Билет 1. Векторы. Линейные операции над векторами и их свойства.

• ||Вектор – это направленный отрезок.

• ||Коллинеарные векторы – это векторы, лежащие на одной или параллельных прямых.

  • а ↑↑b a ↑↓b

• ||Компланарные векторы – это три (или более) вектора, лежащие в одной плоскости

• Операции:

  • Сложение (правила треугольника и параллелограмма)

  • Умножение на число

• || Пусть даны два вектора aи b. Поcтроим равные им векторы ABи BC. Тогда вектор ACназывается суммой векторов aи bи обозначается

• Свойства сложения

  • 

  • 

  • 

  • a + (-a) = 0

• || Произведением вектора aна вещественное число αназывается векторb, удовлетворяющий следующим условиям:

  • 

  • 

  • 

(Если же α=0, то из первого условия следует, что b=0.)

Произведение вектора а на число α обозначается α*a

• Свойства умножения

  • 

  • 

• Для любых векторов a, bиc и любых чисел выполненно:

  • 

  • 

  • 

  • 

  • 

  • 

  • 

  • 

• ||Вектор (-1)*a обозначается –a. Разность векторов aи bназывается суммой векторов aи –b. Она обозначается a-b.

Билет 2. Базис, теорема разложения вектора по базису, координаты вектора.

• || Базисом в векторном пространстве называется упорядоченная линейно независимая система векторов такая, что любой вектор этого пространства по ней раскладывается.

  • В нулевом пространстве базиса не существует.

  • В одномерном пространстве (на прямой линии) базис состоит из одного ненулевого вектора

  • В двумерном пространстве (на плоскости) базис состоит из упорядоченной пары некомпланарных векторов.

  • В трёхмерном пространстве базис – упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

• ||Система векторов называется линейно независимой, если нулевой вектор раскладывается по ней единственным образом.

• || Три (или более) вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.

• Базис называется правым, если тройка правая, и наоборот.

• || Ортонормированным правым базисом называется базис, у которого

  • Векторы единичной длины

  • Попарно ортогональны (перпендикулярны)

• ТЕОРЕМА О РАЗЛОЖЕНИИ ПО БАЗИСУ:

  • Всякий вектор однозначно разлагается по ортонормированному базису.

• Разложение вектора по базису (Письменный с. 35).

• ||Так как векторы базиса линейно независимы, коэффициенты разложения по базису для каждого вектора пространства определены однозначно. Они называются компонентами или координатами вектора в этом базисе.

• При умножении вектора на число все его компоненты увеличиваются на это число. При сложении векторов складываются их соответствующие компоненты

Билет 3. Действия над векторами в координатах, деление отрезка в заданном отношении.

Действия над векторами с заданными проекциями.

• Пусть векторы заданы своими проекциями на оси координат или, что тоже самое:

• Линейные операции над векторами

  • Так как линейные операции над векторами сводятся к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов, то можно записать:

    • 

• Доказательство:

Если и то

• При умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр

• Доказательство:

Если , то

Деление отрезка в заданном отношении.

• Если точка лежит на прямой, проходящей через две данные точки , и дано отношение , в котором точка М делит отрезок , то координаты точки М определяются по формулам:

• Доказательство:

Найдём координаты точки М на отрезке , которая делит этот отрезок: .

Это условие можно переписать в виде . разложим обе части по базису:

Билет 4. Скалярное произведение векторов, свойства, вычисление в прямоугольных декартовых координатах.

• || Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается символом ab

Скалярное произведение можно так же выразить формулой

• ab>0 если – острый

• ab<0 если - тупой

• ab=0 если векторы a и b перпендикулярны

Скалярное произведение aa называется скалярным квадратом и обозначается символом . Из формулы следует, что каждый скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: .

• Свойства скалярного произведения:

  • 

  • 

  • 

  • 

  • 

  • 

  • 

• Если векторы a и b заданы своими координатами:

То их произведение высчитывается по формуле:

Угол находится из формулы или в координатах:

Билет 5. Векторное произведение векторов, свойства и вычисление в прямоугольных декартовых координатах

• Векторным произведением называется такой третий вектор, который

  • Имеет длину, равную произведению длин векторов на

  • Вектор направлен перпендикулярно обоим сомножителям

  • Направление вектора [ab] соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы a, b и [ab] приведены к общему началу, большой палец правой руки направлен по первому сомножителю, а указательный – по второму, то средний палец будет направлен по вектору [ab].

