ТКз-12 (Общая теория связи, часть 1) / 09
.pdf1
4. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ И КВАНТОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙ
Во многих реальных приложениях сигналы изначально имеют аналоговую форму. Переход от аналогового представления сигналов к цифровому во многих случаях дает значительные преимущества при передаче, обработке и хранении информации. Для успешного взаимодействия систем цифровой обработки сигналов с реальным миром необходим аналоговый интерфейс ввода-вывода, позволяющий осуществлять переход от аналогового формата к цифровому. Такой переход связан с дискретизацией сигнала по времени и с квантованием по уровню.
4.1. Дискретизация по времени
При дискретизации по времени непрерывная по аргументу функция, описывающая сигнал, преобразуется в другую, решетчатую, образованную путем прерывания исходной функции. Дискретизация допустима при условии, что новообразованная решетчатая функция дает возможность восстановить исходную функцию. Естественно, что такая замена допустима лишь в тех случаях, когда дискретизированная функция полностью представляет исходную.
Итак, в результате дискретизации исходная функция x(t) заменяется совокупностью отдельных значений (отсчетов), т. е. решетчатой функцией x(k∆t), где k – номер отсчета, k = 1, 2, 3, … Каким должен быть интервал ∆t между отдельными отсчетами? При малом интервале между отсчетами их количество будет большим, и точность последующего восстановления функции также будет высокой. Если же интервал между отсчетами взять большим, то количество отсчетов уменьшится, однако погрешность восстановления непрерывного сообщения может оказаться больше допустимой. Оптимальным следует считать такой интервал между отсчетами, при котором исходная функция с заданной точностью представляется минимальным числом отсчетных значений. В этом случае все отсчеты будут существенными для восстановления исходной функции. При большем числе отсчетов будет иметь место избыточность информации.
Способ дискретизации, согласно которому выбираются отсчеты или коэффициенты разложения, целесообразно оценивать по величине ошибки восстановления исходной функции. Различают три вида критериев отсчетов:
1.Частотный критерий Котельникова, согласно которому интервалы между отсчетами выбираются исходя из ширины спектра дискретизируемого сообщения.
2.Корреляционный критерий отсчетов Железнова, согласно которому интервал дискретизации выбирается равным времени корреляции передаваемого сообщения.
2
3. Квантовый критерий отсчетов Темникова, предложенный для детерминированных функций, устанавливающий зависимость интервалов между отсчетами от величины ступени квантования по уровню и крутизне функции. Оценку точности восстановления непрерывного сообщения можно производить по величине наибольшего, среднеквадратического или интегрального отклонений.
Теорема Котельникова. Все реальные непрерывные сообщения отражают процессы, основная часть спектра которых сосредоточена в конечном интервале частот. Это объясняется частотными свойствами источников сообщений и абонентов (получателей сообщений), являющихся реальными физическими системами. Начиная с некоторой граничной частоты, высокочастотные составляющие спектра сообщения оказываются значительно ниже уровня помех и не воспринимаются получателем. В таком случае все реальные непрерывные сообщения можно рассматривать как функции с ограниченным спектром, т. е. таким, в котором не содержатся частоты выше некоторой граничной частоты F.
В инженерной практике рассмотрение сигналов как функций с ограниченным спектром позволяет при проектировании аппаратуры связи ограничивать ее полосу пропускания. Так на практике часто сталкиваются со следующими примерными значениями ширины спектра сигналов в каналах связи: телеграфного – несколько сотен герц (в зависимости от скорости телеграфирования), телефонного – 3…5 кГц, вещания – 8…10 кГц, телевизионного – порядка 6 МГц.
Для таких функций В.А. Котельников сформулировал следующую теорему: любая непрерывная функция со спектром, находящимся в интервале (0, F), полностью определяется последовательностью ее значений в точках, отстоящих на 1/2F секунд друг от друга.
