Кузнецовой Теория электрических цепей часть 2

Ниже остановимся подробно на реактивных фильтрах, состоящих только из реактивных элементов, собранных в каскадные (цепные) схемы. При этом воспользуемся соотношениями, полученными в теории четырехполюсников. В основу анализа каждого фильтра заложена зависимость постоянной передачи Γ и характеристических сопротивлений от частоты ω. Будем рассматривать две модификации фильтров: Т- и П-образные.

3.2. РЕАКТИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ

Простейшие реактивные Т- и П-образные фильтры представлены на рис. 3.1.

Определим А-параметры для симметричного Т-образного фильтра (см. рис. 3.1, а) через параметры эквивалентной схемы замещения в соответствии с формулами (2.19):

А-параметры для симметричного П-образного фильтра (см. рис. 3.1, б) в соответствии с формулами (2.20):

111

Таким образом, параметры А11 и, соответственно, А22 для обеих схем имеют схожие формулы определения.

Исследуем фильтрующие свойства четырехполюсника. В соответствии с (2.29) для симметричных четырехполюсников

ch2Γ = A11 A22 = A112 ,

следовательно, chΓ = A11 .

Установим связь между коэффициентом ослабления Α и коэффициентом фазы Β и параметром А11 на всем диапазоне частот:

=ch Αcos Β+ jsh Αsin Β.

Вполосе пропускания, где для любого симметричного реактивного фильтра затухание равно нулю ( Α = 0 ), выполняется условие

112

поскольку только в этом случае выполняется условие (3.5), которое называют условием пропускания реактивного фильтра. При этом вводят обозначение Z1 Z 2 = k 2 > 0 , где k называют номинальным харак-

теристическим сопротивлением фильтра. Фильтры, где выполняется это условие, называют фильтрами типа k или k-фильтрами.

Введем нормированную переменную

тогда условие пропускания запишется как ν <1 .

Введение нормированной переменной v позволяет получить универсальные характеристики для фильтров высоких и низких частот.

Граничной частоте полосы пропускания соответствует ν =1 . При этом значение коэффициента фазы Β в полосе пропускания определяется из соотношения

1 − 2ν2 = cos Β,

Β = 2arcsin ν .

Таким образом, для полосы пропускания справедливы соотношения:

Для полосы затухания выполняются условия ν >1 , cos Β = ±1 или Β = ±π, тогда

при заданном Β = ±π коэффициент A11 = ±ch Α , тогда

1 − 2ν2 = ±ch Α.

113

Наиболее эффективным режимом работы фильтра является режим согласованной нагрузки, обеспечивающий прохождение сигналов в заданной полосе частот с наименьшим затуханием. Рассмотрим характеристики согласованного режима работы электрических фильтров. Для этого выразим А-параметры Т-образного симметричного фильтра через параметры реактивных сопротивлений и коэффициент k:

114

A21 = 1 .

Z 2

Тогда характеристическое (повторное) сопротивление Т-образ- ного фильтра определится по формуле

Аналогичные выкладки произведем для П-образного фильтра:

Характеристическое сопротивление П-образного фильтра оп-

ределится по формуле

115

Таким образом, при заданном коэффициенте k для определения характеристических сопротивлений Z CТ и Z CП достаточно только

одной функции X1 (ω) или X 2 (ω) , представленной аналитически или

графически (полученной, кроме прочего, экспериментальным путем). В результате анализа соотношений (3.11) и (3.13) можно прий-

ти к выводу, что характеристические сопротивления Z CТ и Z CП ак-

тивны в полосе пропускания и реактивны (имеют индуктивный или емкостный характер) в полосе затухания. Следует отметить, что рассматриваемая здесь теория фильтров предполагает нагрузку фильтра согласованной, хотя в действительности согласовать нагрузку на всем диапазоне частот невозможно.

В соответствии с правилом знаков характер сопротивлений Z CТ и Z1 всегда совпадает. При этом Z CТ и Z CП всегда разнореактивные.

Мощность, потребляемая согласованной нагрузкой, является активной мощностью и определяется как

2

P2 = RI22 = U2 , (3.14)

R

где I2 и U2 – действующие ток и напряжение на выходе фильтра. Входное сопротивление симметричного фильтра, работающего

в согласованном режиме нагрузки, в области пропускания также равно R, и поэтому мощность на входе фильтра

где I1 и U1 – действующие ток и напряжение на входе фильтра. Поскольку рассматривается идеальный реактивный фильтр, ак-

тивная мощность внутри фильтра не расходуется и поэтому P = P .

1 2

В соответствии с (3.14) и (3.15) следует, что

I1 = I2 , U1 =U2 ,

и затухание равно нулю.

116

Следует отметить, что идеальная частотная характеристика, имеющая диапазоны частот с нулевым затуханием и диапазоны частот с бесконечно большим затуханием, недостижима даже при полном согласовании реактивного фильтра с источником и нагрузкой. Трудность получения желаемых характеристик заключается еще и в том, что для полного согласования частотные характеристики приемника и источника должны изменяться по такому же закону, что и характеристические сопротивления фильтра. Последнее трудно осуществимо. С целью увеличения значения коэффициента затухания в полосе затухания фильтр составляют из нескольких реактивных звеньев, соединенных в согласованный каскад, при этом коэффициенты затухания отдельных звеньев суммируются.

3.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ СРЕЗА

Частоту, являющуюся граничной между полосой пропускания и полосой затухания, называют частотой среза.

Из (3.5) следует, что частоты среза удовлетворяют условиям:

чески, если заданы частотные характеристики Z1 и Z 2 .

Пример. Для фильтра, изображенного на рис. 3.3, а, частотные

В предыдущем разделе было показано, что в полосе пропускания фильтр имеет активное характеристическое сопротивление,

117

♦на интервале от ω1 до ∞: Z1х > 0 и Z1к > 0 − индуктивные, следовательно, Z1C − индуктивное (рис. 3.4, б).

Качественный вид графика функции Z1C = f (ω) представлен на рис. 3.4, в. Полоса частот, в которой Z1C имеет действительное значение (представляет собой активное сопротивление), соответствует полосе пропускания фильтра, ограниченной частотами ω1 и ω2 , в пределах которой Z1х и Z1к имеют разные знаки. Вне этой полосы Z1х и Z1к имеют одинаковые знаки, и, следовательно, характеристи-

ческое сопротивление имеет мнимые значения (является реактивным сопротивлением), показанные на рис. 3.4, в пунктирной линией.

Данное положение является общим для всех типов фильтров без потерь.

Далее рассмотрим более подробно фильтры по пропускаемым частотам.

3.5. КЛАССИФИКАЦИЯ ФИЛЬТРОВ ПО ПРОПУСКАЕМЫМ ЧАСТОТАМ

Как было отмечено выше, в указанной классификации выделяют фильтры низких частот (ФНЧ), высоких частот (ФВЧ), полосовые и заграждающие (режекторные). Качественные зависимости коэффициента ослабления от частоты представлены на рис. 3.5.

119

3.5.1. Фильтры низких частот

Схемы простейшего низкочастотного фильтра представлены нарис. 3.6. Установим соответствия между обозначениями на рис. 3.1

и рис. 3.6.

L/2 L/2 L

для Т-схемы (см. рис. 3.1, а и рис. 3.6, а) и

для П-схемы (см. рис. 3.1, б и рис. 3.6, б)

120