ТКз-12 (Общая теория связи, часть 1) / 06
.pdf1
2.6. Числовые характеристики сигналов и помех
Энергетические характеристики. Основными энергетическими ха-
рактеристиками вещественного сигнала s(t) являются его мощность
и энергия.
Если s(t) – напряжение u(t) или ток i(t), то мгновенная мощность, выделяемая на активном сопротивлении R, определяется через квадрат мгновенного значения:
p(t) = u2(t) / R = i2(t) R. |
(2.1) |
Обычно в теории электросвязи принимают R = 1 Ом (кроме особо оговариваемых случаев), и тогда в общем виде
p(t) = s2(t). |
(2.2) |
Принятие такого условия связано с тем, что, как правило, интересуются не конкретным значением мощности, а отношениями мощностей сигнала и помехи. При вычислении отношения сопротивление R сокращается, поэтому для упрощения вычислений его можно принять единичным.
Энергия периодического сигнала на интервале (t1,t2) определяется как интеграл от мгновенной мощности:
|
|
|
|
t2 |
|
t2 |
|
||
|
|
|
W = ∫ |
p(t) dt = ∫s2 (t) dt . |
(2.3) |
||||
Отношение |
|
|
t1 |
|
|
t1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
||
|
|
W |
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
= |
|
|
|
∫s2 (t)dt = Ps (t) |
(2.4) |
|
t |
|
−t |
t |
|
−t |
|||
|
|
2 |
1 |
|
|
2 |
1 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
имеет смысл средней мощности Ps(t) на интервале t1, ..., t2. Для случайных сигналов (помех) среднюю мощность можно вычислить по спектральной плотности мощности Gx(f). Поскольку функция Gx(f) показывает распределение мощности по частотам, полная мощность выражается интегралом
∞ |
|
Ps (t) = ∫Gx ( f )df . |
(2.5) |
0 |
|
Для того чтобы найти, например, мощность случайного сигнала (помехи), заключенную в полосе частот f1, ..., f2, надо провести интегрирование в этой полосе:
f2 |
|
Ps (t) = ∫Gx ( f )df . |
(2.6) |
f1 |
|
Средняя мощность периодического сигнала, рассматриваемая на всей оси времени, совпадает со средней мощностью за период Т.
Для гармонического сигнала u(t) = Um cos(ωt+ϕ0) средняя мощность
|
|
2 |
|
|
|
|
U 2 |
T |
U 2 |
|
|
Pu = |
m |
∫cos2 (ωt +ϕ0 ) dt = |
m |
(2.7) |
|
T |
2 |
||||
|
0 |
|
не зависит ни от частоты, ни от начальной фазы.
Поскольку периодический сигнал s(t) можно представить в виде тригонометрического ряда Фурье, и интеграл суммы равен сумме интегралов, следует, что
|
|
A2 |
∞ |
A2 |
|
||
P |
= |
0 |
+ ∑ |
|
mn |
. |
(2.8) |
|
|
|
|||||
s |
2 |
n=1 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|||||
Итак, полная средняя мощность периодического сигнала равна сумме средних мощностей, выделяемых отдельно постоянной составляющей А0/2 и гармониками с амплитудами Аm1, Аm2, ..., причем средняя мощность не зависит от частот и фаз отдельных гармоник.
Числовые характеристики. Под уровнем понимают отношение значений мощности Рx или напряжения Ux в рассматриваемой точке х к значению мощности Р0 или напряжения U0, выбранными для сравнения. Поскольку значения мощности (напряжения) могут изменяться в больших пределах (десятки и сотни раз), для измерения уровней введена логарифмическая величина уровня – децибел (дБ), равная 10 lg(Px / P0) для мощности и 20 lg(Ux / U0) для напряжения. В качестве абсолютного нулевого уровня для сравнения в технике проводной связи выбрана мощность сигнала Р0 = 1 мВт, рассеиваемая на активном сопротивлении R = 600 Ом. Тогда U0 = 0,775 В. Децибелы, определенные относительно уровня мощности Р0 = 1 мВт, называются децибел-милливаттами и обозначаются дБм.
При логарифмической единице измерения уровней такая характеристика качества, как отношение сигнал/помеха, будет равна разности уровней сигнала Lс и помехи Lп, так как
ρ = 10 lg(Pс / Pп) = 10 lg(Pс / P0) – 10 lg(Pп / P0) = Lс – Lп. |
(2.9) |
При помощи логарифмических единиц измерения можно ввести дополнительные числовые характеристики сигналов и помех.
