Учебное пособие с заданиями

кающие при этом силы инерции, удары, вибрации играют весьма существенную роль.

Такие нагрузки, а также вызванные ими напряжения и деформации называются динамическими. В случае динамической нагрузки любой элемент конструкции в каждый момент времени можно рассматривать как находящийся в состоянии равновесия под действием внешних сил, характеризующих действие соседних элементов, и сил инерции, как известно из принципа Д’Аламбера.

В некоторых случаях динамическую обобщенную силу Fд можно представить в следующем виде:

Fд = Fст × Kд.

Под Fст подразумевается обобщенная сила, возникающая при статическом нагружении. Kд – динамический коэффициент. Определив динамическую силу, можно вычислить динамическое напряжение и динамическую деформацию для соответствующего вида нагружения.

Найденное значение динамического напряжения сравнивается с допускаемым напряжением, полученным для материала на основании статических экспериментальных исследований.

16.2.Влияние сил инерции

16.2.1.Стержень, движущийся по направлению своей продольной оси

Стержень АВ (рис. 16.1) поднимается вверх силой, приложенной к концу А. При равномерном движении на каждый элемент стержня будет действовать только сила тяжести с наибольшим значением ql в сечении А. При равномерно ускоренном движении с ускорением а на каждый элемент длиной dz, кроме его веса qdz, будут действовать силы инерции, имеющие в данном случае то же направление, что и сила тяжести. Для определения величины сил инерции, действую-

331

щих на элемент, нужно массу элемента q dz помножить на ус- g

корение а. Продольная сила в сечении z будет равна

При опускании стержня сила инерции и сила тяжести имеют разный знак, следовательно,

Если бы к нижнему концу стержня был подвешен груз Q, то для растягиваемого усилия в сечении А выражение для динамической силы имело бы вид

16.2.2. Вращающийся стержень

Вращающийся стержень представлен на рис. 16.2. При вращательном движении элементов конструкций инерционные силы обычно значительно превосходят статическую составляющую в формуле (16.3). В связи с этим можно принять правомерным соотношение

Fд » Fин.

332

Для рассмотренных случаев, представленных на рис. 16.1, 16.2, условие прочности имеет вид

σд = Nд £ [σ] .

A

В сравнении с задачами статики в задачах динамики из условия прочности могут быть решены условия по определению допускаемых скоростей движения и допускаемых длин элементов конструкций.

333

16.2.3. Вращающееся кольцо (обод маховика)

Кольцо (рис. 16.3) нагружено при вращении с постоянной скоростью w равномерно распределенной по окружности инерционной радиальной нагрузкой. Если в поперечном сечении кольцо имеет площадь А, а удельный вес материала равен g, то вес единицы длины кольца будет равен А×g, а соответствующая центробежная сила инерции на единицу

длины дуги будет равна

Рассматривая равновесие элемента кольца (рис. 16.4), можно увидеть, что для него справедливо единственное уравнение равновесия: сумма проекций всех сил на центральный радиус должна быть равна ну-

лю. Ввиду того, что толщина кольца – величина малая, можно принять, что напряжения будут равномерно распределены по сечению. Учитывая это, получаем уравнение

Из выражения (16.12), после некоторых сокращений, следует:

g

где v = ωR - окружная скорость.

Напряжение, как и в случае вращающегося стержня (16.11), не зависит от площади поперечного сечения.

Для обода маховика важно, чтобы от возникающих сил инерции, приводящих к растяжению дуги окружности кольца, приращение его радиуса не превышало величину технологического натяга, полученного при насадке обода на маховик.

334

Учитывая, что напряженное состояние в кольце (ободе маховика) линейное, можно записать: σ = εЕ .

С учетом выражения (16.14) получим

γv2 =

εE . (16.15)

g

Определим относительную деформацию ε. При увеличении радиуса кольца R на величину u длина дуги его станет равной 2π(R + u) . Тогда относительная деформация

где [δ] – величина натяга при насадке обода на маховик.

16.2.4. Динамические системы, вращающиеся вокруг оси, лежащей в плоскости системы

Для заданного ломаного стержня (рис. 16.5, а), вращающегося вокруг оси АВ с постоянной угловой скоростью ω, требуется найти допускаемое число оборотов в минуту, если известны геометрические характеристики динамической системы, физические и механические характеристики материала.

Для решения задачи определим величины и распределение инерционной нагрузки во всех элементах ломаного стержня (см. рис. 16.5). В стержнях 1 и 5 инерционные силы принимаем равными нулю.

В стержнях 2, 4 выделим элемент длиной dz на расстоянии z от оси вращения, определим величину элементарной центробежной силы dFин, действующей на этот элемент.

335

Так как инерционная нагрузка направлена по радиусу от центра, то она создает только продольную составляющую силу, интенсивность которой составляет

где β = γAω2 . g

336

В стержнях 2 и 4 интенсивность инерционной нагрузки изменяется по линейному закону, достигая максимума в предельном удалении от оси вращения. В стержне 3 интенсивность инерционной нагрузки будет постоянной.

При расчете динамической системы собственным весом стержней обычно пренебрегают по причине, указанной выше.

Для определения реакций на опорах запишем уравнение статического равновесия системы.

Примем l = a , тогда:

Проверка:

∑Fy = 0,

337

-RA - RB + 1 β× a × a × 2 + β× a × 2a = 0, 2

βa2 (-1,8 -1, 2 +1+ 2) = 0.

Запишем выражения силовых факторов (N, Q, Mизг) на участках.

Определим экстремальное значение изгибающего момента на 3-м участке.

Q( z0 ) = -RA + βaz0 = 0, z0 = RA = 1,8βa2 = 1,8a.

βa βa

0 £ z5 £ 2l, N (z5 ) = 0, Q(z5 ) = RB = 1, 2β×a2 , M (z5 ) = -RB × z5.

Эпюры силовых факторов приведены на рис. 16.5, в, г, д. При определении опасного сечения из анализа эпюры сило-

вых факторов следует, что наиболее опасными сечениями могут быть два сечения: сечение I стержня 3 с наибольшим изгибающим моментом Мизг = 2,65ba2 и сечение II стержня 4 с момен-

том Мизг = 2,4ba2 и продольной силой N = 1,2ba2. Условие прочности для сечения 1 (сечение круглое):

338

Для определения предельного значения скорости вращения в формуле (16.21) вместо допускаемого напряжения [s] необходимо подставить предел текучести sт.

Условие прочности для сечения II:

Из полученных двух значений чисел оборотов, рассчитанных по условиям прочности сечений I и II, в качестве допускаемой величины берем наименьшее.

Вопросы для самопроверки

1.Какие задачи в курсе сопротивления материалов относятся к задачам динамики?

2.Что учитывает динамический коэффициент?

3.Почему при вращательном движении не учитывают собственный вес системы?

339

4. Какие дополнительные задачи решаются в задачах динамики в сравнении с задачами статическими?

Для лучшего усвоения материала рекомендуется изучить источники [1] (гл. 13, § 91); [2] (гл. 16, § 49).

Контрольная работа № 16.

Расчет динамических систем. Вращающийся ломаный стержень

Вал и жестко соединенная с ним рама того же поперечного сечения вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси вала (рис. 16.6, табл. 16.1).

Требуется:

1.Определить силы инерции, действующие на элементы конструкции. Построить эпюру сил инерции.

2.Построить эпюры силовых факторов (N, Q, M).

3.Определить возможные опасные сечения.

4.Вычислить допускаемое и предельное число оборотов вала.

Таблица 16.1

340