ТКз-12 (Общая теория связи, часть 1) / 04
.pdf1
2.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИГНАЛОВ И ПОМЕХ
2.1.Общий подход к математическому описанию сигналов
Для анализа и синтеза информационных систем (в частности систем
электросвязи) необходимо знать не только |
характеристики этих |
систем |
в виде операторов, но и математические модели сигналов. |
|
|
Сущность большинства задач анализа |
реальных сигналов |
состоит |
в том, чтобы эти сигналы представить как совокупность элементарных сигналов в виде, удобном для последующего анализа их прохождения через те или иные цепи. Например, реальный сигнал может быть представлен в виде суммы ортогональных составляющих (элементарных сигналов)
∞
S(t) = ∑ak ψk (t ), t [t1, t2 ] (2.1)
k =0
многими способами. Интервал [t1, t2] показывает время действия сигнала. Так как система ортогональных функций {ψk(t)}, применяемая для разложения, заранее известна, то сигнал полностью определяется набором весовых коэффициентов ak, k = 1, 2, ... для этих функций. При приближенном представлении сигналов, что всегда имеет место в инженерной практике, набор чисел {ak} конечен. Такие наборы чисел называют спектрами сигналов.
Спектры, как известно из теории связи, являются удобной аналитической формой представления сигналов в рамках линейной теории. Основная задача – правильный выбор системы ортогональных функций (базиса), удобной для последующего анализа прохождения сигнала через те или иные цепи и каналы связи.
Совокупность методов представления сигналов в виде (2.1) называ-
ют обобщенной спектральной теорией сигналов.
Представление (2.1) является разложением сигнала по системе базисных функций. К системе базисных функций предъявляют следующие основные требования: для любого сигнала ряд должен сходиться, функции ψk(t) должны иметь простую аналитическую форму, коэффициенты ak должны вычисляться относительно просто. Этим трем условиям удовлетворяют системы ортогональных функций. Условие ортогональности нормированной базисной функции имеет вид
t2 |
ϕi (t )ϕk (t)dt = δik , |
|
|
∫ |
(2.2) |
||
t1 |
|
0,i ≠ k, |
|
где δik – символ Кронекера, δik |
|
||
= |
|
||
|
|
1,i = k. |
|
Систему {φ(t)} называют ортонормированной.
2
Для детерминированных сигналов наибольшее распространение получили методы спектрального анализа, использующие преобразования Фурье. В этих методах в роли ψk(t) выступают гармонические функции, а роль коэффициентов ak играют амплитуды гармоник.
Важное значение гармонических сигналов для техники связи обусловлено рядом причин. В частности:
1.Гармонические сигналы инвариантны относительно преобразований, осуществляемых стационарными линейными электрическими цепями. Если такая цепь возбуждена источником гармонических колебаний, то сигнал на выходе цепи остается гармоническим с той же частотой, отличаясь от входного сигнала лишь амплитудой и начальной фазой.
2.Техника генерирования гармонических сигналов относительно
проста.
Кроме гармонического сигнала, для анализа характеристик цепей
втехнике связи используют еще две очень важные функции: дельтафункцию и функцию единичного скачка.
Дельта-функция δ(t), или функция Дирака, представляет собой бес-
конечно узкий импульс с бесконечной амплитудой, расположенный при нулевом значении аргумента функции. «Площадь» такого импульса тем не менее равна единице:
0,t ≠ 0,
δ(t) =
∞,t = 0,
∞
∫δ(t)dt =1.
