Руководства к лабам и др физика / Методички_Общая физика / Электромагнетизм

91

MCD = FA a2 sin α = IBb a2 sin α, M AE = FA a2 sin α = IBb a2 sin α .

Суммарный вращательный момент, действующий на рамку:

M = M CD + M AE = IBba sin α .

Площадь рамки S = ab, тогда:

Введем характеристикуG рамки с током, называемую магнитным моментом рамки pm , направленным вдоль нормали n и равным

Направление нормали к плоскости рамки определяется направлением движения буравчика при вращении его по току.

Момент сил, действующих на рамку с током можно представить в виде:

небольших отклонениях рамка будет стремиться вернуться в положение равновесия). Во втором случае вектора pm и B антипараллельны. Это

неустойчивое положение равновесия (малейшее отклонение от этого положения приведет к развороту рамки на 1800).

Отметим, что полученные выражения (3.8,а) и (3.8,б) справедливы и для катушки с током (соленоида) во внешнем магнитном поле. В этом случае pm = NIS − магнитный момент катушки, где N − число витков катушки.

Поведение рамки с током в магнитном поле аналогично поведению магнитной стрелки компаса. Магнитное поле ориентируетG северный полюс

стрелки вдоль направления вектора магнитной индукции B . Это устойчивое положение равновесия стрелки. В случае рамки с током по направлению B ориентируется магнитный момент pm (или нормаль к плоскости рамки n ).

92

Если проводить параллели с электричеством, то свойства рамки с током во многом аналогичны свойствам электрического диполя (см. п. 1.8 и рис. 1.18 и 1.19). Напомним, что диполь – это система из двух точечных зарядов + q и

− q , находящихся на расстоянии l друг от друга. Дипольным моментом

называется векторная величина pG = ql . Вектор l , а вместе с ним и p,

направлены от отрицательного заряда к положительному. Можно легко доказать, что на электрический диполь, находящийся в однородном

электрическом поле с напряженностью E , действует вращательный момент:

M = qEl sin α = pE sin α .

ВGустойчивом положении равновесия дипольный момент p параллелен вектору E , а в неустойчивом положении равновесия вектора p и E антипараллельны.

Аналогия между дипольным и магнитным моментом играет важную роль при описании диэлектрических и магнитных свойств вещества. При помещении диэлектрика в электрическое поле (см. п. 1.8) дипольные моменты молекул ориентируются в направлении поля. Этот процесс называется поляризацией диэлектрика и объясняет уменьшение напряженности электрического поля в диэлектрике по сравнению с полем в вакууме. Похожим образом происходит процесс намагничивания парамагнетиков, приводящий к усилению магнитного поля в веществе. Нужно немного воображения для того, чтобы молекулы или атомы рассматривать как маленькие рамки с токами. Токи создаются движением электронов вокруг ядер. Таким образом, молекулы и атомы могут обладать собственными магнитными моментами, которые ориентируются по внешнему магнитному полю. Этот процесс и есть намагничивание. Мы еще будем рассматривать его в п.п. 3.16 - 3.18.

В неоднородном магнитном поле на виток с током, помимо момента, будет действовать еще и результирующая сила. Приведем выражение для этой силы без вывода:

Предполагается, что ось x направлена вдоль вектора pm .

3.5. Эффект Холла

Поместим проводник с током в магнитное поле B , перпендикулярное направлению тока. На движущиеся упорядоченно со средней скоростью v свободные электроны внутри проводника действуют силы Лоренца. Эти силы

93

Лоренца, как нам уже известно, в совокупности дают силу Ампера. Внутри проводника, однако, возникает еще одно любопытное явление.

Поскольку на электроны действует сила Лоренца (рис. 3.7, а), они начинают смещаться к верхней границе проводника. В результате на верхней границе проводника накапливается отрицательный электрический заряд. Соответственно на нижней границе будет накапливаться положительный электрический заряд, поскольку проводник в целом электронейтрален. Процесс накопления зарядов быстро прекратиться, так что очень малая часть всех свободных электронов успеет скопиться на границе. Действительно, накопление зарядов на границе проводника приводит к появлению внутри

проводника поперечного электрического поля E (рис. 3.7, б). Со стороны

этого поля на электроны будет действовать сила Fэл, противоположная по

направлению силе Лоренца. Когда две силы станут равными по величине, движение электронов к границе проводника прекратится. Электроны будут двигаться вдоль проводника.