• Геометрические свойства векторного произведения

  • Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

  • Модуль векторного произведения [ab] равняется площади параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах a и b.

• Алгебраические свойства векторного произведения

  • 

  • 

  • 

  • 

  • 

• Векторное произведение двух векторов удобнее всего находить по формуле

• Доказательство:

Билет 6. Смешанное произведение векторов, свойства, вычисление в прямоугольных декартовых координатах.

Смешанным произведением трех векторов a,b,c называется число равное векторному произведению [ab], скалярно умноженное на вектор c. И обозначается [ab]c.

Смешанное произведение векторов a,b,c равно объему параллелепипеда, построенного на векторах а, b, с, взятому со знаком плюс, если тройка a,b,c правая, и со знаком минус, если эта тройка левая. Если векторы а, b, с компланарны (и только в этом случае), смешанное произведение abc равно нулю; иначе говоря, равенство

есть необходимое и достаточное условие компланарной векторов.

Свойства:

• Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. .

• Смешанное произведение не меняется при перемене местами векторного и скалярного произведений, т.е.

• Смешанное произведение меняет знак при перемене местами любых двух сомножителей, т.е.

• Смешанное произведение равно нулю только тогда когда векторы компланарны.

Вычисление в прямоугольных декартовых координатах:

Пусть заданы векторы . Найдем их смешанное произведение, используя выражения в координатах для векторного и скалярного произведений.

Полученную формулу можно записать короче:

Билет 7. Уравнения линий на плоскости и поверхностей в пространстве. Теорема о геометрическом смысле уравнении первой степени с 2 и 3 неизвестными.

• || Уравнение называется уравнением линии L (в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты x и y любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

• Из определения следует, что линия L представляет собой множество всех тех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению . Это уравнение задаёт линию L.

• Линия L может определяться уравнением вида , где - полярные координаты точки.

• || Уравнение является уравнением поверхности S в заданной системе координат, если ему удовлетворяют координаты любой точки , и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности.

• Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей, то есть как множество точек, находящихся одновременно на двух поверхностях, и соответственно этому определять линию заданием двух уравнений.

• Теорема о геометрическом смысле линейного уравнения с тремя неизвестными.

  • Пусть давно уравнение

- прямоугольные декартовые координаты в трёхмерном пространстве.

Уравнение 1 с условием на коэффициенты при неизвестных 2 задаёт в прямоугольных декартовых координатах плоскость π.

• Пусть , тогда

• 

• 

Выясним геометрический смысл 5

Вывод: все точки M, координаты которых удовлетворяют 5, принадлежат плоскости π, которая перпендикулярна нормальному вектору n и содержит точку

Аналогично с двумя неизвестными

Билет 8. Различные типы уравнений прямой на плоскости и плоскости в пространстве.

• Общее уравнение прямой

Рассмотрим уравнение первой степени относительно x и y в общем виде, где А, В, С – произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно. Покажем, что приведенное выше уравнение – уравнение прямой линии. Возможны 2 случая.

• Если, то уравнение имеет вид , причем , отсюда . Это есть уравнение прямой, параллельной оси Oy и проходящей через точку

• Если, то . Это уравнение прямой с угловым коэффициентом

• Частные случаи уравнения прямой:

  • Если , то . Прямая параллельна оси Оx

  • ЕслиВ = 0, то . Прямая параллельна оси Oy

  • Если, то получаем , прямая проходит через начало координат.

• Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Пусть прямая проходит через точку М и ее направление характеризуется угловым коэффициентом к. Уравнение этой прямой можно записать в виде , где b – пока неизвестная величина. Так как прямая проходит через точку М, то координаты точки удовлетворяют уравнению , отсюда . Подставив значение b в уравнение , получим искомое уравнение

• Уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

Пусть прямая проходит через точки . Уравнение прямой проходящей через точку имеет вид , где к- пока неизвестный коэффициент. Так как прямая проходит через точку , то координаты точки должны удовлетворять уравнению . Отсюда находим , подставляя k в уравнение получим уравнение прямой проходящей через точки .

