ТКз-12 (Общая теория связи, часть 1) / 05

1

2.3. Случайный процесс – модель реальных сигналов

Как уже отмечалось, в реальных условиях все сигналы имеют случайный характер. При передаче информации сигнал в месте приема заранее неизвестен и потому не может быть описан определенной функцией времени. То же самое можно сказать и о помехах, появление которых обусловлено самыми различными и чаще всего неизвестными причинами.

Имеется существенное различие между просто состоянием x(t) объекта и сигналом x(t). Оно состоит в том, что единственная функция x(t) не исчерпывает всех важных свойств сигналов. Ведь понятие функции предполагает, что нам известно значение х (либо правило его вычисления) для каждого t. Если же это известно получателю сигнала, то отпадает необходимость в передаче: функция x(t) может быть и без этого воспроизведена на приемном конце. Следовательно, единственная однозначная функция вещественного аргумента не может служить моделью сигнала. Такая функция приобретает сигнальные свойства только тогда, когда она является одной из возможных функций. Другими словами, моделью сигнала может быть набор (или, как еще говорят, ансамбль) функций параметра t, причем до передачи неизвестно, какая из них будет отправлена; это становится известным получателю только после передачи. Каждая такая конкретная функция называется реализацией. Если теперь еще ввести вероятностную меру на множестве реализаций, то мы получим математическую модель, называемую случайным процессом.

Таким образом, реальные сигналы и помехи представляют собой случайные процессы. Случайный процесс описывается случайной функцией, значения которой при любом значении аргумента являются случайными величинами. В отличие от детерминированной функции, однозначно определяющей и, таким образом, достоверно предсказывающей значение описываемой величины в любой заданный момент времени, ход случайной функции предсказан быть не может. Самое большое, что можно сказать заранее о поведении случайной функции, это вероятность, с которой она

вбудущем может принять тот или иной вид из множества возможных.

Вряде практически важных задач случайный процесс наряду с вероятностным описанием можно описать совокупностью неслучайных числовых характеристик, постоянных или меняющихся во времени. От этих характеристик требуется, чтобы в условиях конкретно поставленной задачи они отражали самое существенное случайного процесса. Вероятностными характеристиками совокупности большого числа реализаций (ансамбля реализаций) являются законы распределения, которые могут быть получены теоретически или на основе экспериментальных данных.

Законы распределения являются достаточно полными характеристиками случайного процесса. Однако они сложны и требуют для своего определения обработки большого экспериментального материала. Кроме то-

2

го, такое подробное описание процесса не всегда бывает нужным. Для решения многих практических задач достаточно знать более простые (хотя и менее полные) характеристики случайного процесса. Такими характеристиками являются средние значения и функция корреляции случайного процесса.

Имеется несколько различных подходов к тому, как вводить вероятностную меру на множестве реализаций. Для инженерных приложений оказывается удобным определение случайного процесса как такой функции времени x(t), значение которой в каждый данный момент является случайной величиной. Случайная величина полностью характеризуется распределением вероятностей, например, плотностью P1(x1|t1); однако, чтобы охарактеризовать случайный процесс, нужно описать, связаны ли (и если да, то как) значения реализации, разделенные некоторыми интервалами времени. Так как связь только двух таких значений, описываемая распределением второго порядка Р2(х1, x2|t1, t2), может неполно характеризовать процесс в целом, вводят распределения третьего, четвертого, ..., n-го порядков: Рп (х1, ..., хп | t1, .... tn). В конкретных задачах обычно ясно, до какого порядка следует доходить в описании процесса.

В ряде практически важных задач случайный процесс наряду с вероятностным описанием можно описать совокупностью неслучайных числовых характеристик, постоянных или определенным образом изменяющихся во времени. От этих характеристик требуется, чтобы в условиях конкретно поставленной задачи они отражали самое существенное случайного процесса (см. подразд. 2.6).

Классы случайных процессов

Необходимость моделирования самых разнообразных сигналов приводит к построению частных моделей случайных процессов, т. е. наложению дополнительных ограничений на параметры распределений и на сами распределения. Перечислим наиболее важные классы случайных процессов.

Непрерывные и дискретные по времени процессы. Случайный процесс с непрерывным временем характеризуется тем, что его реализации определяются для всех моментов из некоторого (конечного или бесконечного) интервала Т параметра t. Дискретный по времени процесс задается на дискретном ряде точек временной оси (обычно равноотстоящих).

Непрерывные и дискретные по информативному параметру процессы. Эти процессы различаются в зависимости от того, из какого (непрерывного или дискретного) множества принимает значение реализация х случайной величины X.

Стационарные и нестационарные процессы. Так называются процес-

сы в зависимости от постоянства или изменчивости их статистических ха-

3

рактеристик. Случайный процесс называется стационарным в узком смысле, если для любого п конечномерные распределения вероятностей не изменяются со временем, т. е. при любом τ выполняется условие

Если же условие независимости от времени выполняется только для первых двух моментов (среднего и функции автокорреляции), то процесс называется стационарным в широком смысле (или в смысле Хинчина).

