первый момент помимо ЭДС ε в цепи |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
действует также ЭДС самоиндукции εs. |
|
Рис. 3.20. Модельная схема |
|
|||||||||||
По закону Ома сила тока I = (ε+εs ) |
R . |
|
для расчета экстратока замыкания |
|||||||||||
Учитывая формулу (3.26, а), получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
дифференциальное уравнение относительно функции I (t) : |
|
|
|
|||||||||||
|
|
I = |
ε− L (dI / dt) |
|
dI |
+ RI = ε. |
|
|
|
|||||
|
|
|
R |
|
|
|
L dt |
|
|
|
||||
Общее решение этого уравнения имеет вид
120
I(t)= C exp - R t + ε .L R
Величина константы С определяется из начального условия, показывающего, что в момент замыкания (при t = 0 ) ток равен нулю. В итоге получим, что C = −ε/ R , и сила тока:
I(t) = |
ε |
(1−exp(−t /τ)), |
(3.27) |
|
R |
||||
|
|
|
||
где τ = L R − постоянная, имеющая размерность времени |
и называемая |
|||
временем установления тока. Из формулы (3.27) видно, что полный ток состоит из двух слагаемых. Слагаемое −(ε
R)(exp(−t / τ) представляет собой экстраток замыкания. По прошествии достаточно большого времени экстраток замыкания становится очень малым, т.е. при t → ∞ остается лишь второе слагаемое ε/ R , представляющее собой величину постоянного установившегося тока. Итак, ток в цепи устанавливается постепенно. Время установления определяется величиной τ , зависящей от индуктивности и сопротивления цепи. Величина τ по сути представляет собой время, за которое экстраток замыкания уменьшается в е раз. В качестве упражнения предоставляем читателям самостоятельно построить графики зависимостей по формулам (3.27),
(3.29).
Исследуем процесс размыкания цепи, представленной на рис. 3.21. Общий ток в цепи распределяется между катушкой с сопротивлением и индуктивностью r и L и сопротивлением R . Сопротивление источника тока будем считать очень малым. При замкнутом ключе ток, текущий через катушку
I0 = ε/ r . При размыкании ключа ток
R
L, r
I0
ε
K
в замкнутом контуре катушки и сопротивления падает до нуля не сразу, поскольку в контуре начинает действовать поддерживающая ток ЭДС самоиндукции. Согласно закону Ома величина тока в контуре I = εs / R . Применяя формулу (3.26,а), получим:
I = − |
L ( dI / dt ) |
. |
|
||
|
R |
|
|
(3.28) |
|
Рис. 3.21. Модельная схема для расчета экстратока размыкания
Отсюда следует дифференциальное уравнение