Предполагается что . Если , то прямая параллельна оси ординат, если же , то прямая параллельна оси абсцисс.

• Уравнение прямой в отрезках

Пусть прямая пересекает ось О_Х в точке М₁(a;0), а ось О_Ув точке М₂(0;b). В этом случае уравнение примет вид: , т.е. . Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках так как числа а и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

• Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору

Найдем уравнение прямой проходящей через заданную точку М₀ и перпендикулярно некоторому вектору n(А;В). Возьмем на прямой произвольную точку М(Х;У) и рассмотрим вектор поскольку векторы перпендикулярны их скалярное произведение равно 0. .

• Уравнение плоскости, проходящей через данную точку , перпендикулярно данному вектору

Пусть в пространстве O_XYZ плоскость Qзадана точкой M₀(X₀;Y₀;Z₀) и вектором n(A;B;C) перпендикулярным к этой плоскости. Возьмем на плоскости точку M(X;Y;Z). Построим вектор M₀M=(X-X₀;Y-Y₀;Z-Z₀). Вектора M₀Mиn перпендикулярны и их скалярное произведение равно 0..

• Общее уравнение плоскости

Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными xyz

, предполагая, что один из коэффициентов неравен 0. НапримерВ.

Получим

• Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки

Найдем уравнение плоскости. Проходящей через точки , не лежащих на одной прямой. Возьмем на плоскости точку M(X;Y;Z) и соответственные вектора: M₁M=(X-X₁;Y-Y₁;Z-Z₁), M₂M=(X-X₂;Y-Y₂;Z-Z₂), M₃M=(X-X₃;Y-Y₃;Z-Z₃) из условия компланарной получаем: M₁M*M₂M*M₃M=0(смешанное произведение равно 0).

• Уравнение плоскости в отрезках

Пусть плоскость отсекает на осях отрезки a, b, c и проходит через точки A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) подставляем координаты точек в уравнение и получаем:

Найдем определитель такое уравнение называетсяуравнением плоскости в отрезках.

• Нормальное уравнение плоскости

Положение плоскости Q вполне определяется заданием единичного вектора е, имеющего направление перпендикуляра ОК, опущенного на плоскость из начала координат, и длиной p этого перпендикуляра. Пусть ОК =р , аα,β,γ – углы, образованные единичным вектором е с осямиОх, Оу, Oz. Тогда . Возьмем на плоскости произвольную точку М(х; у; z) и соединим её с началом координат. Получим вектор. Проекция радиус вектора r на направление вектора е равна

. Это уравнение называется нормальным уравнением плоскости в векторной форме. Зная координаты r и руравнение приобретает вид это нормальное уравнение плоскости в координатной форме.

Билет 9. Различные типы уравнений прямой в пространстве, их взаимосвязь.

– направляющий вектор, то есть Возьмем (Векторное параметрическое уравнение прямой)

• Исключим из (2) t

(коэффициенты в знаменателе могут равняться нулю.)

• Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей. Рассмотрим систему уравнений

• Каждое из уравнений этой системы определяет плоскость. Если плоскости не параллельны (координаты векторов не пропорциональны), то система 4 определяет прямую как геометрическое место точек пространства, координаты которых удовлетворяют каждому из уравнений системы

• От общих уравнений можно перейти к каноническим. Координаты точки получаем из системы уравнений 4, придав одной из координат произвольное значение (например, z=0).

• Так как прямая перпендикулярна векторам , то за направляющий вектор прямой можно принять векторное произведение

Замечание: все рассмотренные типы уравнений прямой переносятся на случай прямой на плоскости исключением третьих координат векторов.

Билет 10. Определение расстояния от точки до плоскости и до прямой на плоскости, до прямой в пространстве. Определение расстояния между скрещивающимися прямыми в пространстве.

• Определение расстояния от точки до плоскости

  • Пусть задана точка и плоскость Q своим уравнением

  • . Расстояние d от точки до плоскости рассчитывается по формуле:

Расстояние d равно модулю проекции вектора , где – произвольная точка плоскости Q, направление нормального вектора . Следовательно,

А так как точка принадлежит плоскости Q, то отсюда . Поэтому

• Если плоскость задана уравнением , то

• Определение расстояния от точки до прямой на плоскости

Пусть заданы прямая L уравнением и точка . Расстояние d от точки до прямой равно модулю проекции вектора , где – произвольная точка на прямой, направление нормального вектора . Следовательно

А так как точка принадлежит прямой L, то отсюда . Поэтому

• Определение расстояния между скрещивающимися прямыми

Пусть – скрещивающиеся прямые. Натянем на них параллелепипед, тогда расстояние будет равно объему параллелепипеда деленному на его основание и равно его высоте:

Билет 11. Определение углов между плоскостями, между прямыми на плоскости и в пространстве, между прямой в пространстве и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей.