Доказательство теоремы Котельникова основано на разложении функции х(t) с ограниченным спектром в ряд. Спектр S(jω) рассматриваемой функции ограничен полосой ωв = 2πFв, т. е.
|
|
|
≠ 0 при |
|
ω |
|
≤ ωв, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
S( jω) |
= 0 при |
|
|
ω |
|
|
> ω . |
(4.1) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
Используя преобразование Фурье непрерывной функции |
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
∞ |
|
|||||||||||
x(t) = |
|
∫S( jω)e jωt dω |
(4.2) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2π−∞ |
|
||||||||||||
и (4.1), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
ω |
|
|||||||||
x(t) = |
|
|
|
|
∫в S( jω)e jωt dω. |
(4.3) |
||||||||||
2π |
|
|||||||||||||||
|
−ω |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
||||||||
3
Рассмотрим комплексный спектр функции х(t). тервале (–ωв, ωв) и может быть представлен рядом Фурье
jπkω
S( jω) = ∑∞ Ck e ωв ,
k =−∞
Он задан на ин-
(4.4)
где
|
1 |
|
|
ω |
|
πkω |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ck = |
|
|
∫в S( jω)e− j ωв dω. |
(4.5) |
|||||||
2πω |
|
||||||||||
|
|
в −ωв |
|
|
|
|
|
|
|||
Сравнивая (4.5) и (4.3), получаем |
|
|
|
|
|
|
|||||
Ck = |
1 |
|
x(−k∆t) = ∆tx(−k∆t). |
(4.6) |
|||||||
2Fв |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставив значение Ck в (4.4), будем иметь |
|
||||||||||
|
|
|
|
∞ |
− j |
πkω |
|
|
|||
|
|
|
|
ωв . |
(4.7) |
||||||
S( jω) = ∆t ∑x(k∆t)e |
|
|
|||||||||
k =−∞
Уже это соотношение доказывает теорему Котельникова: так как между x(t) и S(jω) имеется однозначная связь, то x(t), как и S(jω) (4.7), однозначно определяется отсчетами {x(k∆t)}.
Выразим функцию х(t) через ее спектр, используя (4.3):
|
|
∆t |
ω |
в |
|
∞ |
|
− j |
πkω |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωв |
|
|
||||||
|
x(t) = |
|
|
|
|
|
∫ |
e jωt dω |
∑x(k∆t)e |
|
. |
(4.8) |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2π−ω |
в |
k =−∞ |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая сходимость ряда и интеграла Фурье, произведем пере- |
|||||||||||||||||
становку операций интегрирования и суммирования: |
|
||||||||||||||||
|
|
|
∆t |
|
|
|
|
∞ |
|
ωв |
|
|
|
|
|||
|
x(t) = |
|
|
|
|
|
|
∑x(k∆t) ∫ |
e jω(t −k∆t)dω. |
|
(4.9) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2πk =−∞ |
|
−ω |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
Определив значение интеграла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2sin ωв(t −k∆t) |
|
∫в |
e jω(t −k∆t)dω= |
|
|
|
|
e jω(t −k∆t) |
ω−ωв |
= |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
−ωв |
|
|
|
|
|
|
|
j(t −k∆t) |
|
|
|
в |
t −k∆t |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и подставив его в (4.9), окончательно получаем выражение, называемое рядом Котельникова:
∞ |
sin ωв(t −k∆t) |
|
|
|
x(t) = ∑ x(k∆t) |
. |
(4.10) |
||
ωв(t −k∆t) |
||||
k =−∞ |
|
|
4
Полученное выражение представляет собой разложение в ряд непрерывной функции х(t). Величины х(k∆t) – значения непрерывной функции в точках отсчета. Множитель вида
sin ωв(t −k∆t) |
= |
sin 2πFвτ |
(4.11) |
|
ωв(t −k∆t) |
2πFвτ |
|||
|
|
является функцией времени и называется функцией отcчетов (рис. 4.1).
sin 2πFτ
1 2πFτ
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2F |
|
|
2F |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
− |
1 |
|
|
|
|
1 |
τ |
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
||
F |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
||||||||||
F
Рис. 4.1. График функции отсчетов
Функция отсчетов принимает максимальное значение, равное единице, в моменты времени t = k∆t и обращается в нуль в моменты времени t = (k ± т)∆t, где т = 1, 2, 3, ... Следует отметить, что функции отсчетов ортогональны на бесконечно большом интервале времени. Функция отсчетов представляет собой реакцию идеального фильтра нижних частот на единичную импульсную функцию.
