ВМ26

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра высшей математики

ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИКЕ

Часть 1

Методические указания

Печатаются по решению редакционно-издательского совета СГАСУ от 16.12.2013 г.

САМАРА

2014

1

УДК 51(076) П 69

Практикум по математике. Часть 1: методические указания / Cост.: М.Ю. Хлебникова,

П 69 Т.В. Шувалова. – Самара: СГАСУ, 2014. – 40 с.

В методические указания вошли все разделы математики, изучаемые студентами I курса всех специальностей в первом семестре. Сборник задач содержит справочный материал, основные теоретические положения, необходимые для решения задач и задания на аудиторные занятия. Задачи представлены по темам, систематизированы по методам решения, для некоторых приведены ответы. Также приведены варианты контрольных работ с ответами, что позволит студентам подготовиться к ним. Методические указания составлены в соответствии с рабочим планом кафедры высшей математики.

Рецензент – доцент кафедры ВМ СГАСУ, к.т.н. В.Г. Гумеров.

УДК 51(076)

©Хлебникова М.Ю., Шувалова Т.В., составление, 2014

©СГАСУ, 2014

2

Введение

Это пособие предназначено для студентов первого курса. В «Практикуме по математике» подобраны и методически распределены задачи по темам, изучаемым ими в первом семестре по математике.

В начале каждого раздела приведены формулы, определения и другие краткие пояснения теории, необходимые для решения последующих задач, в конце раздела имеются ответы. В пособие включены также разделы математики, которые должны быть изучены студентами самостоятельно. В конце каждой темы приведены варианты контрольных работ с ответами.

Безусловно, работа с пособием потребует от студентов не только определенных математических знаний и настойчивости, но и даст им возможность почувствовать радость самостоятельного открытия.

3

1. Функция, ее область определения и значений, график и свойства

Переменная y называется функцией переменной x , если каждому значению x поставлено в соответствие одно и только одно значение y, принадлежащее некоторому множеству Y. Областью определения D(y) функции у = f (x) называется множество всех значений аргумента х, для которых выражение f (x) определено (имеет смысл), т. е. D(y)=Х.

Области определения основных элементарных функций

Область определения любого многочлена – R,

; ;

; ; ;

; ;

,

.

Множеством(областью)значенийЕ(у)функцииy = f (x)называетсямножествовсехтаких чисел yо , для каждого из которых найдется число xо такое, что f (xо ) = yо , т. е. Е(у)=Y.

Области значений основных элементарных функций

Областьюзначенийвсякогомногочленачетнойстепениявляетсяпромежуток[т, + ∞),где т – наименьшее значение этого многочлена, либо промежуток (-∞, п], где п – наибольшее значение этого многочлена. Областью значений всякого многочлена нечетной степени является R.

; ;

; ;

; .

Графикомфункцииу = f (x) называетсямножествовсехточекплоскостискоординатами

(x ; f (x)), где .

Функция у = f (x) называется четной, если ее область определения D(y) симметрична относительно начала координат и для любого верно равенство f (-x) = f (x). График четной функции симметричен относительно оси OY. Функция у = f (x) называется нечетной, если ее область определения D(y) симметрична относительно начала координат и для любого верно равенство f (-x) = –f (x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего вида.

Функция у = f (x) называетсяпериодической, если существует число Т ≠ 0,чтодлялюбого

выполняется равенство:

.

4

Найдите множество значений функций:

Определите, какие из следующих функций четные, какие – нечетные, а какие – общего вида:

1.16. ; 1.17. ; 1.18. ; 1.19. .

Определите, является ли данная функция периодической, найдите ее наименьший положительный период, если он существует:

1.15. [2;+∞); 1.16. нечетная; 1.17. четная; 1.18. функция общего вида; 1.19. нечетная;

1.20. T = π2 ; 1.21. T = π5 ; 1.22. непериодическая.

5

Задачи

Приведите уравнение к каноническому виду, определите вид кривой и постройте ее в исходной системе координат:

Постройте линии в полярной системе координат, изменяя φ от 0 до 2π с интервалом π/8. Перейдите в декартову систему координат и определите вид кривой:

Дополнительные задачи

2.15.Составьте уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси OХ, симметрично относительно начала координат, зная что

2.16.Составьте уравнение гиперболы, если ее фокусы лежат на оси OY и расстояние между ними равно 10, а длина действительной оси равна 8.

2.17.Парабола симметрична относительно оси OХ, ее вершина находится в начале координат. Составьте уравнение параболы, зная, что она проходит через точку А(-3;-3).

2.18.Трос, подвешенный за два конца на одинаковой высоте, имеет форму дуги параболы. Расстояние между точками крепления 24 м. Глубина прогиба троса на расстоянии 3 м от точки крепления равна 70 см. Определите глубину троса посередине между крепления.

ОТВЕТЫ

7

3. Предел функции

Число b называется пределом функции y = f (x) при x→a (т.е. ), если для

всех значений х, достаточно близких к числу а, соответствующие значения y = f (x) будут как угодно мало отличаться от b. Можно находить предел функции f (x), когда х стремится к своей предельной точке a только слева, и тогда получим левосторонний предел f (x),

ваются односторонними.

Функция f(x) имеет при x→a предел, если . Если элементарная функция f (x) определена в точке x = a, тo .

Число b называется пределом функции f (x) при x→a (), если для произвольно малой окрестности точки b существует () такая окрестность точки a, что для всех значения , или:

.

Функция y = f (x) называется бесконечно большой при x→a, если (или +∞,

или -∞), ∞ – символ бесконечно большой функции. Функция y = f (x) называется бесконечно малой при x→a, если 0 – символ бесконечно малой функции. Функция y = f (x)

называется ограниченной на множестве X, если и такие, что при .

Операции с бесконечно малыми, ограниченными и бесконечно большими функциями

Правила вычисления пределов:

3., кроме случая .

4., кроме случая .

5. , кроме случаеви.

6., кроме случаев.

7., если , конечный или бесконечный.

8

С помощью графиков основных элементарных функций найдите: