3. Основные свойства корней алгебраического уравнения

Свойство 1 (о количестве корней алгебраического уравнения)

Любое алгебраическое уравнение степениимеет на множестве комплексных чисел ровно n корней, если считать каждый корень столько раз, какова его кратность.

Примеры (количество корней алгебраического уравнения)

1) x² – 4x + 5 = 0 — алгебраическое уравнение второй степени (квадратное уравнение)  2 = 2 i — два корня;

2) x³ + 1 = 0 — алгебраическое уравнение третьей степени (двучленное уравнение)     ;

3) P₃(x) = x³ + x² – x – 1 = 0 – алгебраическое уравнение третьей степени;

число x₁ = 1 является его корнем, так как P₃(1) 0, поэтому по теореме Безу; разделим многочленP₃(x) на двучлен (x – 1) «в столбик»:

– x3 + x2 – x – 1 x – 1 x3 – x2 x2 + 2x +1 – 2x2 – x 2x2 – 2x – x – 1 x – 1 0

исходное уравнение P3(x) = x3 + x2 – x – 1 = 0       (x – 1)(x2 + 2x + 1) = 0        (x – 1)(x + 1)2 = 0  x1 = 1 — простой корень, x2 = –1 — двукратный корень.

Свойство 2 (о комплексных корнях алгебраического уравнения с действительными коэффициентами)

Если алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексные корни, то эти корни всегда парные комплексно сопряженные, то есть если число  является корнем уравнения , то числотакже является корнем этого уравнения.

 Для доказательства нужно использовать определение и следующие легко проверяемые свойства операции комплексного сопряжения:

если , тои справедливы равенства:

, ,,,

если – действительное число, то.

Так как является корнем уравнения, то

, где -- действительные числа при.

Возьмем сопряжение от обеих частей последнего равенства и используем перечисленные свойства операции сопряжения:

, то есть число также удовлетворяет уравнению, следовательно, является его корнем

Примеры (комплексные корни алгебр. уравнения с действительными коэф.)

1. – парные комплексно сопряженные корни;

2. -парные компл. сопряженные корни.

В качестве следствия из доказанного свойства о парности комплексных корней алгебраического уравнения с действительными коэффициентами получается ещё одно свойство многочленов.

Свойство (о разложении целого многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители)

Любой алгебраический многочлен , имеющий только действительные коэффициенты, разлагается на произведение линейных и (или) квадратичных функций с действительными коэффициентами.

 Будем исходить из разложения (6) многочлена на линейные множители:

.

Пусть число x₀ = a + bi — комплексный корень многочлена P_n(x), то есть это одно из чисел . Если все коэффициенты этого многочлена являются действительными числами, то числотоже является его корнем, то есть среди чиселесть также число.

Вычислим произведение двучленов :

- получился квадратный трехчлен с действительными коэф.

Таким образом, любая пара двучленов с комплексно сопряженными корнями в формуле (6) приводит к квадратному трехчлену с действительными коэффициентами. 

Примеры (разложение многочлена на множители с действительными коэф.)

1) P₃(x) = x³ + 1 = (x + 1)(x² – x + 1);

2) P₄(x) = x⁴ – x³ + 4x² – 4x = x(x –1)(x² + 4).

Свойство 3 (о целых и рациональных корнях алгебраического уравнения с действительными целыми коэффициентами)

Пусть дано алгебраическое уравнение , все коэффициенты которого являются действительными целыми числами, Если это уравнение имеет целый корень , то этот корень является делителем свободного члена Если это уравнение имеет рациональный корень , то числительэтого корня является делителем свободного члена, а знаменатель- делителем, отличным от единицы, старшего коэффициента.

1. Пусть целое число является корнем уравнения

, так как целое чиислопредставлено произведением целого числаи выажения, имеющего целое значение.

2. Пусть алгебраическое уравнение имеет рациональный корень

, причем, числаp иqявляются взаимно простыми.

Это тождество можно записать в двух вариантах:

Из первого варианта записи следует , что , а из второго – что, так как числаp иqявляются взаимно простыми.

Примеры (подбор целых или рациональных корней алгебраического уравнения с целыми коэффициентами)

1. ; если это кубическое уравнение имеет целый корень, то он находится среди делителей свободного члена уравнения, то есть среди делителей числа -9, образующих множество; подставляя последовательно числа этого множества в исходное уравнение, находим, чтоявляется корнем;

2. ; если это уравнение 4-й степени имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена уравнения, то есть среди делителей числа -2, образующих множество чисел; подставляем каждое из этих чисел в исходное уравнение:таким образом, показано, что целых корней данное уравнение не имеет. Рациональный корень ищем в виде– это множество делителей, отличных от единицы, старшего коэффициента 6. Поэтому рациональный корень (если он существует) находится среди чисел множества; подстановкой каждому из этих чисел в исходное уравнение находим, что, следовательно, числоявляется корнем.