итог3
.pdf
92
ì |
2 |
t |
|
|
|
ïx = arctg |
|
|
|
||
3.5.7. í |
|
|
1 |
; |
|
ïy = arcsin |
|
|
|||
t |
|
|
|||
î |
|
|
|
|
|
ì |
2 |
|
|
|
|
3.5.9. íx = (1-t |
)ctgt |
|
|||
|
; |
||||
îy = (t -1)tgt |
|
|
|||
ì |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
ïx = log5 (1+ t |
) |
|||||||
|
||||||||
3.5.8. í |
|
|
|
|
|
|
; |
|
ï |
|
t + 2 |
|
|
|
|||
îy = |
|
|
|
|
||||
ì |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
ïx = t ×sin |
t |
|
|
|||||
|
|
|
||||||
3.5.10. í |
cos2t |
; |
|
|
||||
ïy = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
||
î |
|
|
|
|
|
|
||
3.6.1. Записать уравнение касательной к линии y = 
x - 4 в точке с абсциссой x = 8 .
3.6.2. Выяснить, в какой точке кривой y = |
x2 |
- 7x + 5 касательная па- |
|
4 |
|||
|
|
раллельна прямой y = 2x + 5 .
3.6.3.Записать уравнение нормали к линии y = 
x + 4 в точке с абс- циссой x = −3.
3.6.4.Выяснить, в какой точке кривой y = 7x2 -5x + 4 касательная перпендикулярна прямой 23y + x −1 = 0 .
3.6.5.Найти, какой угол образует с осью обсцисс касательная к параболе
y = x2 -5x + 7 в т. M (2;1) .
3.6.6. Записать уравнение касательной к кривой y = x3 - 2x2 + 4x - 7
вточке с ординатой y = 1.
3.6.7.Записать уравнение нормали к кривой y = x3 - 5x2 + 2x -8 в точке с ординатой y = 2 .
3.6.8. Определить угловой коэффициент касательной к кривой x2 - y2 + xy -11 = 0 в точке (3;2) .
3.6.9. В какой точке кривой y2 = 4x3 касательная перпендикулярна к прямой x + 3y −1 = 0 .
3.6.10.Выяснить, в какой точке кривой y = sin 2x касательная состав- ляет с осью OX угол π / 4.
93
3.7.1.Траектория движения тела – кубическая парабола 12y = x3 . В ка- ких ее точках скорость возрастания абсциссы и ординаты одинаковы?
3.7.2.Закон движения материальной точки S = 34 t2 − 3t + 7 . В какой момент времени скорость ее движения будет равна 2 м/с?
3.7.3. Тело движется по прямой OX |
по закону x = |
1 |
t3 |
− |
|
7 |
t2 |
. Опреде- |
||
3 |
2 |
|||||||||
лить скорость и ускорение движения тела. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
3.7.4. Тело, брошенное вверх, движется по закону S = − |
t3 |
. В какой |
||||||||
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
момент времени скорость тела станет равна нулю? Найти наибольшую высоту подъема тела.
3.7.5. Скорость тела, движущегося прямолинейно, определяется форму-
лой V = 3t + t2 . Какое ускорение будет иметь тело через 4 с? После начала движения?
3.7.6. Тело массой 100 кг движется прямолинейно по закону S = 2t2 + 3t +1. Определить кинетическую энергию 0,5mv2 тела через 5 с
после начала движения.
3.7.7. Заряд, проходящий через проводник, начиная с момента времени t = 0 , определяется формулой Q = t3 − 9t2 +15t +1. В какие моменты вре-
мени сила тока в проводнике будет равна нулю?
3.7.8. Тело массой 6 т движется прямолинейно по закону. Требуется вы- числить кинетическую энергию S = −1+ ln(1+ t) + (t +1)3 тела через 1 с
после начала движения.
