Руководства к лабам и др физика / Методички_Общая физика / Электромагнетизм

В случае, когда длина соленоида намного превосходит его радиус ( ϕ1 →0 ,

ϕ2 →0 ),

Формула (3.18) еще будет выведена в дальнейшем с помощью теоремы о циркуляции для магнитного поля. Будет показано, что магнитное поле внутри «длинных» соленоидов однородно, так, что формулу (3.18) можно использовать для расчета поля в любой точке внутри соленоида, а не только на его оси.

Рис. 3.13. Картина силовых линий магнитных полей прямого проводника (а), витка (б), соленоида (в) и полосового магнита (г).

На рис. 3.13 показаны силовые линии магнитных полей прямого провода, витка с током, соленоида и полосового магнита.

Во-первых, обратим внимание на то, что силовые линии магнитного поля всегда замкнуты. Вектор магнитной индукции направлен по касательной к линиям (рис. 3.13, а, б) в сторону, указываемую направлением стрелки на силовой линии.

102

В случае прямого тока (рис. 3.13, а) силовые линии представляют собой коаксиальные окружности с центрами на оси тока. Направление магнитной индукции в любой точке можно определить из закона Био-Савара- Лапласа, записанного в векторном виде (формула 3.12, б). Кроме того, для определения направлений силовых линий существует простое правило, называемое правилом буравчика или правого винта: при вращении буравчика в направлении силовых линий его поступательное движение совпадает с направлением тока.

В случае витка с током (рис. 3.13, б) или соленоида (рис. 3.13, в) направление магнитной индукции на оси витка или соленоида тоже можно определить по правилу буравчика. Направление магнитной индукции совпадает с направлением поступательного движения буравчика при его вращении по току.

Отметим, что картина силовых линий магнитного поля соленоида абсолютно идентична картине силовых линий полосового магнита (рис. 3.13, г). Концы соленоида тоже называют северным и южным полюсами. Силовые магнитные линии во внешнем пространстве соленоида или магнита идут от северного полюса к южному, а во внутреннем пространстве – наоборот.

3.7. Циркуляция и поток вектора магнитной индукции

Циркуляция и поток вектора магнитной индукции (как и любого вектора вообще) определяются так же, как и для вектора напряженности

электрического поля. G

Циркуляцией по отрезкуG G прямой l однородного поля B называется

скалярное произведение: (B,l )= Bl cosα , где α − угол между векторами B и lG.

Рассмотрим участок L произвольной направленной кривой. Разобьем этот участок на мелкие отрезки l , направленные так же, как и сама кривая. Тогда, циркуляцией вектора B по участку кривой L называется

криволинейный интеграл ∫(B,dl ), который представляет собой предел суммы

L

при делении кривой на бесконечно малые отрезки:

104

где ∑Ii − алгебраическая сумма токов, пронизывающих произвольную

i

поверхность, натянутую на контур, по которому вычисляется циркуляция. Направление обхода контура и направление нормали к натянутой на него поверхности связаны правилом буравчика. Если ток идет по направлению нормали, то его следует считать положительным, если наоборот – отрицательным.

Например, циркуляция вектора магнитной индукции по контуру L , изображенному на рис. 3.14, равна μ0 (I1 + I2 − I3 ).

Теорема о потоке вектора магнитной индукции. Поток вектора магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю:

Смысл этой теоремы в том, что источниками электрического поля являются электрические заряды. Они и создают поток вектора напряженности электрического поля. Силовые линии начинаются на зарядах и обрываются на них же. А смысл теоремы о потоке вектора магнитной индукции в том, что магнитных зарядов в природе не существует. Поэтому магнитные силовые линии нигде не начинаются и не заканчиваются, они замкнуты. Это и означает, что поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю (сколько линий войдет внутрь поверхности, столько и выйдет).

Циркуляция вектора напряженности электрического поля по любому замкнутому контуру равна нулю (уравнение 1.34):

∫(E,dl ) = 0 .

L

105

Смысл этого уравнения в том, что электрическое поле, созданное любой системой зарядов, является полем потенциальным (подробнее см. п. 1.12). Электрическое поле, помимо напряженности − силовой характеристики, имеет еще и энергетическую характеристику – потенциал. Теорема о циркуляции для вектора магнитной индукции говорит о том, что источниками магнитного поля являются электрические токи (по сути, движущиеся электрические заряды),

которые и создают циркуляцию вектора B . Кроме того, поскольку циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру может быть отлична от нуля, магнитное поле – поле непотенциальное. Поля с замкнутыми силовыми линиями называют вихревыми или соленоидальными. Таковым и является магнитное поле.

Приведем несколько примеров на применение теоремы о циркуляции для магнитного поля.

Пример 3.6. Определить магнитное поле, создаваемое прямым бесконечно длинным проводником с током I .

Решение. В качестве произвольного замкнутого контура L выберем окружность с радиусом R , центр которой находится на оси провода (такой контур совпадет с одной из силовых линий – см. рис. 3.13, а). В данном случае

скалярное произведение (B,dl )= Bdlcos 00 = Bdl . Поскольку контур

пронизывается всего одним током I , по теореме о циркуляции для магнитного поля получаем:

∫Bdl = μ0 I .

