13. Целые функции (многочлены) и их основные свойства. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел Содержание

§ 13. Целые функции (многочлены) и их основные свойства. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел 165

13.1. Основные определения 165

13.2. Основные свойства целых многочленов 166

13.3. Основные свойства корней алгебраического уравнения 169

13.4. Решение основных алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел 173

13.5. Упражнения для самостоятельной работы 176

178

Вопросы для самопроверки 178

Глоссарий 178

1. Основные определения

Целой алгебраической функцией илиалгебраическим многочленом(полиномом)аргумента x называется функция следующего вида

(1)

Здесьn–степень многочлена (натуральное число или 0),x – переменная (действительная или комплексная),a₀, a₁, …, a_n –коэффициенты многочлена (действительные или комплексные числа), a₀  0.

Например,

;;,– квадратный трехчлен;

,;.

Определение алгебраического уравнения -й степени

Уравнение называется алгебраическим уравнением n-й степениотносительно неизвестнойx, если его левая часть является алгебраическим многочленом степениnотносительно переменнойx: Pn(x) = 0, (2)

Числох₀такое, чтоP_n(x₀)0, называетсянулем функцииP_n(x) иликорнем уравнения.

Например,

1. – алгебраическое уравнение первой степени, его корень;

2. – алгебраическое уравнение седьмой степени,

его корни ,,.

3. числа иявляются нулями функции,

так как и.

Замечание (к определению нулей целой алгебраической функции)

В литературе часто нули функции называются ее корнями. Например, числаиназываются корнями квадратичной функции.

2. Основные свойствацелых многочленов

Свойство 1 (о тождественном равенстве алгебраических многочленов)

Два алгебраических многочлена одной степени n тождественно равны друг другу тогда и только тогда, когда совпадают их коэффициенты при одинаковых степенях переменной x, то есть (3)

 Тождество (3) справедливо при x  (илиx  ), следовательно, оно справедливо при; подставляя, получима_n = b_n. Взаимно уничтожим в (3) слагаемые а_n и b_n и поделим обе части на x:

. (3')

Это тождество тоже верно при x, в том числе при x = 0, поэтому полагая x = 0, получим а_n – 1 = b_n – 1.

Взаимно уничтожим в (3') слагаемые а_n – 1 и b_n – 1 и поделим обе части на x, в результате получим

.

Аналогично продолжая рассуждение, получим, что а_n – 2 = b_n –2, …, а₀ = b₀.

Таким образом, доказано, что из тождественного равенства двух целых многочленов следует совпадение их коэффициентов при одинаковых степенях x.

Обратное утверждение справедливо очевидно, то есть если два многочлена имеют одинаковыми все коэффициенты, то они есть одинаковые функции, определенные на множестве , следовательно, их значения совпадают при всех значениях аргумента, что и означает их тождественное равенство. Свойство 1 доказано полностью.

Пример (тождественное равенство многочленов)

.

Свойство 2 (о делении целого многочлена на разность (x – х0))

При делении многочлена Pn(x) на разность (x – х0) получается остаток, равный Pn(x0) – значению этого многочлена в точке x0, то есть верно равенство Теорема Безу(4) где Qn – 1(x) — целая часть от деления, является многочленом степени (n – 1).

 Запишем формулу деления с остатком: P_n(x) = (x – х₀)∙Q_n – 1(x) + A,

где Q_n – 1(x) — многочлен степени (n – 1), A — остаток, который является числом вследствие известного алгоритма деления многочлена на двучлен «в столбик».

Это равенство верно при x, в том числе при x = х₀; полагая , получим

P_n(x₀) = (x₀ – x₀)Q_n – 1(x₀) + A  A = P_n(х₀) 

Следствием доказанного свойства является утверждение о делении без остатка многочлена на двучлен, известное как теорема Безу.

Теорема Безу (о делении целого многочлена на двучлен без остатка)

Если число является нулем многочлена, то этот многочлен делится без остатка на разность, то есть верно равенство    (5)

 Доказательство теоремы Безу можно провести без использования ранее доказанного свойства о делении целого многочлена на двучлен. Действительно, запишем формулу деления многочленана двучленс остатком А=0:

Теперь учтем, что - это нуль многочлена, и запишем последнее равенство при:

.

Примеры (разложение многочлена на множители с использованием т. Безу)

1) ,так какP₃(1)0;

2) ,так какP₄(–2)0;

3) ,так какP₂(–1/2)0.

Свойство 3 (о существовании нуля многочлена, основная теорема алгебры)

Всякий алгебраический многочлен степениn  1имеет, по крайней мере, один нуль, действительный или комплексный

Доказательство этой теоремы выходит за рамки нашего курса. Поэтому примем теорему без доказательства.

Поработаем по этой теореме и по теореме Безу с многочленом P_n(x):

;

после n-кратного применения этих теорем получим, что

,

где a₀— это коэффициент приxⁿв записи многочленаP_n(x).

Свойство 4 (о разложении многочлена на линейные множители)

Любой алгебраический многочлен степени на множестве комплексныхчисел разлагается наnлинейных сомножителей, то есть верно равенство Разложение многочлена на линейные множители(6) где х1,х2, …хn— это нули многочлена.

Если в равенстве (6)kчисел из наборах₁,х₂, …х_n совпадают между собой и с числом, то в произведении справа получается множитель (x–)^k. Тогда числоx=называетсяk-кратным корнем многочленаP_n(x), или корнем кратности k. Еслиk= 1, то числоназываетсяпростым корнем многочленаP_n(x).

Примеры (разложение многочлена на линейные множители)

1) P₄(x) = (x – 2)(x – 4)³  x₁ = 2 — простой корень, x₂ = 4 — трехкратный корень;

2) P₄(x) = (x – i)⁴  x = i — корень кратности 4.