Таким образом, чтобы передать сообщение, являющееся непрерывной функцией времени и имеющее ограниченный спектр, необходимо произвести следующие операции.
1.Найти отсчетные значения передаваемого сообщения в моменты времени, разделенные интервалами ∆t = 1/2Fв.
2.Передать величины отсчетов по каналу связи любым из возможных методов.
3.Восстановить на приемном конце переданные отсчеты и сформировать импульсы с малой длительностью (по сравнению с интервалом между отсчетами), амплитуды которых были бы равны переданным отсчетным значениям.
5
4.Сформировать функции отсчетов с амплитудами, равными амплитудам переданных отсчетных значений.
5.Просуммировать функции отсчетов и получить функцию времени, которая равна (или пропорциональна) переданному сообщению. Совокупность приведенных операций представлена на рис. 4.24.2.
x(t) |
x(3∆t) |
x(5∆t)
x(∆t)
∆t 2∆t 3∆t 4∆t 5∆t k =1 t
k =2 |
t |
|
t |
k =3 |
|
|
t |
k =4 |
|
|
t |
k =5 |
|
t
Рис. 4.2. Восстановление непрерывной функции
Теорема Котельникова справедлива и для случая, когда непрерывное сообщение х(t) имеет спектр, заключенный в ограниченной полосе частот от fн до fв. В этом случае отсчеты следует брать через интервал времени
∆t = |
1 |
= |
1 |
, |
(4.12) |
|
2( fв − fн) |
2∆fсп |
|||||
|
|
|
|
где ∆fсп – ширина спектра функции, ∆fсп = (fв – fн).
Строго говоря, условия теоремы Котельникова для реальных сигналов не удовлетворяются, поскольку они представляют процессы, ограниченные во времени, и поэтому их спектр не ограничен. Однако практически всегда можно ограничить сверху спектр реального сигнала достаточно
6
большой частотой Fв так, чтобы составляющие спектра за ее пределами были незначительными.
Таким образом, учитывая отмеченные ранее особенности реальных сообщений (сосредоточенность почти всей энергии в конечных интервалах времени и полосы частот), выражение (4.10) можно с достаточной степенью точности использовать для представления реальных сообщений. В этом случае при длительности сообщения Тс число отсчетов m будет конечным:
m = T∆сt = 2FвTс,
а (4.10) примет вид
m
x(t) ≈ |
∑ |
x(k∆t) sin ωв(t −k∆t) . |
||
2 |
|
|
|
|
k =− |
m |
ωв(t −k∆t) |
||
2 |
|
|||
(4.13)
(4.14)
При конечном числе отсчетов сумма (4.14) будет совпадать с мгновенными значениями х(t) не на всем интервале существования сообщения Тс, а только в отсчетных точках. В промежутках между этими значениями х(t) отличается от суммы конечного числа членов ряда, в результате чего возникает погрешность. Эта погрешность минимальна в середине интервала Тс и будет возрастать к его краям.