−∞
(2.3)
(2.4)
s(t) |
2δ(t–1) |
|
Разумеется, сигнал в виде дельта- |
|
|
функции невозможно реализовать физически, |
|
|
|
|
однако эта функция очень важна для теорети- |
δ(t) |
|
|
ческого анализа сигналов и систем. На графи- |
|
|
ках дельта-функция обычно изображается жир- |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
t |
ной стрелкой, высота которой пропорциональна |
множителю, стоящему перед дельта-функцией |
|||
Рис. 2.1. График сигнала |
(рис. 2.1). |
||
|
s(t) = δ(t) + 2δ(t – 1) |
|
Одно из важных свойств дельта-функции– |
|
|
так называемое фильтрующее свойство. Оно |
|
|
|
|
|
состоит в том, что если дельта-функция присутствует под интегралом в качестве множителя, то результат интегрирования будет равен значению остального подынтегрального выражения в той точке, где сосредоточен дель- та-импульс:
∞∫ f (t)δ(t −t0 )dt = f (t0 ). |
(2.5) |
−∞ |
|
3 |
|
|
Из того факта, что интеграл от дельта-функции дает безразмерную |
||
единицу, следует, что размерность самой дельта-функции обратна размер- |
||
ности ее аргумента. Например, дельта-функция времени имеет размер- |
||
ность 1/с, т. е. размерность частоты. |
|
|
Функция единичного скачка σ(t), она же функция Хевисайда, она же |
||
функция включения, равна нулю для отрицательных значений аргумента |
||
и единице – для положительных. При нулевом значении аргумента функ- |
||
цию считают либо неопределенной, либо равной 1/2: |
|
|
0,t < 0, |
|
|
|
|
(2.6) |
σ(t) = 1/ 2,t = 0, |
|
|
|
|
|
1,t > 0. |
|
|
График функции единичного скачка приведен на рис. 2.2. |
|
|
Функцию единичного скачка σ(t) |
σ(t) |
|
удобно использовать при создании мате- |
|
|
|
|
|
матических выражений для сигналов ко- |
1 |
|
нечной длительности. Простейшим при- |
|
|
мером является формирование прямо- |
|
|
угольного импульса с амплитудой А и |
0 |
t |
длительностью Т: s(t) = A(σ(t) – σ(t – T)). |
||
Вообще любую кусочно-заданную зави- |
Рис. 2.2. Функция единичного скачка |
|
симость можно записать в виде единого |
||
математического выражения с помощью |
|
|
функции единичного скачка. |
|
|
Для случайных сигналов наибольшее распространение получили ме- |
||
тоды корреляционного и спектрального анализа, основанные на преобра- |
||
зовании Хинчина–Винера. Эти преобразования являются результатом рас- |
||
пространения метода Фурье на случайные процессы. При разложении слу- |
||
чайных процессов коэффициенты аk являются случайными величинами, а |
||
оптимальные базисы определяются через корреляционные функции этих |
||
процессов. |
|
|
К задачам синтеза сигналов относят задачи определения формы сиг- |
||
налов (структурный синтез) и задачи определения параметров сигналов из- |
||
вестной формы (параметрический синтез). |
|
|
2.2.Частотное представление сигналов
Вчастотном виде могут представляться как периодические, так и непериодические детерминированные сигналы. Строго говоря, в реальных условиях периодические сигналы не существуют, так как идеальный периодический сигнал бесконечен во времени, а всякий реальный сигнал
4
имеет начало и конец. Однако во многих случаях конечностью времени действия сигнала можно пренебречь и для анализа допустимо использовать аппарат, пригодный для идеальных периодических сигналов.
Спектры периодических сигналов. Простейшим периодическим сигналом является гармоническое колебание (тока, напряжения, заряда, напряженности поля), определяемое законом
s(t )= Acos |
2πt −ψ |
|
= Acos(ω t −ψ) |
(2.7) |
|
|
|
1 |
|
T |
|
|
|
|
при −∞ < t < +∞. Здесь А, Т, ωl, ψ – постоянные амплитуда, период, частота и фаза.
Указание этих параметров, образующих спектр гармонической функции, и будет ее частотным представлением.
Обычно прибегают к графическому изображению спектра. По оси абсцисс наносятся частоты, по оси ординат – амплитуды и фазы. Для удобства вычерчиваются два графика, представляющих амплитудный и фазовый спектры соответственно. Очевидно, что для гармонического сигнала каждый из этих спектров изобразится единственной точкой. График становится более наглядным, если из указанной точки опустить на ось частот перпендикуляр, который будет изображать так называемую спектральную линию.
Гармонический сигнал находит широкое применение на практике, в частности, при регулировке устройств обработки информации и снятии их амплитудных и частотных характеристик.
Произвольный детерминированный сигнал определяется как некоторая заданная функция времени x(t). В настоящее время в большинстве случаев произвольный детерминированный сигнал представляется в виде надлежащим образом выбранной совокупности элементарных сигналов. Основой для такого рассмотрения являются ряды Фурье.
Итак, любой сложный периодический сигнал может быть представлен в виде суммы элементарных гармонических сигналов, действующих при −∞ < t < +∞.
Пусть заданная на интервале t1 ≤ t ≤ t2 функция s(t) периодически по-
вторяется с частотой ω1 = 2Tπ , где Т – период повторения, причем выпол-
няются следующие условия (условия Дирихле):
1) в любом конечном интервале функция s(t) должна быть непрерывна или должна иметь конечное число разрывов первого рода;
2) в пределах одного периода функция s(t) должна иметь конечное число экстремальных значений.
Известны две формы разложения в ряд Фурье: тригонометрическая и комплексная. Тригонометрическая форма разложения выражается в виде
5
s(t) = |
a0 |
+ ∑∞ (an cos nω1t +bn sin nω1t), n = 1, 2, ... |
(2.8) |
|||||
|
||||||||
2 |
n=1 |
|
|
|
|
|
||
или, что равносильно, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
a0 |
∞ |
cos(nω t −ψ |
|
), |
|
|
|
s(t) = |
+ ∑ A |
|
(2.9) |
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
n=1 n |
1 |
n |
|
|
|
где a20 – постоянная составляющая (действующее значение); аn и bn – ам-
плитуды косинусоидальных и синусоидальных членов разложения s(t). Эти величины определяются выражениями:
a0 |
= |
|
1 |
t∫2 s(t )dt, |
(2.10) |
2 |
|
||||
|
T t |
|
|||
|
|
1 |
|
||
an
bn
= 2 t∫2 s(t)cos nω1tdt,
T t1
= 2 t∫2 s(t )sin nω1tdt.
T t1
(2.11)
(2.12)
Амплитуда (модуль) и фаза (аргумент) n-й гармоники выражаются через аn и bn следующим образом:
An = an2 + bn2 , |
(2.13) |
||
ψn = arctg |
bn |
. |
(2.14) |
|
|||
|
an |
|
|
Ряд Фурье в комплексной форме обычно записывается следующим образом:
|
|
∞ |
|
2πkj |
t |
||||
|
Ck e |
|
|
|
|||||
s(t )= ∑ |
|
|
T , |
||||||
|
|
k =−∞ |
|
|
t |
|
|
||
|
1 |
T∫s(t )e−2πkj |
dt. |
||||||
Ck = |
T |
||||||||
|
|||||||||
|
T 0 |
|
|
|
|
|
|
||
(2.15)
(2.16)
Таким образом, если функция x(t) имеет конечную длительность (т. e. ограничена по времени) и удовлетворяет указанным выше условиям, она может быть сколь угодно точно представлена суммой элементарных детерминированных сигналов типа синусоиды. При этом каждый элементарный сигнал характеризуется своей амплитудой, определяемой форму-
лой (2.13), и частотой 2Tπk = ωk . Графически это можно изобразить так,
как показано на рис. 2.3. Расстояние между соседними частотами гармоник по оси частот равно 2Tπ.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
Амплитуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
С2 |
С3 |
С4 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . Сk |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
С1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω1 ω2 |
ω3 ω4 |
|
|
|
ωk |
||||||||
|
|
|
|
Рис. 2.3. Коэффициенты ряда Фурье |
|||||||||
Следует отметить, что приведенным выше условиям Дирихле удовлетворяют все физически осуществимые сигналы. Поэтому при представлении периодических сигналов в виде рядов Фурье эти условия в практике не приходится специально оговаривать.
В тех случаях, когда сигнал представляет собой функцию, четную относительно t, т. е. s(t) = s(–t), в тригонометрической записи остаются только косинусоидальные члены, так как коэффициенты bn в соответствии с формулой (2.12) обращаются в нуль. Для нечетной относительно t функции s(t), наоборот, в нуль обращаются коэффициенты ап (2.11), и ряд состоит только из синусоидальных членов.
Таким образом, структура частотного спектра периодического сигнала полностью определяется двумя характеристиками – амплитудной и фазовой, т. е. модулем и аргументом кoмплeкcнoй амплитуды (формулы (2.13) и (2.14)). Наглядное представление о «ширине» спектра и относительной величине отдельных его составляющих дает графическое изображение спектра (см. рис. 2.3). Здесь по оси ординат отложены модули амплитуд, по оси абсцисс – частоты гармоник.
Спектр периодической функции состоит из отдельных «линий», соответствующих дискретным частотам: 0, ω1, 2ω1, ..., nω1. Отсюда и назва-
ние – линейчатый, или дискретный, спектр.
Существует очень важное понятие – практическая ширина спектра сигнала. Интуитивно ясно, что если полоса пропускания какого-либо устройства недостаточно широкая, чтобы пропустить все гармоники, существенно влияющие на форму сигнала, то сигнал на выходе этого устройства исказится. Таким образом, можно сказать, что ширина полосы пропускания устройства не должна быть ýже ширины спектра сигнала.
Существует несколько критериев для определения практической ширины спектра сигнала. Например, ширину спектра можно определять как область частот, в пределах которой сосредоточена основная энергия сигнала (например 95 %). Можно отбрасывать все гармоники с амплитудами, меньшими 1 % максимальной амплитуды в спектре, тогда частоты оставшихся гармоник и определят ширину спектра сигнала.
