Пример 2 Условие задачи

На балку кроме равномерно распределенной нагрузки действует линейно распределенная (треугольная) нагрузка (рис. 4.7, а). Построим эпюры распределения поперечной силы и изгибающего момента, обращая внимание на определение Q и М на участке с треугольной нагрузкой.

Решение

Найдем опорные реакции. Балка имеет шарнирное опирание и для определения двух не равных нулю опорных реакций R_A и R_B (горизонтальная реакция H_A = 0) составим два независимых уравнения статики. Рациональными уравнениями, в каждое из которых входит одна неизвестная реакция, в данном случае являются:

; ,

; .

Напомним как определяется момент от треугольной нагрузки. Равнодействующая от треугольной нагрузки равна площади треугольника и приложена в центре тяжести треугольника, поэтому плечо этой равнодействующей относительно точкиА равно , а относительно точкиВ – . Из этих уравнений найдемR_A = – 31,9 кН, R_B = – 18,1 кН. Отрицательные знаки показывают, что обе реакции направлены не вверх, как показано на рис. 4.7, а, а в противоположную сторону. Для проверки опорных реакций составим уравнение равновесия "сумма проекций сил на вертикальную ось z равна нулю":

; .

Определение внутренних усилий производим, записывая выражения для Q и М в таблицу (табл. 2).

Поясним выражения для Q и М на втором участке, а именно третьи слагаемые в этих выражениях, учитывающие треугольную нагрузку. Чтобы найти равнодействующую от треугольной нагрузки, расположенной слева от рассматриваемого сечения на участке длиной х₂, определим интенсивность распределенной нагрузки в сечении х₂, которая на рис. 4.7, а обозначена . Для этого составим пропорцию: , откуда. Тогда равнодействующая этой распределенной нагрузки на участке длинойх₂ . Она приложена в центре тяжести треугольника, и изгибающий момент, создаваемый этой нагрузкой, равен, где– плечо равнодействующей.

Таблица 2

Поскольку поперечная сила на втором участке меняет знак, найдем экстремальное значение изгибающего момента в сечении х₀ на этом участке (рис. 4.7, б). Определим величину х₀, приравняв выражение для поперечной силы на втором участке нулю:

, откуда х₀ = 2,89 м. Тогда

кН·м

Рис. 4.7. К решению примера 2 по построению эпюр Q иМ:

а– схема балки с нагрузками;

б – эпюры поперечной силы и изгибающего момента

По полученным в таблице выражениям строим эпюры внутренних усилий. Напомним, что выпуклость эпюры М направлена в сторону распределенной нагрузки. Выпуклость эпюры Q на втором участке можно определить по знаку второй производной . В данном случае функцияявляется убывающей, следовательно, а. Это означает, что эпюраQ имеет выпуклость вниз. Можно определить выпуклость эпюры поперечной силы и по-другому. В сечении, где интенсивность распределенной нагрузки равна нулю (начало второго участка в данной задаче), угол наклона касательной к кривой Q(x) должен равняться нулю, так как в этом сечении . Это возможно тогда, когда функцияQ(x) имеет выпуклость вниз.

После того, как Вы нарисовали эпюры, рекомендуем обязательно проанализировать их по правилам проверки правильности построения эпюр.