Определить среднеквадратическую ошибку восстановления сообщения конечной длительности рядом Котельникова с конечным числом членов затруднительно. Однако если убывание модуля спектральной плотности происходит достаточно быстро, можно указать границы среднеквадратической ошибки δ, возникающей при восстановлении реального сообщения с неограниченным спектром рядом Котельникова в следующем виде:
∆E ≤ δ ≤ |
3∆E |
, |
(4.15) |
|
E |
|
E |
|
|
где Е – полная энергия сообщения, |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
E = ∫x2 (t)dt, |
|
(4.16) |
||
−∞ |
|
|
|
|
а ∆E – энергия сообщения, заключенная в полосе частот выше |
|
|||
F = |
1 |
. |
|
(4.17) |
2∆t |
|
|||
в |
|
|
|
|
7
С помощью оценки (4.17) можно определить Fв таким образом, чтобы погрешность восстановления непрерывного сообщения не превышала заданной величины.
В практических расчетах для определения относительной погрешности воспроизведения сообщений может быть использовано следующее выражение:
∞
∫[S(ω)]2 dω
δ2 ≈ |
ωв |
, |
(4.18) |
∞ |
|||
|
∫(S(ω)]2 dω |
|
|
0 |
|
|
|
позволяющее по заданной величине δ при известных спектральных характеристиках сообщения найти верхнюю граничную частоту спектра ωв и интервал дискретизации:
∆t = |
π |
. |
(4.19) |
|
|||
|
ωв |
|
|
Как видно на рис. 4.24.2, для воспроизведения исходной функции х(t) по ее дискретным значениям x(k∆t) необходимо устройство с импульсной реакцией вида (4.11). На выходе такого устройства и будет воспроизводиться исходная непрерывная функция x(t).
Подобную импульсную реакцию имеет идеальный фильтр нижних частот с частотой среза F. Таким образом, непрерывная функция может быть восстановлена при пропускании последовательности импульсов вида x(k∆t)δ(t – k∆t) (решетчатой функции) через идеальный фильтр нижних частот с указанной частотой среза. Здесь δ(t – k∆t) – дельта-функция. Практически эти импульсы аппроксимируются, например прямоугольными импульсами длительностью ∆, где ∆ << ∆t, и высотой x(k∆t)/∆.
Ясно, что отклонение свойств ФНЧ от идеального ведет к некоторым искажениям в воспроизведении непрерывного сигнала по его дискретным отсчетам.
В заключение заметим, что, хотя не существует реальных сигналов со строго ограниченным спектром, это не умаляет практического значения выводов, сделанных из теоремы Котельникова. Принимая сигнал с практически ограниченным спектром (что всегда имеет место на практике) за идеальный сигнал со строго (в смысле условий теоремы) ограниченным спектром, мы после восстановления по дискретным отсчетам получим сигнал, несколько отличный от исходного, но это отличие незначительно, если правильно выбрана ограничивающая спектр частота F. В процессе передачи сигнал дополнительно искажается различными помехами, и на их
8
фоне можно пренебречь искажениями, вызванными отличием реальных сигналов от идеальных.
Принцип дискретизации Железнова. В предложенной Железно-
вым модели сообщения характеризуются: конечной длительностью Тс; сплошным спектром, отличным от нуля на всей частотной оси, т. е.
S(ω) ≠ 0 при – ∞ < ω < ∞.
Вводится допущение ограниченности интервала корреляции (т. е. считается, что функция корреляции равна нулю вне интервала τ0) и малости интервала корреляции по сравнению с длительностью сообщения (Тс >> τ0). Рассматриваются сообщения, являющиеся стационарными и нестационарными функциями времени. Введенные допущения не вступают в противоречие с природой реальных сообщений, так как вследствие конечной длительности их значение в любой момент зависит только от некоторого отрезка прошлого ограниченной длительности. Поэтому интервал корреляции реальных сообщений является ограниченной величиной (рис. 4.3). Это ограничение записывается в виде
Вх(τ) Вх(0)
B(τ) = Bx (τ) приτ≤ τ0 ,
x0 приτ > τ0.