Эргодические и неэргодические процессы. На практике при описа-

нии случайных величин вместо рассмотрения их распределений часто ограничиваются только их числовыми характеристиками, обычно моментами. В тех случаях, когда распределение неизвестно, моменты (и другие числовые характеристики) можно оценить статистически.

Перенос такой практики на произвольные случайные процессы требует не только учета зависимости отстоящих друг от друга («разнесенных») во времени значений, но и наложения дополнительных требований. Требование совпадения величин, получающихся при усреднении по ансамблю (т. е. при фиксированном времени) и при усреднении по времени (точнее, по одной реализации), и называется условием эргодичности. Это требование можно толковать и как совпадение результатов усреднения по любой реализации. Как и для стационарности, можно различать эргодичность в узком и широком смысле.

Марковские процессы. Дискретный случайный процесс называется

Если такая зависимость распространяется на k шагов в прошлое, то процесс называется обобщенным марковским процессом k-го порядка.

Приведем примеры, с которыми часто имеют дело в теории сигналов.

Некоторые модели ансамбля реализаций

Гауссов случайный процесс. Удобной моделью помех и некоторых полезных сигналов является стационарный нормальный случайный процесс. Случайные мгновенные значения величины x(t) предполагаются подчиненными нормальному закону (с нулевым средним), т. е. плотность распределения первого порядка выражается формулой:

4

Нормальный (гауссов) закон распределения случайных величин чаще других встречается в природе. Нормальный процесс особенно характерен для помех в каналах связи. Он очень удобен для анализа. Поэтому случайные процессы, распределение которых не слишком отличается от нормального, часто заменяют гауссовым процессом.

В данном случае рассматривается стационарный и эргодический гауссов процесс. Поэтому под тх и σх можно подразумевать соответственно постоянную составляющую и среднюю мощность флуктуационной составляющей одной (достаточно длительной) реализации случайного процесса.

Графики плотности вероятности при нормальном законе для некоторых значений σх изображены на рис. 2.4. Функция р(х) симметрична относительно среднего значения. Чем больше σх, тем меньше максимум, а кривая становится более пологой (площадь под кривой р(х) равна единице при любых значениях σх).

p

σх=0,5

σх=1

2 / π

σх=2

Рис. 2.1. Одномерная плотность вероятности нормального распределения

Широкое распространение нормального закона распределения в при-

роде объясняется тем, что при суммировании достаточно большого числа независимых или слабо зависимых случайных величин распределение суммы близко к нормальному при любом распределении отдельных слагаемых. Это положение, сформулированное в 1901 г. А.М. Ляпуновым, получило на-

звание центральной предельной теоремы.

Наглядными физическими примерами случайного процесса с нормальным законом распределения являются шумы, обусловленные тепловым движением свободных электронов в проводниках электрической цепи или дробовым эффектом в электронных приборах. Не только шумы и помехи, но и полезные сигналы, являющиеся суммой большого числа независимых случайных элементарных сигналов, например, гармонических колебаний со случайной фазой или амплитудой, часто можно трактовать как гауссовы случайные процессы.

На основе функции р(х) можно найти относительное время пребывания сигнала x(t) в определенном интервале уровней, отношение макси-

5

мальных значений к среднеквадратическому (пик-фактор) и ряд других важных для практики параметров случайного сигнала.

Отношение времени пребывания x(t) в заданном интервале к общему времени наблюдения можно трактовать как вероятность попадания функции x(t) в указанный интервал. При этом следует заметить, что данные о распределении вероятностей не дают никаких представлений о поведении функции x(t) во времени.

Белый шум используют как модель наиболее тяжелого вида помехи в каналах связи. Он является стационарным случайным процессом с постоянной спектральной плотностью Wx(ω) = W0 = const. Если в выражение для корреляционной функции

где δ(τ) – дельта-функция.

Для белого шума с бесконечным и равномерным спектром корреляционная функция равна нулю для всех значений τ, кроме τ = 0, при котором Rx(0) обращается в бесконечность. Подобный шум, имеющий игольчатую структуру с бесконечно тонкими случайными выбросами, иногда на-

зывают дельта-коррелированным процессом. Дисперсия белого шума бес-

конечно велика. Если спектр Wx(ω) ограничен сверху частотой ωВ, то такой процесс называется квазибелым шумом.

Сигнал как колебание со случайными огибающей и фазой. По-

нятия амплитуды и фазы, введенные первоначально для гармонических сигналов, с помощью модуляции были применены к сигналам, которые уже не являются гармоническими. Можно применить их к произвольным сигналам: пока чисто формально можно задать такие функции A(t) и ψ(t), чтобы для заданной функции s(t) было выполнено равенство

A(t) и ψ(t) можно интерпретировать как «огибающую» и «фазу» колебания с частотой ω0. Оказывается, свобода выбора в задании функций A и ψ при определенных условиях весьма ограничена. Комплекс этих условий получил название узкополосности сигнала x(t).