Итак: при помещении проводника с током в магнитное поле внутри проводника возникает электрическое поле, направленное перпендикулярно направлению тока и магнитному полю. Это явление и называется эффектом Холла. Отметим, что явление накопления электрических зарядов на границе проводника с током в магнитном поле, в сущности, объясняет происхождение или механизм действия силы Ампера на проводник с током. В п. 3.3 сила Ампера рассматривалась как сумма всех сил Лоренца, действующих на отдельные свободные электроны проводника. Но как эта сила передается самому проводнику, его кристаллической решетке? Ведь электроны свободные и не взаимодействуют с кристаллической решеткой, а значит, не могут оказать на нее никакого воздействия! По сути «передатчиком» силы Ампера и служит ничтожная доля электронов, скапливающихся на границе проводника.

Вычислим разность потенциалов, возникающую между боковыми границами проводника UХ − холловскую разность потенциалов. Процесс

94

накопления зарядов прекращается, когда электрическая сила уравновесит силу Лоренца:

FЛ = Fэл evB = eE E = vB .

Тогда получаем: UX = E d = vBd , где d − толщина проводника.

Среднюю скорость упорядоченного движения электронов (дрейфовую скорость) можно выразить через силу тока I , концентрацию свободных электронов n и площадь поперечного сечения проводника S (см. уравнение

(2.23)):

Анализируя эту формулу, можно понять основные возможности применения эффекта Холла.

Эффект Холла можно использовать для измерения индукции магнитного поля. В этом случае изготавливают проводник небольшого размера, который

называется датчиком Холла. Измеряют зависимость между UХ и произведением (IB) для какого-то известного (эталонного) магнитного поля,

определяя тем самым коэффициент пропорциональности d(enS) между этими величинами для данного датчика. Затем, помещая датчик Холла в различные точки исследуемого поля, измеряют ток, холловскую разность потенциалов UХ , и по этим данным вычисляют индукцию магнитного поля B .

Важнейшую роль эффект Холла играет при исследовании физических свойств проводящих материалов. Измеряя величины U Х , B и I , можно вычислить такую важную характеристику, как концентрация свободных зарядов n. Оказалось, что у металлических проводников примерно на один атом приходится один электрон проводимости. У полупроводников концентрация свободных зарядов значительно меньше – примерно на миллион атомов приходится один свободный электрон. Кроме того, оказалось, что заряд свободных носителей некоторых полупроводников положительный! Такое впечатление, что в таких полупроводниках ток обусловлен движением «положительно заряженных электронов». Эффект Холла в таких полупроводниках называется аномальным. На самом деле, оказалось, что аномальный эффект Холла соответствует случаю дырочной проводимости.

98

d(tg β)= R1 dx cosdβ2β = R1 dx dx = cosRd2ββ .

Таким образом, для поля элемента dx получим:

Осталось выразить через β переменную r : r = Rcosβ. Следовательно:

Теперь интегрируем, учитывая, что все элементы находятся в пределах углов β от −β1 (крайний нижний элемент) до β2 (крайний верхний элемент):

Частным случаем формулы (3.13) является поле бесконечно длинного прямого провода на расстоянии R от него ( α1 → 0 , α2 →1800 ):

Пример 3.4. Магнитное поле в центре кругового тока. Найти магнитную индукцию, создаваемую круговым витком радиуса R с током I в центре витка.

Решение. Разобьем виток на малые элементы dl (рис. 3.11). Длину каждого элемента выразим через радиус витка R и соответствующий

центральный угол dϕ: dl = Rdϕ. Тогда, согласно уравнению (3.12, а),

99

магнитное поле, создаваемое одним элементом тока в центре витка ( r = R ,

α = 900 ):

Индукция магнитного поля от каждого элемента в центре витка направлена вверх. Значит, для того, чтобы найти результирующее магнитное поле, нужно сложить величины полей всех элементов или проинтегрировать полученное выражение в пределах углов от 0 до

IСогласно уравнению (3.12,а) магнитное поле, создаваемое одним элементом

общее магнитное поле от отдельных элементов направлены в разные стороны, поэтому суммировать модули векторов dB нельзя.

100

Поскольку результирующий вектор B будет направлен вдоль оси y , он

ответ можно представить в виде:

Величина i называется поверхностной плотностью тока. Она определяется для токов, текущих по некоторым поверхностям. Поверхностная плотность тока − это сила тока, приходящаяся на единицу длины

отрезка, перпендикулярного направлению тока. В нашем случае можно считать,

плотность тока i = NIl . Формулу (3.17) можно переписать в виде: