3 Дифракция

33

ИЗУЧЕНИЕ ДИФРАКЦИОННЫХ ЯВЛЕНИЙ

Цель работы: наблюдение дифракционной картины от круглого отверстия, узкой щели и дифракционной решетки. Определение ширины щели по дифракционной картине. Определение длин волн спектральных составляющих естественного света.

Приборы и принадлежности: Квантовый генератор (лазер), источник естественного света, оптическая скамья, экран с набором круглых отверстий, экран с узкой щелью, дифракционная решетка, экран для наблюдения дифракционной картины, линейка.

Сведения из теории

Дифракцией называется совокупность явлений, наблюдаемых при распространении света в среде с резкими неоднородностями (вблизи границ непрозрачных или прозрачных тел, сквозь малые отверстия и т.п.) и связанных с отклонениями от законов геометрической оптики. Дифракция приводит к огибанию световыми волнами препятствий и проникновению в область геометрической тени.

Между интерференцией и дифракцией нет существенного физического различия. Оба явления заключаются в перераспределении светового потока в результате суперпозиции волн.

Различают два вида дифракции. Если источник S и точка наблюдения Р расположены от препятствия настолько далеко, что лучи, падающие на препятствие, и лучи, идущие в точку Р, образуют практически параллельные пучки, говорят о дифракции в параллельных лучах или о дифракции Фраунгофера. В противном случае говорят о дифракции Френеля.

Дифракция от круглого отверстия. Зоны Френеля.

Чтобы понять суть метода, разработанного Френелем, определим амплитуду светового колебания, возбуждаемого в точке Р сферической волной, распространяющейся в однородной и изотропной среде из точечного источника S (рис.1). Волновые поверхности такой волны симметричны относительно прямой SP. Воспользовавшись этим, разобьём изображенную на рис.1 волновую поверхность на кольцевые зоны, построенные так, что расстояния от краев каждой зоны до точки Р отличаются на /2 (  - длина волны в той среде, в которой распространяется волна). Обладающие таким свойством зоны называются зонами Френеля.

На рис.1 видно, что расстояние b_m от внешнего края m-ой зоны до точки Р равно

(1)

(b – расстояние от вершины волновой поверхности О до точки Р).

Рис.1

Колебания, приходящие в точку Р от аналогичных точек двух соседних зон (т.е. точек, лежащих в середине зон или у внешних краёв зон и т.д.) находятся в противофазе. Поэтому и результирующие колебания, создаваемые каждой из зон в целом, будут для соседних зон отличаться по фазе на .

Из рис.2 следует, что

(2)

( - радиус волновой поверхности, радиус внешней границы m-ой зоны). Возведя скобки в квадрат, получим

(3)

(4)

Рис. 2

Решая систему уравнений (3) и (4) относительно h_m, получим

(5)

Из равенства (3) можно найти радиусы зон. При не слишком больших m высота сегмента h_m << a, поэтому можно считать, что

(6)

Подставив значение (5) в (6) и пренебрегая ввиду малости  слагаемыми, содержащими ², получим выражение для радиуса внешней границы m-ой зоны

(7)

Поставим на пути сферической волны непрозрачный экран с вырезанным в нём круглым отверстием радиусом r_m. Расположим экран так, чтобы перпендикуляр, опущенный из источника света S на экран , попал в центр отверстия (рис 2). На продолжение этого перпендикуляра выберем точку наблюдения. Тогда m - число открытых первых зон Френеля , построенных для точки P . Расстояние b_m от зоны до точки Р медленно растет с номером зоны m. Угол  между нормалью к элементам зоны и направлением на точку Р также растет с m. Таким образом, амплитуды колебаний, возбуждаемых в точке Р зонами Френеля, образуют монотонно убывающую последовательность:

A₁ > A₂ > A₃ > . . .> A_m > A_m+1 . . .

Фазы колебаний, возбуждаемых соседними зонами, отличаются на . Поэтому амплитуда А результирующего колебания в точке Р может быть представлена в виде

А = А₁ – А₂ + А₃ – А₄ + А₅ - … . (8)

В это выражение все амплитуды от нечетных зон входят с одним знаком, а от четных - с другим. Напишем выражение (8) следующим образом:

(9)

Вследствие монотонного убывания A_m можно считать, что

. (10)

Тогда выражения в скобках (9) будут равны нулю и формула (9) упрощается:

(11)

Согласно (11) амплитуда, создаваемая в некоторой точке Р всей сферической волновой поверхностью , равна половине амплитуды, создаваемой одной лишь центральной зоной. Если на пути волны поставить непрозрачный экран с отверстием, оставляющим открытой только центральную зону Френеля, амплитуда в точке Р будет равна А₁, т.е. в два раза превзойдет амплитуду (11). Соответственно интенсивность света в точке Р будет в четыре раза больше, чем в отсутствие преград между точками S и P.