• Вычисление углов между плоскостями.

  • Пусть заданы 2 плоскости

    • 

    • 

  • 

  • 

• Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

  • 

  • 

• Вычисление углов между прямыми на плоскости

  • Пусть заданы 2 прямые

    • 

    • 

  • 

  • 

• Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

  • 

  • 

• Вычисление угла между прямыми в пространстве

  • Пусть заданы две прямые

    • 

    • 

  • 

  • 

• Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.

  • 

  • 

• Вычисление угла между прямой и плоскостью в пространстве

  • Пусть заданы прямая и плоскость

    • 

    • 

  • 

  • 

  • 

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве

Билет 12. Кривые 2-го порядка как геометрические места точек на плоскости. Канонические уравнения кривых (вывод одного из них)

• Линии, которые задаются уравнением вида: . Коэффициенты уравнения – действительные числа, но по крайней мере одно из чисел A, B, или C отлично от нуля. Данное уравнение определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу и параболу.

• Уравнения кривых второго порядка:

  • Окружность:

Эллипс: Обозначим фокусы через расстояние между ними через 2с, а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов – через 2а. по определению: . Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат Оху так, чтобы фокусы лежали на оси Ох, а начало координат совпадало с серединой отрезка . Тогда фокусу будут иметь следующие координаты и . Пусть M(x; y) – произвольная точка эллипса. Тогда, согласно определению эллипса, , т. е. . Это по сути и есть уравнение эллипса. Преобразуем его к более простому виду:

Так как , то . Допустим, что , тогда последнее уравнение примет вид или это и есть каноническое уравнение эллипса

• Гипербола:

• Парабола:

Билет 13. Исследование свойств кривых второго порядка по их каноническим уравнениям.

• ЭЛЛИПС

  • Каноническое уравнение кривой

    • 

  • Исследование формы эллипса по его уравнению.

    • Параметры называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно).

    • Точки

    • Оси симметрии

    • Центр симметрии

    • Точки , называются фокусами эллипса

    • Векторы

    • Числа , принадлежащей эллипсу.

      • 

    • В частном случае фокусы совпадают с центром, а каноническое уравнение имеет вид:

    • Эксцентриситет

    • Директрисы

      • 

• ГИПЕРБОЛА

  • Каноническое уравнение кривой

    • 

  • Исследование формы гиперболы по её уравнению.

    • Параметры называются полуосями гиперболы

    • Точки

    • Оси симметрии

    • Центр симметрии

    • Прямые

    • Точки

    • Векторы

    • Числа , принадлежащей гиперболе.

      • 

    • Эксцентриситет

    • Директрисы

      • 

    • В частном случае , гипербола называется равносторонней; её эксцентриситет равен , а угол между асимптотами равен

• ПАРАБОЛА

  • Каноническое уравнение кривой

    • 

  • Исследование формы параболы по её уравнению.

    • Число называется параметром параболы

    • Точка вершина параболы

    • Ось

    • Точка

    • Вектор

    • Число - фокальный радиус точки параболы

    • Директриса

Билет 14. Директрисы и эксцентриситет кривых второго порядка. Фокальные свойства и общий подход к заданию уравнений кривых второго порядка в полярной системе координат.

