31

3. Расширенная числовая прямая. Промежутки. Окрестности точек Содержание

§ 3. Расширенная числовая прямая. Промежутки. Окрестности точек 29

3.1. Расширенная числовая прямая 29

3.2. Промежутки расширенной числовой прямой 30

3.3. Окрестности точек числовой прямой 31

3.4. Основные свойства окрестностей 31

3.5. Принцип вложенных отрезков 32

3.6. Упражнения для самостоятельной работы 34

Вопросы для самопроверки 38

Глоссарий 38

1. Расширенная числовая прямая

Часто бывает удобно дополнить множество действительных чисел ещё тремя элементами:

+ — называется «плюс бесконечность»,

– — называется «минус бесконечность»,

 — называется «бесконечность без знака».

Дополненное множество не противоречит аксиомам его определения, если условиться считать, что для верным является следующее:

1)

2) элементы + и – связаны отношением порядка с ; элемент  в отношениях порядка не участвует;

3)

Множество , дополненное тремя элементами и , называется расширенным множеством действительных чисел или расширенной числовой прямой и обозначается .

Элементы ,  называют бесконечно удаленными точками расширенной числовой прямой, а все числа называют конечными точками числовой прямой.

2. Промежутки расширенной числовой прямой

Пусть . Промежутками расширенной числовой прямой называются следующие множества:

— отрезок числовой прямой;

— интервал числовой прямой;

— полуинтервалы числовой прямой.

Точки a и b называют концами промежутка; точки x такие, что a < x < b называют внутренними точками промежутка.

Если a и b — это числа, т.е. принадлежат , и , то промежуток с концами a и b называют конечным промежутком и число называют длиной конечного промежутка (или его мерой).

Свойство промежутков

Промежутки всех типов расширенной числовой прямой обладают следующим свойством: если точки , принадлежат некоторому промежутку с концами , то весь отрезок принадлежит этому промежутку. Например, как это показано на рис. 17.

или Рис. 17

3. Окрестности точек числовой прямой

Окрестностью конечной точки числовой прямой называется любой интервал, содержащий точку (рис. 18); обозначение окрестности точки : .

В частности, симметричный относительно точки интервал называется -окрестностью конечной точки (рис. 18); обозначение -окрестности точки :

Рис. 18

Определения -окрестностей бесконечно удаленных точек :

(рис. 19)	Рис. 19
(рис. 20)	Рис. 20
(рис .21)	Рис. 21

Пример (-окрестности точек )

Запишем -окрестности некоторых точек, положив  = 1 и  = 0,1:

если  = 1, то	, , , ;
если  = 0,1, то	, , , .

4. Основные свойства окрестностей

Свойство 1 (о существовании непересекающихся окрестностей)

У любых двух различных точек расширенной числовой прямой всегда существуют непересекающиеся окрестности (рис. 22). Рис. 22 Так как окрестность каждой точки можно «измерить» (описать) числом , то рассматриваемое свойство для -окрестностей записывается так:

Свойство 2 (о пересечении двух окрестностей)

Пересечение двух окрестностей одной и той же точки (конечной или бесконечно удаленной) является также окрестностью этой точки (рис. 23). Рис.23

Свойство 3 (о сужении -окрестностей)

-окрестность любой точки сужается, если уменьшать число  >0.

Свойство 4 (о проколотых окрестностях)

Проколотой окрестностью точки называется любая окрестность этой точки, которая не включает в себя саму точку . Обозначения проколотых окрестностей: или . Проколотая -окрестность конечной точки (рис. 24) описывается следующим образом: Рис. 24

Примеры (проколотые -окрестности точек )

1) a = 3,  = 0,1

2) , =0,1;

3) ,  = 0,1 .