Динамический диапазон Dс (дБ) характеризует пределы изменения мгновенной мощности сигнала и определяется выражением
Dс =10 lg(Pmax / Pmin), |
(2.10) |
где Pmaх – максимальное, a Pmin — минимальное значение мгновенной мощности, определенные каким-либо способом. Например, за минимальную мощность, если ее трудно определить, принимается мощность шума или допустимая среднеквадратическая погрешность.
Коэффициентом амплитуды сигнала Kа называется отношение его максимальной мощности к средней
3
Kа = 10 lg(Pmax / Pср). |
(2.11) |
В некоторых случаях динамический диапазон и коэффициент амплитуды определяются не в логарифмических, а в абсолютных единицах (в разах).
Временные характеристики. К основным временным характери-
стикам относятся длительность и ширина спектра сигнала. Под длитель-
ностью сигнала понимают интервал времени его существования. Длительность вычисляется как разность между временем окончания сигнала t2 и временем его начала t1:
∆t = t2 – t1. |
(2.12) |
Ширина спектра – это интервал частот, занимаемый спектром сигнала. Вычисляется как разность между максимальной частотой спектра сигнала fmax и минимальной fmin:
∆fс = fmax – fmin. |
(2.13) |
Вычисление длительности и ширины спектра не вызывает трудностей, если сигнал имеет четко выраженные начало и конец, а спектр – граничные частоты. Но из преобразования Фурье следует, что если сигнал имеет конечную длительность, то спектр его бесконечен. И наоборот. В этом случае необходимо условиться об определении длительности и ширины спектра.
На практике применяются различные способы определения указанных величин, выбор которых зависит от назначения сигнала, его формы, структуры спектра. В некоторых случаях выбор даже произволен. Наибольшее применение нашли следующие способы определения ∆t и ∆f.
1.Отсчет на заданном уровне от максимального (рис. 2.7). Обычно длительность импульсного сигнала и ширину его спектра определяют на уровне 0,707 от максимального значения амплитуды сигнала в спектре
(0,707Amax), но можно выбрать для вычислений любой другой уровень, например 5% максимального значения (0,05Amax).
2.Энергетический способ. За длительность сигнала (ширину спектра) принимают такой интервал времени (частот), в который попадает заданная часть полной энергии сигнала, например 0,9 или 0,95.
4
3. Замена реального сигнала (спектра) равновеликим прямоугольником. Такая процедура показана на рис. 2.8, где изображена спектральная плотность мощности случайного сигнала Gx(f). Площади прямоугольника и фигуры, ограниченной кривой Gx(f) и осями координат, равновелики (одинаковы).
A
Amax
0,707Amax
0 |
0,05Amax |
|
f |
||
∆f0,707 |
||
∆f0,05 |
|
Рис. 2.7. Определение ширины спектра по выбранному уровню амплитуды (мощности)
сигнала
Gx(f)
Gmax
0
∆fэф f
Рис. 2.8. Определение эффективной ширины спектра по площади прямоугольника
Из рис. 2.8 следует, что эффективная ширина спектра ∆fэф определяется следующим образом:
|
1 |
∞ |
|
∆fэф = |
|
∫Gx ( f ) df . |
(2.14) |
|
|||
|
Gmax 0 |
|
|
Числовые характеристики сигналов и помех широко используются в теории электросвязи. По энергетическим характеристикам определяется требуемое превышение сигнала над помехой, по ширине спектра сигнала устанавливается полоса пропускания канала электросвязи, необходимая для неискаженной передачи.
Для непрерывных первичных сигналов ширина спектра определяется обычно опытным путем. Для импульсных сигналов при определении ширины спектра можно воспользоваться важнейшим положением теории сигналов: если ∆f означает ширину спектра некоторого сигнала длительностью ∆t, то всегда имеет место соотношение
∆f ∆t ≈ µ, |
(2.15) |
5
где µ – постоянная величина, порядка единицы (µ ≈ 1) для видеоимпульсов и порядка двух (µ ≈ 2) для радиоимпульсов. Смысл этого соотношения состоит в том, что ширина спектра сигнала обратно пропорциональна его длительности.