• Директрисы и эксцентриситет

  • Эллипс

    • Эксцентриситет – мера сплюснутости. Если эксцентриситет равен 0, то эллипс = окружность. ,

    • Директрисы – прямые параллельные главной оси и проходящие на расстоянии от центра

• Сумма расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов равна 2а

• Гипербола

  • Эксцентриситет – мера сплюснутости. Если , то гипербола равносторонняя. ,

  • Директрисы – прямые перпендикулярные действительной оси и проходящие на расстоянии от ее центра

• Модуль разности расстояний от точек гиперболы до фокусов равен 2а

• Парабола

  • Директриса – прямая перпендикулярная оси и проходящие на расстоянии от вершины параболы

• Общий подход к заданию уравнений кривых второго порядка в полярной системе координат

Говорят, что на плоскости введена полярная система координат , если заданы:

• некоторая точка О, называемая полюсом;

• некоторый луч и, исходящий из точки О и называемый полярной осью

Полярными координатами точки называются два числа: по­лярный радиус и полярный угол ) — угол, на который следует повернуть ось u для того, чтобы ее направление совпало с направлением вектора (при этом, как обычно, , если поворот осуществляется против часовой стрелки, и в против­ном случае). Запись означает, что точка М имеет полярные координаты r и φ.

Полярный угол имеет бесконечно много возможных значений (отличающихся друг от друга на величину вида ). Значение полярного угла, удовлетворяющее условию , называется глав­ным. В некоторых случаях главным значением полярного угла называют значение φ, удовлетворяющее условию

Пусть на плоскости введены правая декартова прямоугольная си­стема координат Оху (т.е. такая, что кратчайший поворот от оси Ох к оси Оу происходит против часовой стрелки) и полярная система (О;u), причем полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. То­гда связь между декартовыми прямоугольными и полярными координа­тами произвольной точки дается формулами

Уравнение кривой в полярных координатах имеет вид или . Оно может быть получено либо непосредственно, исходя из геометрических свойств кривой, либо переходом к полярным коорди­натам в уравнении этой кривой, заданном в декартовых прямоугольных координатах.

Билет 15. Линейные пространства и подпространства, примеры линейных пространств и подпространств.

Будем строить теорию линейных пространств, не заботясь о природе их элементов, а задавая только операции над ними, да и то не конкретно, а с помощью их свойств (св-в операций).

• Определение линейного пространства

  • || линейным пространством называется множество с элементами произвольной природы, для которого:

    • Определена операция сложения

    • 

  • Эти операции предполагаются удовлетворяющими следующим 8 аксиомам:

    • +

    • 

    • 

    • 

    • 

    • 

    • 

    • 

• Примеры линейных пространств

  • Для выяснения, является ли конкретное множество с заданными на нём операциями сложения и умножения на число линейным пространством, нужно проверить возможность ввести операции «+» и «*» и справедливость всех 8 аксиом

  • Примеры

    • Множество действительных чисел

    • Множество

    • Множество многочленов в степени, не превышающей n

      • 

• Матрицы

• 

• 

• 

  • 

  • 

    • 

    • 

    • 

    • 

    • 

    • 

    • 

    • 

Билет 16. Линейная зависимость, свойства линейно зависимых и независимых систем векторов в линейном пространстве.

• – линейная комбинация в L (1)

  • Назовем 1 тривиальной комбинацией если все коэффициенты обращаются в 0

  • Назовем 1 нетривиальной комбинацией если

• Система векторов линейного пространства называется линейно зависима если существует её нетривиальная комбинация равная нуль-вектору.

• Система векторов линейного пространства называется линейно независимой если любая из ее линейных комбинаций равна 0 и является тривиальной.

• Простейшие свойства

  • Теорема 1. Критерий линейной зависимости.

Система векторов линейно зависима тогда когда хоть один из ее векторов является линейной комбинацией остальных.

линейно зависима, тогда:

; (2)

• Теорема 2. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима

- линейно зависима

, тогда (3)

Из 3 следует, что система линейно зависима.

• Теорема 3. Если любая подсистема линейно независима, то и вся система линейно независима.

- линейно независима

, тогда – линейно независима, но тогда вся система линейно независима

• Геометрические свойства линейной зависимости

  • Теорема 4. Тройка компланарных векторов в линейно зависима

предположим, что противном случае для , тогда пара векторов будет линейно зависима, а значит и вся система будет линейно зависима.

Если не компланарна, то по теореме о разложении по базису

и тогда система будет линейно зависима.

• Теорема 5. Любые 4 вектора в линейно зависимы.

Как и в Т.4 предположим, что некомпланарные вектора, иначе система будет линейно зависима. Но тогда – базис , то есть любой четвертый вектор будет линейной комбинацией трех других, значит вся система линейно зависима.

Билет 17. Базис и размерность линейного пространства, теорема о разложении по базису.