Поместим на пути сферической волны непрозрачный экран (рис.2) с вырезанным в нем круглым отверстием радиусом R = r_m (см. формулу (7)). Тогда число открытых зон Френеля определяется выражением

. (12)

Согласно (9) ряд амплитуд будет ограничен числом m. Перед А_m берётся знак плюс, если m нечётное и знак минус, если m чётное. Тогда использую формулы (9) и (10) получим следующий результат

, (13)

где знак плюс берётся для нечётных, а знак минус для чётных значений m.

Для малых m амплитуда A_m мало отличается от А₁. Следовательно, при нечётных m амплитуда в точке Р будет приближённо равна А₁, при чётных m – нулю. Таким образом, преграда с отверстием, открывающим небольшое нечётное число зон Френеля, не только не ослабляет освещённость в точке Р, но, напротив, приводит к увеличению амплитуды почти в два раза, а интенсивности – почти в четыре раза.

В следствие симметричного расположения отверстия относительно прямой SP освещённость разных точках экрана будет зависеть только от расстояния до точки Р. При перемещении точки наблюдения по экрану интенсивность определяется действием открытых чётных и нечетных зон Френеля (рис.3).

Рис.3

Дифракция Фраунгофера от узкой бесконечной щели.

Рис.4

Пусть на очень длинную узкую прямоугольную щель ширины b падает по нормали к ней плоская световая волна (рис.4).

Поместим за щелью собирающую линзу, а в фокальной плоскости линзы – экран. Волновые поверхности падающей волны, плоскость щели и экран параллельны друг другу. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля элементарные участки открытой части волновой

поверхности являются источниками вторичных волн. Разобьем открытую часть волновой поверхности на параллельные краям щели зоны Френеля, ширина которых b/N. Каждая зона создает в точке Р колебание, амплитуда которого, очевидно, обратно пропорциональна числу зон N:

Поместим за щелью собирающую линзу, а в фокальной плоскости линзы экран. Волновые поверхности падающей волны, плоскость щели и экран параллельны друг другу. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля элементарные участки открытой части волновой поверхности являются источниками вторичных волн. Разобъём открытую часть волновой поверхности на параллельные краям щели зоны Френеля, ширина которых b/N. Каждая зона создаёт в точке Р колебание, амплитуда которого, очевидно, обратно пропорциональна числу зон N:

(14)

Разность хода лучей, идущих от краёв щели, =b sin (рис.4). Следовательно, разность хода лучей для двух соседних зон равна (b/N) sin . Соответственно разность фаз колебаний, возбуждаемых в точке Р соседними зонами,

(15)

Итак, в точке Р интерферируют N волн с одинаковой амплитудой А₀/N, сдвинутых друг относительно друга по фазе на угол , определяемый формулой (15). Таким образом мы имеем дело с многолучевой интерференцией и можем для нахождения амплитуды А_ в точке Р воспользоваться соответствующей формулой:

(16)

Это выражение является приближенным. Оно будет тем точнее, чем уже элементарные зоны, т.е. чем больше N. При очень больших N синус в знаменателе можно заменить углом. Поэтому окончательное выражение для амплитуды в точке Р имеет вид:

(17)

Индекс  указывает на то, что имеется в виду амплитуда, создаваемая лучами, идущими под углом  к нормали к щели.

При , стремящемся к нулю, lim (sin  / ) = 1 ( при малых  можно полагать sin   ). Поэтому при  = 0 дробь в выражении (17) превращается в единицу. Отсюда следует, что А₀ есть амплитуда в середине дифракционной картины (против центра линзы).

Из формулы (17) вытекает, что при значениях , удовлетворяющих условию: (b/) sin  =  k, т.е. в случае, если

b sin  =  k (k = 1,2,3…)

амплитуда (и соответственно интенсивность) обращается в нуль. Таким образом, условие (18) определяет положение минимумов интенсивности.

Условие (18) легко можно получить из следующих соображений. Если разность хода  от краёв щели равна  k, открытую часть волновой поверхности можно разбить на 2k равных по ширине зон, причём разность хода от краёв каждой зоны будет равна /2. Колебания от каждой пары соседних зон взаимно погашают друг друга, так что результирующая амплитуда равна нулю. Если для точки Разность хода  равна  (k+1/2), или

b sin  = (k+1/2) (18)

число зон окажется нечётным, действие одной из них окажется нескомпенсированным и наблюдается максимум интенсивности.