L

Величина вектора BG одинакова во всех точках контура, следовательно, её, как постоянную, можно вынести за знак интеграла:

B∫dl = μ0 I .

L

Интеграл ∫dl = 2πR представляет собой просто длину контура L . Таким

L

образом,

B 2πR =μ0I ,

откуда находим величину магнитного поля на расстоянии R от провода:

B = μπ0I .

2 R

106

Последнее выражение в точности совпадает с результатом, полученным в примере 3.3 (см. формулу 3.14) из закона Био-Савара-Лапласа.

Отметим, что формулой 3.14 можно пользоваться и в случае проводника конечных размеров при расчете поля приблизительно напротив центральной части проводника в точках, отстоящих от него на расстояниях, гораздо меньших длины проводника.

Пример 3.7. Найти магнитное поле внутри соленоида длиной l , с числом витков N и током I .

Решение. В качестве контура обхода выберем прямоугольный контур АСDЕ (см. рис. 3.15) так, что отрезок АС приблизительно лежит в средней части соленоида, а отрезок DЕ удален на большое расстояние от соленоида. По теореме о циркуляции для магнитного поля имеем:

∫ (BG,dlG)= ∫ (BG,dlG)+ ∫ (B,dl )+ ∫ (B,dl )+ ∫(B,dl )= μ0 ∑Ii .

ACDE AC CD DE EA i

Помещая небольшую магнитную стрелку в различные точки пространства, можно показать, что магнитное поле в средней части соленоида как снаружи, так и внутри, направлено параллельно оси соленоида. Следовательно, на отрезках контура СD и ЕA скалярное произведение

(B,dl )= Bdlcos 900 = 0 ,

а по отрезку АС:

∫ (B,dl )= ∫Bdl = B ∫dl = B AC

(здесь величина вектора магнитной индукции вынесена за знак интеграла, поскольку она должна быть постоянна на отрезке АС из-за осевой симметрии системы). На большом расстоянии от соленоида величина магнитной индукции близка к нулю, поэтому и циркуляция магнитного поля по отрезку DЕ равна нулю:

108

статора исполняют якорь и индуктор. На проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера. Очевидно, именно она и вращает или перемещает

Формула (3.22) получена нами в частном случае. Отметим, однако, что можно строго доказать справедливость этой формулы и для любого контура с постоянным током при произвольном его перемещении или деформации в неоднородном постоянном поле. Например, формулой (3.22) можно воспользоваться при вычислении работы магнитного поля (или другими словами работы силы Ампера), совершаемой при повороте рамки с постоянным током в однородном магнитном поле:

A = I Ф = I (Ф2 − Ф1 )= I (BS cos ϕ2 − BS cos ϕ1 )= ISB(cos ϕ2 − cos ϕ1 ),

где ϕ1 и ϕ2 − углы, которые составляет нормаль к плоскости рамки с направлением вектора магнитной индукции в начальном и конечном положении. Учитывая, что магнитный момент рамки pm = IS , получим:

A = pmB(cosϕ2 −cosϕ1).

на каждый электрон в проводе. Именно сумму всех сил F1 мы называли силой Ампера при выводе формулы для работы, совершаемой магнитным полем по перемещению якоря двигателя (формула (3.22)). Составляющая F2 тормозит электGроныGи совершает отрицательную работу. В результате суммарная работа сил F1 и F2 , т.е. работа силы Лоренца, как и полагается, равна нулю.

Работа силы F2 привела бы к остановке электронов и прекращению тока,

если бы еще одну положительную работу не совершал источник тока. Напряжение источника поддерживает ток в проводе, несмотря на торможение,

вызванное силой F2 и наличие сопротивления провода. В результате, в

конечном счете, электродвигатель работает за счет энергии источника тока. За счет работы источника совершается механическая работа (вращается ротор) и

110

нагревается обмотка электродвигателя. Закон сохранения энергии для электродвигателя можно записать следующим образом:

Аист = Q + Амех ,

где Аист =qε = Iε t − работа источника тока с ЭДС ε, Q = I 2 R t − тепло, выделяющееся в обмотке ( R – общее сопротивление цепи), Aмех = I Ф− механическая работа, равна работе силы Ампера (составляющих силы Лоренца F1 ). Получим:

Таким образом, сила тока, текущая через якорь электродвигателя, определяется выражением:

Этот результат можно трактовать так: при изменении магнитного потока,

дополнительную ЭДС называют ЭДС индукции и обозначают εi . В итоге можно записать

Об ЭДС индукции и причинах её возникновения пойдет речь в последующих разделах.

3.9. Индуктивность

Пусть в некотором контуре течет ток I . Этот ток создает в окружающем пространстве магнитное поле. Силовые линии магнитного поля пронизывают данный контур и создают магнитный поток. Магнитный поток через контур, созданный током самого контура называется собственным магнитным потоком контура. Величина магнитного поля, создаваемого каждым небольшим элементом контура согласно закону Био-Савара-ЛапласаG прямо

пропорциональна току I . Следовательно, магнитная индукция B в каждой точке пространства прямо пропорциональна току, а значит и собственный