Sx(ω)
τ0 τ
(4.20)
Sx(ω)max
∆ωэф
ω
Рис. 4.3. Ограничение интервала корре- |
Рис. 4.4. К определению эффективной |
ляции |
полосы частот |
Н.А. Железновым доказано, что такие сообщения могут быть предсказаны системой линейного прогнозирования со среднеквадратической ошибкой, сколь угодно мало отличающейся от нуля, только в промежутке времени, равном интервалу корреляции τ0. Таким образом, дискретизацию следует производить с интервалом, не превышающим τ0, поскольку лишь в этом случае возможно безошибочное восстановление исходного сообщения. Число некоррелированных отсчетов N при этом определится так:
N = |
Tc |
. |
(4.21) |
|
|||
|
τ0 |
|
|
9
Определение интервала корреляции τ0 производится с использованием понятия эффективной полосы частот сообщения:
∆ω |
= 2π∆f |
|
, τ |
|
= |
1 |
, |
(4.22) |
|
|
2∆fэф |
||||||
эф |
|
эф |
|
0 |
|
|
где ∆ωэф определяется как основание прямоугольника с высотой, равной максимальному значению спектральной плотности Sx(ω), и площадью, равной площади под кривой спектральной плотности сообщения (рис. 4.4):
|
1 |
∞ |
|
|
∆ωэф = |
∫Sx (ω)dω. |
(4.23) |
||
|
||||
|
Sx (ω) max 0 |
|
||
Для нестационарных функций используется понятие текущего интервала корреляции, который является функцией времени τ0 = τ0(t). В этом случае отсчетные значения непрерывного сообщения будут располагаться на оси времени неравномерно. Метод дискретизации Н.А. Железнова менее разработан, чем метод В.А. Котельникова, и поэтому не получил еще широкого распространения.
4.2. Квантование по уровню
При квантовании по уровню непрерывное множество значений сигнала x(t) заменяется конечным множеством дискретных его значений. Для этого весь интервал от хmin до xmax возможных значений сигнала разбивается на конечное число дискретных уровней (рис. 4.5) с интервалом между уровнями (шагом квантования) ∆х.
Уровни
х(t) |
|
|
|
|
|
|
Квантованное значение |
|
|
|
||||
|
хm |
|
|
|
|
|
сигнала в момент i = 5 |
|
|
|
||||
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Исходный сигнал |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
t |
|
||||||||||||||
Моменты отсчета
Рис. 4.5. Квантование по уровню
10
Значения x(t) сигнала в дискретные моменты отсчета tk заменяются ближайшим дискретным значением xi в соответствии с правилом
xi = ∆x x∆(tk )+ 1 ,x 2
где |
x(tk ) |
+ |
1 |
|
– целая часть величины, стоящей в скобках. Погрешность |
|||
|
|
|
|
|
||||
∆x |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
при таком представлении (шум квантования) не превышает половины шага квантования ∆х.
Итак, при квантовании область возможных значений сигнала делится на шаги квантования, которые могут быть равномерными (регулярными) или неравномерными (нерегулярными) в зависимости от примененной шкалы квантования, деления которой называются уровнями квантования (символами).
При малом ∆х, когда распределение возможных значений сигнала в пределах шага квантования можно считать равномерным, среднеквадратическое значение погрешности
σk = ∆x /2 3 . |
(4.24) |
Оптимальным, в смысле точности воспроизведения квантованного сигнала, будет расположение уровня квантования в середине шага квантования. Возникающая при этом ошибка неустранима, так как является следствием квантования. Само квантование можно трактовать как прохождение сигнала через элемент системы, подверженный действию помехи, которую называют шумом квантования.
При заданной величине допустимой ошибки квантования δхкв = хi –
– x(tk) (заданной величине σk и соответственно заданном шаге квантования ∆х = 2 
3 σk) требуемое число уровней квантования
x |
max |
− x |
min |
|
|
|
n = |
|
|
|
+1. |
||
|
|
∆x |
|
|||
|
|
|
|
|
||
Таким образом, непрерывный сигнал x(t) может быть преобразован в цифровой. Погрешности, вносимые при таком преобразовании, могут быть уменьшены до требуемой величины соответствующим выбором шага квантования по времени и по уровню.