7
Однако независимо от критерия, по которому определяют ширину спектра сигнала, можно выделить такие общие для всех сигналов законо-
мерности: чем круче фронт сигнала, чем короче импульсы и чем больше пауза между импульсами, тем шире во всех этих случаях спектр сигнала, т. е. тем медленнее убывают амплитуды гармоник с ростом их номера.
Хотя условия одновременного ограничения длительности и полосы частот не могут быть выполнены в точности, все же можно ограничить спектр полосой F и иметь малые значения сигнала вне интервала Т.
Значение рядов Фурье в современной технике очень велико. Основанный на формулах (2.8) и (2.9) гармонический анализ сложных периодических сигналов в сочетании с принципом наложения (суперпозиции) представляет собой эффективное средство для изучения влияния линейных систем на прохождение сигналов.
Если на входе линейной системы, характеристики которой известны, существует сигнал e(t) (электродвижущая сила), то для нахождения выходного сигнала достаточно учесть амплитудные и фазовые изменения, претерпеваемые каждой из гармонических составляющих сигнала при прохождении через рассматриваемую систему. Условие линейности системы позволяет рассматривать прохождение каждой из гармоник сигнала независимо от всех остальных гармоник.
Спектры непериодических сигналов. В реальных системах пере-
дачи всегда действуют непериодические сигналы, так как все сигналы имеют конечную длительность.
Непериодический сигнал можно рассматривать как периодический с периодом T → ∞. При этом разность частот между соседними гармониками стремится к нулю. Спектр становится сплошным, амплитуды – бесконечно малыми. При Т → ∞ частота ω1 превращается в dω, пω1 – в текущую частоту ω, а операция суммирования — в операцию интегрирования.
Если функция x(t) не ограничена во времени, удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном интервале и дополнительно удовлетворяет условию
∞∫ |
|
s(t) |
|
dt < ∞, |
(2.17) |
|
|
||||
−∞ |
|
|
|
|
|
т. е. интеграл (2.19) сходится, то ее можно представить следующим интегральным выражением:
|
1 |
∞ |
∞ |
|
|
s(t)= |
∫e jωt dω ∫s(t)e− jωt dt, |
(2.18) |
|||
|
|||||
|
2π−∞ |
−∞ |
|
||
называемым интегралом Фурье.
Внутренний интеграл, являющийся функцией ω, обозначим
|
8 |
|
∞ |
S&(ω) = |
∫s(t)e− jωt dt . |
|
-∞ |
После подстановки (2.19) в выражение (2.18) получаем
s(t) = 1 ∞∫S&(ω)e jωt dω.
2π−∞
(2.19)
(2.20)
Выражения (2.19) и (2.20) представляют собой прямое и обратное преобразования Фурье. S(ω) называется спектральной плотностью, или спектральной характеристикой функции s(t). Выражение (2.20) представляет собой непериодическую функцию в виде суммы (интеграла) гармонических колебаний с бесконечно малыми амплитудами.
Из анализа преобразований Фурье вытекает следующее важное по-
ложение: огибающая сплошного спектра (модуль спектральной плотности) непериодической функции и огибающая линейчатого спектра периодической функции (полученной из непериодической путем продолжения ее с периодом Т) совпадают по форме и отличаются только масштабом.
Поскольку спектральная характеристика – комплексная величина, то ее можно представить в виде
S&(ω) = A(ω) − jB(ω) = S(ω)e− jψ(ω) , |
(2.21) |
где А(ω) и В(ω) – соответственно действительная и мнимая части спектральной плотности; S(ω) и ψ(ω) – амплитудно-частотная (АЧХ) и фазочастотная (ФЧХ) характеристики спектральной плотности.
Непосредственно из формулы (2.19) вытекают следующие выражения для А(ω) и В(ω):
|
∞ |
|
A(ω) = |
∫s(t) cos ωtdt, |
(2.22) |
|
−∞ |
|
|
∞ |
|
B(ω) = |
∫s(t)sin ωtdt. |
(2.23) |
−∞
Очевидно также, что модуль и фаза спектральной плотности определяются выражениями:
ω = |
ω |
2 + |
|
ω 2 |
, |
(2.24) |
|
S( ) |
[ A( )] |
|
[B( )] |
|
|||
|
ψ(ω) =arctg |
B(ω) |
. |
|
(2.25) |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
A(ω) |
|
|
|
Как и в случае ряда Фурье, модуль спектральной плотности есть функция четная, а фаза – нечетная относительно частоты ω. Итак, структура спектра непериодического сигнала полностью определяется функциями частоты S(ω) (спектром амплитуд) и ϕ(ω) (спектром фаз).