Рис.5.

При ширине щели, меньшей длины волны, минимумы вообще не возникают. В этом случае интенсивность света монотонно убывает от середины дифракционной картины к её краям.

Если измерить расстояние между максимумами k-го порядка (k=1,2,3,…), то с учётом малости угла  (рис.5) получим

(19)

Ширина щели может быть определена по формулам (18) и (19), если измерены расстояния L и l_k и известна длина волны падающего света.

Дифракция от дифракционной решётки.

Дифракционной решёткой называется оптический прибор, состоящий из большого числа одинаковых, отстоящих друг от друга на одно и тоже расстояние щелей. (Рис.6).

Рис.6

Расстояние d между серединами соседних щелей называется периодом решётки.

Расположим параллельно решётке собирающую линзу, в фокальной плоскости которой поместим экран. Плоская волна падает на решётку нормально. В соответствие с принципом Гюйгенса-Френеля распределение интенсивности на экране определяется суперпозицией волн, приходящих в точку наблюдения от различных щелей дифракционной решётки. Главный дифракционный максимум будет наблюдаться при таких углах , для которых волны, приходящие в точку наблюдения от всех щелей решётки, оказываются в одинаковой фазе, т.е. разность фаз волн от двух соседних щелей кратна 2:

, (20)

где  - разность фаз; =d sin - разность хода; k = 0,1,2, ….- порядок дифракционного максимума;  - длина волны падающего света.

Таким образом, условие главных максимумов для дифракционной решётки выглядит следующим образом:

(21)

Дифракционная решётка изготавливается из стекла или металла. На материале с помощью делительной машины через строго определённые расстояния нанесены параллельные штрихи.

Описание установки

Лазер 1 с линзой 2 и рейтеры 3,4 укреплены на оптической скамье (рис.7).

Р ис.7.

На рейтере 3 может быть укреплен экран с набором круглых отверстий, экран со щелью или дифракционная решетка. На рейтере 4 укреплен экран для наблюдения дифракционной картины. Длина волны лазерного излучения составляет 633 нм.

Порядок выполнения работы

Наблюдение дифракции от круглого отверстия.

1. Укрепите экран с круглым отверстием в рейтере 3.

2. Укрепите экран для наблюдения дифракционной картины в рейтере 4.

3. Перемещая рейтер 3, пронаблюдайте за изменением дифракционной картины при различных диаметрах отверстия.

4. Зарисуйте несколько вариантов дифракционной картины и объясните их на качественном уровне.

Определение ширины щели.

1. Уберите линзу.

2. Укрепите экран со щелью в рейтере 3.

3. Регулируя ширину щели и расстояние до экрана 4, получите чёткую дифракционную картину.

4. Измерьте расстояние между центрами дифракционных максимумов 1-го, 2-го и 3-го порядка (l_1, l₂, l₃)

5. Измерьте расстояние от щели (3) до экрана L (4).

6. По формулам

определить ширину щели.

7. Рассчитайте среднее значение и погрешности измерения.

Определение длин волн спектральных составляющих естественного света.

1. Укрепите экран с дифракционной решёткой в рейтере 3 и установите его соосно с источником естественного света.

2. Получите на экране чёткую дифракционную картину в виде ряда вертикальных монохроматических полос.

3. Измерьте расстояние между центрами полос красного, синего и зелёного цвета в 1-м и 2-м порядках.

4. Измерьте расстояние от решётки до экрана.

5. По формулам (19) и (21) с учетом значения постоянной решётки (постоянная решётки сообщается преподавателем) определите длины волн соответствующих спектральных линий.

6. Для каждого цвета рассчитайте среднее значение.

Контрольные вопросы

1. Каковы характерные особенности лазерного излучения.

2. Как изменяется интенсивность в центре дифракционной картины при дифракции Френеля в зависимости от числа открытых зон.

3. Что происходит с дифракционной картиной Фраунгофера при увеличении (уменьшении) характерного размера препятствия.

4. В чём качественное отличие в распределении интенсивности дифрагированного света, обусловленной дифракцией Френеля и Фраунгофера.

5. Как изменяется дифракционная картина при увеличении ширины щели?

6. Как качественно изменяется дифракционная картина с увеличением числа штрихов на единицу длины при дифракции Фраунгофера на одномерной дифракционной решётке.

