Учебное пособие с заданиями

l

l

l

l

l

l

ГЛАВА XVII. РАСЧЕТЫ НА УДАРНУЮ НАГРУЗКУ

Ударом обычно называют такое явление, при котором скорости ударяемого тела и ударяющего тела за короткий промежуток времени изменяются до конечной величины. Точная теория удара связана с изучением местных деформаций в окрестности контакта (контактная задача теории упругости), а также

341

с явлением волнового распространения деформации в упругом теле и оказывается довольно сложной задачей.

В данном пособии рассматривается инженерная теория удара. Расчетные формулы получают, применив закон сохранения энергии. Эта теория является приближенной, она строится на следующих допущениях:

1)напряжения при ударе не превосходят предела пропорциональности, свойства материала не изменяются, поэтому закон Гука при ударе остается в силе;

2)соударяющиеся тела после удара не отделяются друг от

друг;

3)масса ударяемого тела считается пренебрежимо малой по сравнению с массой ударяющего тела;

4)вся энергия удара переходит в потенциальную энергию деформации ударяемого тела, потеря части энергии пренебрежимо мала.

17.1. Вертикальный удар

Обозначив кинетическую энергию падающего груза Q через Т, и учитывая, что она равна изменению потенциальной энергии груза, можно записать:

ударном приложении нагрузки Qд с высоты Н.

342

Динамическая деформация может быть выражена через статическую формулой

где δст – статическое перемещение той же точки ударяемого тела при статическом приложении силы Q .

Потенциальная энергия деформации стержня, накопленная при ударе, может быть выражена формулой

где с = Q = Qд ; с называется жесткостью стержня.

δст δд

На основании закона сохранения энергии при принятых допущениях справедливо равенство

Решая уравнение (16.4) относительно деформаций δд, по-

лучим наибольший корень:

Таким образом, в соответствии с зависимостью (17.2) находим коэффициент динамический:

в начале удара), получим:

343

энергия падающего груза к моменту соударения; Uст = 1 Qδст −

2

потенциальная энергия деформации стержня при статическом приложении нагрузки Q, коэффициент динамичности можно также выразить формулой

Если Н = 0 (внезапный удар), то kд = 2.

Поскольку обычно Н >> δст , то в выражении (16.8) можно пренебречь единицей под корнем, получая следующие формулы:

Учитывая линейную связь между напряжением и деформацией, а также принимая одинаковыми модули упругости при статическом и ударном действии нагрузки, по аналогии с формулой (16.2) можно записать связь между статическим и динамическим напряжениями:

где σст – напряжение, возникающее в стержне при действии силой, равной весу падающего груза.

Динамическая нагрузка при ударе равна

344

16.2. Горизонтальный удар

Кинетическая энергия движущегося груза

После того как груз коснется ударяемого тела, скорость его начнет уменьшаться. Когда вся кинетическая энергия груза перейдет в потенциальную энергию деформации ударяемого тела, груз остановится, а перемещение δд точки удара будем макси-

мальным. Потенциальная энергия деформации

Приравнивая кинетическую энергию движущегося груза потенциальной энергии деформации ударяемого тела и учиты-

Умножив в подкоренном выражении зависимости (16.15) числитель и знаменатель на ускорение свободного падения, получим

Следовательно, коэффициент динамический

345

Формула (17.17) аналогична формуле (17.7). Динамическое напряжение и динамическая нагрузка опре-

деляются по тем же формулам, что и при вертикальном ударе,

σд = kдσст, Fд = kдFст.

Учет массы ударяемого тела

С учетом массы ударяемого тела коэффициент динамический может быть записан в следующем виде:

β = Qc ,

Q

где Qс – вес ударяемого тела; Q – вес ударяющего элемента; a – коэффициент приведения массы ударяемого тела.

Этот коэффициент имеет для каждого конкретного случая свое значение, данные по ним приводятся в справочных таблицах по сопротивлению материалов. Так,

· при продольном ударе о стержень постоянного попереч-

ного сечения α = 1 ; 3

· при грузе, падающем на середину двухопорной статиче-

ски определенной балки, α = 17 ; 35

· на конце консольной балки α = 33 . 140

Учет массы ударяемого тела приводит к повышению точности расчета, а соответственно – и к снижению расхода материала, т.к. коэффициент динамический при учете этого фактора снижается.

Рекомендации по снижению динамических напряжений при ударе

Снижение напряжений при ударе может быть достигнуто следующими путями:

1) увеличением объема материала, подвергаемого удару упругого стержня постоянного сечения;

346

2)в стержне с выточкой эффект может быть получен за счет уменьшения площади утолщенной части и увеличения тем самым деформативности стержня; этой же цели можно добиться, взяв материал с более низким модулем упругости;

3)увеличением длины стержня;

4)применением буферных пружин, различных податливых прокладок на шарнирно подвижных опорах.

Ударная вязкость

Ударной вязкостью материала ак называется величина ра-

боты разрушения образца, отнесенная к площади его поперечного сечения в месте надреза.

Для оценки способности материала сопротивляться ударным нагрузкам применяют особый вид испытаний ударным изгибом – определение ударной вязкости надрезанных образцов. Эти испытания проводят на маятниковых копрах.

Испытания позволяют оценить особое качество металла – его склонность к хрупкости при динамических нагрузках в условиях сложного напряженного состояния в области надреза и решить вопрос о применимости того или иного материала для данных условий работы. Именно в таких условиях работают многие детали машин, имеющие отверстия, канавки для шпонок и т.д.

На ударную вязкость сталей, например, сильное влияние оказывают температура, структура, химические добавки и другие факторы. При снижении температуры ударная вязкость уменьшается. При этом существует интервал температуры, называемый критическим, когда ударная вязкость снижается особенно быстро. Ударная вязкость для сталей одной и той же плавки с мелкозернистой структурой значительно выше, чем с крупнозернистой.

Ударная хрупкость может появляться и при повышенных температурах. Например, ударная вязкость углеродистых сталей значительно снижается в интервале температур 200–550 °С.

347

17.3. Примеры расчета на ударные нагрузки

Пример 1

Сравнить динамическое напряжение в стержнях постоянного и переменного сечений (рис. 17.3, а, б). Определить переме-

[σ] =160 МПа, d1 = 60 мм.

Решение

σд = σст × Kд,

действующей статически, а также эпюру изгибающего момента

348

· для рамы переменного сечения:

б

тогда σд = 267 =1,18. σад 226

Увеличение жесткости на участке ВС привело к увеличению динамического напряжения на 18 %.

Определим допустимую высоту падения для рамы постоянного сечения.

Коэффициент динамический Kд = 5,3 при высоте паде-

ния 4,22 см.

Вычислим динамическое перемещение при допустимой высоте падения:

δд = δст × Kд = 4,83×5,3 = 25,6 мм.

Вопросы для самопроверки

1.Что такое явление удара?

2.Упрощения, принимаемые в технической теории удара.

3.Как определяется динамическое перемещение и напряжение, коэффициент динамический?

4.Раскройте определение динамического коэффициента при вертикальном и горизонтальном ударах (частные случаи).

5.Как влияет масса ударяемого тела на динамический коэффициент?

350