Очень наглядным является векторный вариант модели (2.6): A и ψ можно рассматривать как полярные координаты некоторого вектора. Тогда всякое гармоническое колебание s(t) = S cos(ω0t + φ), имеющее частоту ω0, изобразится как постоянный вектор с амплитудой S и углом φ к направлению, принятому за ось Ох.

6

2.4. Графическое представление сигналов

Достаточно широкий класс реальных сигналов охватывается их моделью в виде марковского процесса. Положим, сложный сигнал строится из некоторого дискретного множества элементарных сигналов. Если источник генерирует в данный момент j-й элементарный сигнал, то говорят, что он находится в j-м состоянии. Полное описание процесса заключается в задании набора элементарных сигналов (состояний) {εj} и условных вероятностей pjk перехода источника из состояния j в состояние k.

Для полноты модели в рассмотрение можно включить случай, когда вероятность перехода pjk зависит от времени пребывания источника в состоянии j: вероятность перехода в состояние k в интервале (τ, τ + dτ) после перехода в состояние j равна pjk(τ)dτ.

Этот сложный процесс может быть отражен очень простой графиче-

жащей ветви. Величины подчиняются очевидному соотношению ∑ p jk =1.

k

Полученный в результате граф может выглядеть, например, как на рис. 2.5. Известно, что существуют преобразования графа, не изменяющие определенные свойства, но упрощающие его структуру. Причем пользоваться преобразованиями Лапласа функций pjk(τ) более удобно, чем самими функциями pjk(τ). Кроме удобства при написании признаков ветвей графа, функции Pjk(s) позволяют очень просто вычислить временные моменты сигналов. Пусть, например, нас интересуют только те сигналы, которые начинаются с состояния j и кончаются состоянием k. После соответствующих преобразований графа можно получить функцию Pjk(s) в виде

степенного ряда Pjk(s) = a0 + a1s + a2s2 +...

Коэффициент а0 дает безусловную вероятность осуществления перехода j→k, т. е. вероятность появления сигнала любой длительности, начи-

нающегося с j-го символа и заканчивающегося k-м. Величина − a1 харак- a0

7

теризует среднюю длительность такого сигнала; дисперсия длительности

Из полного графа случайного процесса легко определить любую интересующую нас реализацию, выделив в нем соответствующую траекторию. По характеристикам ветвей траектории находится вероятность данной реализации и ее остальные временные статистические характеристики.

Наиболее эффективно граф может быть использован для нахождения статистических характеристик подмножества сигналов, выделяемого по какому-либо признаку.

2.5. Геометрическое представление сигналов

Основой геометрического представления сигналов служит тот факт, что совокупность чисел х1, х2, ... , хn, независимо от их происхождения, всегда может рассматриваться как совокупность координат точки в n-мерном пространстве, т. е. соответствующий вектор в n-мерном пространстве определяется совокупностью п чисел, которые являются его проекциями на соответствующие оси. Это записывается следующим образом:

x = (x1, x2 , ..., xn ).

Сигнал с ограниченным спектром, согласно теореме Котельникова, полностью задается дискретным множеством равноотстоящих отсчетов. Совокупность чисел, характеризующих значение функций отсчета в соответствующих точках, можно рассматривать как совокупность координат некоторой точки; таким образом, сигнал также представляется как вектор (точка) в многомерном пространстве, которое можно назвать пространством сигналов. Размерность пространства сигналов равна числу степеней свободы рассматриваемого сигнала. Как отмечалось выше, оценкой числа степеней свободы отрезка сигнала длительностью Т и ограниченной шириной F спектра является число 2FT.

В большинстве практических случаев число измерений пространства сигналов очень велико. Хотя такие пространства не допускают наглядного изображения, аналитические соотношения геометрии значительно облегчают рассмотрение проблем связи.

Расстояния в пространстве сигналов имеют наглядный смысл. Для так называемого евклидова пространства справедливо следующее соотношение для длины вектора:

которое является обобщением обычной теоремы Пифагора.

Итак, норма вектора сигнала (т. е. длина вектора) при заданной длительности и ширине спектра сигнала определяется его средней мощностью. Для стационарного случайного сигнала операция осреднения квадрата реализации по времени определяет дисперсию процесса, следовательно, норма вектора сигнала будет пропорциональна его среднеквадратическому значению:

Простое геометрическое толкование имеют различные операции над сигналами. Например, если сигнал в канале искажается определенным образом, то пространство сигналов искривляется за счет определенного смещения каждой точки. Пропусканию сигнала через фильтр с полосой, меньшей ширины спектра, соответствует проектирование точки сигнала на некоторое подпространство, потому что такая фильтрация уменьшает число степеней свободы сигнала. Наконец, сложение сигнала с помехой означает смещение точки сигнала на величину, пропорциональную среднеквадратическому значению помехи. Если помеха носит случайный характер, то она образует некоторую область неопределенности около каждой точки пространства сигналов.

Геометрическая модель позволяет дать наглядное изображение процессов, происходящих в линиях связи.