3.7.9. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки S = 3t3 + 2t −1. Найти скорость и ускорение через 1 секунду после начала
движения. |
|
|
|
OX |
|
|
3.7.10.Тело |
движется |
по |
прямой |
согласно |
закону |
x = t3 − 2t2 + 3t . Определить скорость и ускорение движения. В какие мо- |
|||
3 |
|
|
|
менты тело меняет направление движения? |
|
|
|
3.8. Найти дифференциал функции: |
|
4 − x |
|
3.8.1. y = tgarccos(2x ) ; |
3.8.2. y = ln |
; |
|
|
|
x3 −1 |
|
94
3.8.3. |
y = arcsin |
|
|
|
x2 |
|
|
; |
|
|
|
|
3.8.4. |
y = ctg |
ln x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
y = arccos |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
y = 2x2×ctgx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3.8.5. |
|
|
x +1 |
|
|
|
3.8.6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3.8.7. |
y = arcctg |
; |
|
|
|
|
|
|
|
3.8.8. |
y = x × |
|
1- x3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
×tgx2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3.8.9. y = 3 |
(x - 2)2 |
|
|
|
3.8.10. y = x2 ×lg(x2 -1) ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.9. Исследовать функцию и построить график |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3.9.1. |
y = |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.9.2. |
y = |
1- 2x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x2 |
- |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3.9.3. |
y = |
x3 |
-1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.9.4. |
y = |
x2 |
+16 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
- x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3.9.5. |
y = |
|
|
|
x |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.9.6. |
y = |
x2 |
+ 4 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x2 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3.9.7. |
y = |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.9.8. |
y = |
(x +1) |
2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(x |
+1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x - 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3.9.9. y = |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.9.10. y = |
|
x3 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
- x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
- 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3.10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.10.2. y = |
x -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3.10.1. y = |
|
|
64 - x2 ;[-3;4] ; |
|
|
|
;[0;3] ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
π ù |
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
|
|
ù |
|
|
|
|
|||||||||
3.10.3. y = 2sin x + sin 2x;ê0; |
4 |
ú |
; |
3.10.4. y = x |
|
×ln x;ê |
|
|
|
;eú |
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ëe |
|
û |
|
π |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
é |
|
|
|
|
ù |
|
|||||||
3.10.5. y = x |
|
|
- 2x |
|
|
+ 3;[-2;3]; |
|
|
3.10.6. y = sin x - |
|
|
|
|
|
;ê-π |
; |
|
ú |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x - 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 6 |
|
|
ë |
|
|
|
|
û |
|
||||||||||||||||||||
3.10.7. y = |
|
|
|
;[-2;5] ; |
|
|
|
3.10.8. y = |
|
|
|
;[-4;4] ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 +10 |
|
|
|
x2 +12 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
π ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.10.9. y = cos |
|
x |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
100 - x |
2 |
;[1;5] ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
- cos2x;ê- |
3 |
3 |
ú ; 3.10.10. y = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
95
Контрольные вопросы к экзамену
1.Определение предела функции в точке.
2.Вычисление пределов элементарных функций в точке, принадлежащей области определения.
3.Виды неопределенностей и способы их раскрытия.
4.Первый и второй замечательные пределы.
5.Понятие бесконечно малой величины. Сравнение бесконечно малых.
6.Основные свойства пределов.
7.Применение понятия бесконечно малой для вычисления пределов.
8.Определение непрерывной функции в точке.
9.Определение производной, её геометрический и механический смысл.
10.Связь понятий непрерывности и дифференцируемости.
11.Основные правила нахождения производных. Производная сложной функции.
12.Таблицы основных производных.
13.Дифференциал функции и его геометрический смысл.
14.Производные и дифференциалы высших порядков: определения, нахож- дение.
15.Правило Лопиталя и его применение к вычислению пределов.
16.Применение пределов и производных к исследованию функций и по- строению их графиков. (Промежутки возрастания и убывания, выпукло- сти и вогнутости, точки экстремума, точки перегиба, асимптоты).