Лабораторная работа №6 определение момента инерции тел методом колебаний. Теорема штейнера

Цель работы- изучение крутильных колебаний вращающегося стола при разной массе системы и пружинах различной упругости

Приборы и принадлежности: лабораторный модуль ЛКМ-3 с вращающимся столом, два круглых груза, груз наборный, нить длиной 45 см (красная), измерительная система ИСМ-1 (секундомер), нижний ролик на стойке с двумя осями, две пружины с балками, измерительная линейка.

Краткая теория

При вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси каждая точка тела движется в плоскости, перпендикулярной оси, по окружности, центр которой лежит на оси. Линейная скорость точки тела v связана с угловой скоростью тела ω

v = ωr , (1)

где r- расстояние от точки тела до оси вращения.

Кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий всех частиц тела

(2)

где - элементарные массы, на которые мысленно разбито тело. Подставляя скорость v_i из формулы (1) в (2), получим

(3)

Величина

(4)

называется моментом инерции тела. Момент инерции характеризует распределение массы в твердом теле относительно оси вращения и является мерой инертности вращающегося тела.

Выражение для кинетической энергии вращающегося тела вокруг неподвижной оси, исходя из формул (3) и (4):

(5)

Для вычисления моментов инерции различных тел в формуле (4) выражают через плотность тела: = ρ ΔV_i , где ΔV_i - элементарный объем тела, и переходят к пределу ΔVi → 0. Тогда получим

(6)

Например, момент инерции однородного цилиндра (диска) относительно его оси гдеm - масса, R - радиус цилиндра. Момент инерции тонкого однородного стержня длиной L и массой m, проходящей через его центр,

Теорема Штейнера устанавливает связь между моментом инерции тела Iс относительно оси, проходящей через центр инерции, и моментом инерции I этого тела относительно другой оси, параллельной первой /

, (7)

где m - масса тела, а - расстояние между осями.

В настоящей работе измеряется момент инерции различных тел с помощью крутильного маятника. Этот маятник состоит из горизонтально расположенного поворотного стола, на котором могут закрепляться различные тела. На оси поворотного стола закреплен шкив радиусом R, с помощью которого столу может сообщаться вращательное движение. Через шкив перекинута нить, к концам которой прикреплены две пружины (рис. 1) c коэффициентами жесткости

k₁ и k₂.

В положении равновесия силы натяжения нити по разные

стороны от шкива одинаковы и

Рис.1 равны упругим силам, которые

согласно законуГука

(F_упр)_о = k₁ x_о1 = k₂ x_о2 , (8)

где x_о1 и x_о2 - величина растяжения пружин.

При отклонении от положения равновесия поворотный стол совершает колебания под действием сил упругости двух пружин. Величина деформации одной пружины x₁ = x_о1 + х , где х - отклонение от равновесного положения. Если нить нерастяжимая, то величина деформации другой пружины

х₂ = х_о2 - х.

Запишем потенциальную энергию деформации пружин

(9)

(10)

Если пренебрегать силами трения, то согласно закону сохранения механической энергии, полная механическая энергия, т. е. сумма кинетических и потенциальных энергий

(11)

не зависит от времени. Значит .

Вычисляя производную от выражения (11) по времени, получим:

(12)

Если нить не проскальзывает по шкиву поворотного стола, то х = Rφ,

где φ- угол поворота стола от положения равновесия, . Учитывая условие равновесия (8) и определение угловой скоростиполучим из уравнения (12)

(13)

Обозначим и - суммарный

коэффициент жесткости двух пружин. Тогда уравнение (13) принимает вид дифференциального уравнения гармонических колебаний:

(14)

Решение этого уравнения

φ(t) = A cos ( ω_о t + α ) , (15)

где А - амплитуда колебаний, ω_о - циклическая частота колебаний,

α - начальная фаза колебаний.

Период колебаний

(16)

Вданной работе находится момент инерции. Из формулы (16) следует

(17)