Задания для отчета по лабораторной работе

1. Имеется круглое отверстие в непрозрачной преграде, на которое падает плоская световая волна. За отверстием расположен экран. Что будет происходить с интенсивностью света в центре наблюдаемой на экране дифракционной картины, если экран удалять от преграды?

2. Точечный источник света с =500 нм помещен на расстоянии a=0.5 м перед непрозрачной преградой с отверстием r=0.5 мм. Определить расстояние b от преграды до точки, для которой число m открываемых отверстием зон Френеля будет равно: а) 1, б) 5, в) 10.

3. Между точечным источником света и экраном поместили диафрагму с круглым отверстием, радиус которого r можно менять. Расстояния от диафрагмы до источника и экрана равны a=100 см и b=125 см. Определить длину волны света, если максимум освещенности в центре дифракционной картины на экране наблюдается при r₁=1.00 мм и следующий максимум при r₂=1.29 мм.

4. Расстояние от точечного источника света (=0.5 мкм) до плоской диафрагмы с круглым отверстием радиусом r=1 мм и экраном составляет a=1 м. Определить расстояние b от экрана до диафрагмы, при котором отверстие открывало бы для центральной точки Р три зоны Френеля.

5. Как изменится интенсивность света в точке Р (см. задачу 4), если убрать диафрагму совсем?

6. На узкую щель падает нормально монохроматический свет. Угол  отклонения пучков света, соответствующих второй светлой дифракционной полосе, равен 1⁰. Скольким длинам волн падающего света равна ширина щели?

7. На щель шириной b=20 мкм падает нормально параллельный пучок монохроматического света (=500 нм). Найти ширину изображения щели на экране, удаленном от щели на расстояние l=1 м. Шириной изображения считать расстояние между первыми дифракционными минимумами, расположенными по обе стороны от главного максимума освещенности.

8. Свет с длиной волны 0.5 мкм падает на щель ширины 10 мм под углом 30⁰ к ее нормали. Найти угловое положение первых минимумов, расположенных по обе стороны центрального максимума.

9. Свет падает на щель по нормали. Будет ли перемещаться по экрану дифракционная картина от щели при перемещении щели параллельно самой себе?

10. Высота прямоугольной щели вдвое больше ее ширины. В какой плоскости свет будет размыт на больший угол – в горизонтальной или в вертикальной?

11. Дифракционную решетку, постоянная которой d=0.004 мм, освещают светом с длиной волны =687 нм. Найти угол дифракции для спектра второго порядка.

12. Определить длину волны ₂ для линии в дифракционном спектре третьего порядка, совпадающей с изображением линии спектра четвертого порядка, у которой длина волны ₁= 490 нм.

13. Какова ширина спектра первого порядка, полученного на экране, отстоящем на расстоянии L=3 м от дифракционной решетки с периодом d=0.01 мм? Длины волн спектра заключены в пределах от ₁=0.38 мкм до ₂=0.76 мкм.

14. Свет, падающий нормально на дифракционную решетку, состоит из двух резких спектральных линий с длинами волн ₁=490 нм (голубой свет) и ₂=600 нм (оранжевый свет). Первый дифракционный максимум для линии с длиной волны ₁ располагается под углом  = 10^. Найти угловое расстояние  между линиями в спектре второго порядка.

15. При падении на дифракционную решетку монохроматического света первый дифракционный максимум наблюдают под углом дифракции ₁=6.9⁰, а последний – под углом ₂=74⁰. Чему равен максимальный порядок спектра для данной решетки?

16. Какой наименьшей разрешающей силой R должна обладать дифракционная решетка, чтобы с ее помощью можно было разрешить две спектральные линии калия (₁=578 нм и ₂=580 нм)?

17. С помощью дифракционной решетки с периодом d=20 мкм требуется разрешить дублет натрия (₁=589.0 нм и ₂=589.6 нм) в спектре второго порядка. При какой наименьшей длине l решетки это возможно?

18. Определить угловую дисперсию D_ для угла дифракции =30⁰ и длины волны =600 нм.

19. Дифракционная решетка шириной 2.4 см содержит 16000 штрихов. Определить ее угловую дисперсию в первом и втором порядках.

20. Угловая дисперсия D_ дифракционной решетки для излучения некоторой длины волны (при малых углах дифракции) составляет 5 нм. Определить разрешающую силу R этой решетки для получения той же длины волны, если длина l решетки равна 2 см.

N вар	N вопросов и задач
	Баллы
	1	1	1	2
1	1	6	11	16
2	2	7	12	17
3	3	8	13	18
4	4	9	14	19
5	5	10	15	20