Матричный способ решения систем.

Рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Введем следующие обозначения:

–матрица коэффициентов системы

– столбец неизвестных и столбец свободных членов, соответственно.

Тогда систему можно записать в матричной форме:

Пусть матрица имеет обратную матрицу.

Умножим матричное уравнение на ,получим

.

Заметив, что , получим

-решение матричного уравнения.

Переходя к координатной записи в последнем равенстве, выпишем решение исходной системы уравнений.

Построение обратной матрицы

Обратная матрица существует только для квадратной матрицы, определитель которой не равен нулю. Такая матрица называется невырожденной.

Пусть матрица - невырождена, т.е.

Построим союзную матрицу , которая составлена из алгебраических дополнений элементов матрицы, причём в столбцах матрицызаписываются алгебраические дополнения соответствующих строк этой матрицы.

, где

.

Обратная матрица имеет вид

Решим систему (см. пример 1) матричным способом.

Здесь

Решим матричное уравнение .

Составим обратную матрицу .

Выпишем все алгебраические дополнения для данной матрицы.

Составим матрицу

Решим матричное уравнение

Отсюда получаем решение системы:

Ответ:

Замечание.

Аналогично, матричным способом, можно решать любые системы уравнений снеизвестными, если только определитель системы не равен нулю.

Контрольная работа №1 по теме

«Элементы линейной и векторной алгебры»

1. Вычислить определитель.

1.1.1.		1.1.2			1.1.3.
1.1.4.		1.1.5			1.1.6.
1.1.7.		1.1.8			1.1.9.
1.1.10.

1.2. Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными тремя способами: методом Гаусса, по формулам Крамера и матричным способом.

1.2.1.		1.2.2.
1.2.3.		1.2.4.
1.2.5.		1.2.6.
1.2.7.		1.2.8.
1.2.9.		1.2.10.

2. Вычислить .

1.3.1.
1.3.2.
1.3.3.
1.3.4.
1.3.5.
1.3.6.
1.3.7.
1.3.8.
1.3.9.
1.3.10.

1.4. Даны векторы ,,,.

1. Показать, что ,,образуют базис и найти координаты векторав этом базисе.

2. Найти: a);

б);

в) ;

г);

д);

е) угол между векторами и.

1.4.1.
1.4.2.
1.4.3.
1.4.4.
1.4.5.
1.4.6.
1.4.7.
1.4.8.
1.4.9.
1.4.10.

1.5. Даны точки ,,,

1. Показать, что точки ,,,не лежат в одной плоскости.

2. Вычислить: а)объем пирамиды ;

б)длину ребра ;

в) площадь грани ;

г)угол между гранями и.

1.5.1.
1.5.2.
1.5.3.
1.5.4.
1.5.5.
1.5.6.
1.5.7.
1.5.8.
1.5.9.
1.5.10.