1. Вычисление площадей плоских фигур.

Если плоская фигура ограничена прямыми и кривыми, причем,, то её площадь вычисляется по формуле

.

В отдельных случаях левая граница (или правая граница) может выродиться в точку пересечения кривыхи. В этих случаях величиныиотыскиваются как абсциссы точек пересечения указанных кривых (см.рис.4.1.)

Если граница фигуры задана параметрическими уравнениями, то площадь фигуры вычисляется по одной из трёх формул:

,

где и - значения параметра,соответствующие началу и концу обхода контура в положительном направлении (при котором фигура ос­тается слева).

В полярных координатах площадь сектора, ограниченного дугой кривой и лучамии, выражается формулой

.

Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми ,и кривыми,.

Решение.

Так как максимум функции достигается в точке и равен 1, а функцияна отрезке, то (см. рис. 4.2.)

.

Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами ,.

Решение.

Решая систему уравнений

найдем ординаты точек пересечения кривых,.

Так как при,то

.

Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом

Решение.

Здесь удобно вычислить сначала

.

Отсюда

.

Пример.

Найти площадь фигуры, ограниченной одним лепестком кривой (лемниската).

Решение.

Правая часть уравнения кривой неотрицательна при значениях , для которых.

Поэтому первый лепесток лежит в угловом секторе, в котором

,т.е. .

Следовательно,

.

2. Вычисление длин дуг плоских кривых

Если плоская кривая задана уравнением в декартовых координатах и производнаянепрерывна, то длина дуги этой кривой вы­числяется по формуле

,

где и-абсциссы концов данной дуги.

Если кривая задана уравнениями в параметрической форме,и производные и непрерывны на отрезке, то длина дуги кривой выражается формулой

,

где и- значения параметра, соответствующие концам дуги .

Если кривая задана уравнением в полярных координа­тах, то длина дугикривой выражается интегралом

,

где и- значения полярного углав концах дуги.

Пример.

Вычислить длину дуги полукубической параболы , заключен­ной между точками и.

Решение.

Функция определена при. Поскольку данные точки и лежат в первой четверти, то.

Отсюда

,

.

Следовательно,

.

Пример.

Вычислить длину дуги развертки круга

отдо.

Решение.

Дифференцируя по, получим

,

откуда .

Следовательно,

.

Пример.

Найти длину первого витка архимедовой спирали.

Решение.

Первый виток архимедовой спирали образуется при изменении по­лярного угла от до. Поэтому

.

Вычислим первообразную для функции методом интегри­рования по частям:

.

Откуда

,

,

и, следовательно,

.

3. Вычисление объемов тел

Объем тела выражается интегралом

,

где - площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к осив точке с абсциссой.и- левая и правая границы изменения,непрерывна при.

Объем тела, образованного вращением вокруг оси криволиней­ной трапеции, ограниченной кривой, осью абсцисс и прямыми,, выражается интегралом

.

Объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ог­раниченной кривымиии пря­мымии, выражается формулой

.

Если кривая задана параметрически или в полярных координатах, то следует сделать соответствующую замену переменной в указанных формулах.

Пример.

Найти объем эллипсоида

.

Решение.

Сечение эллипсоида плоскостью есть эллипс

с полуосями и.

Следовательно площадь сечения

Поэтому объем эллипсоида

.

Положив, в частности,,получим объем шара

.

Пример.

Вычислить вокруг оси абсцисс объем тела, которое образуется при вращении одной арки циклоиды

вокруг оси абсцисс.

делаем замену переменной, полагая

.

0	0

.

Контрольная работа №4 по теме