3. Стандартные подмножества множества действительных чисел

Стандартными подмножествами множества EMBED Equation.DSMT4 называются следующие

множества:

—множество натуральных чисел, то есть множество чисел, которые получаются в результате счёта целых предметов;

—множество целых чисел;

—множество рациональных чисел;

—множество иррациональных чисел.

— этоуниверсальное числовое множестводля всех других числовых множеств, элементами которых являются действительные числа.

Включения стандартных подмножеств множества показано на рис.16

Рис. 16

,

На множестве натуральных чисел вводятся следующие понятия:

• простые числа— это числа, которые делятся только на себя и на 1;

• составные числа — это числа, которые делятся не только на себя и на 1;

• число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам;

• взаимно простые числа— это числа, не имеющие общих делителей, отличных от 1;

• наименьшее общее кратное (НОК)нескольких чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на все эти числа;

• наибольший общий делитель (НОД)нескольких чисел — это наибольшее натуральное число, на которое делятся все эти числа.

О записи действительных чисел

Каждое действительное число xможет быть записано бесконечной десятичной дробью.

Например,   .

Если число xявляется рациональным, т.е., то оно записывается конечной или бесконечной периодической десятичной дробью.

Например,   ;;.

Если число xявляется иррациональным, т.е., то оно записывается бесконечной непериодической десятичной дробью.

Например,   .

Если в арифметическом выражении участвуют только рациональные числа, то можно найти точное значение такого выражения, выполнив все арифметические операции без погрешностей. Если же в арифметическое выражение входит хотя бы одно иррациональное число, то значение такого выражения находится приближённо.

4. Примеры работы на множестве

Пример 1 (геометрический смысл модуля)

Построить на числовой прямой и записать промежутками следующие множества, используя геометрический смысл модуля разности двух действительных чисел:

a) ; б) ; в) .

Решение

а)

;

пояснения:

— это расстояние от точекх до точки 2;

— это множество точекx, отстоящих от точки 2 на расстоянии, равном 3; состоит из точеки;

— это множество точекx, отстоящих от точки 2 на расстоянии, меньшем либо равном 3; оно включает в себя все точки, принадлежащие промежутку.

б)

;

пояснение:

— это множество точекx, отстоящих от точки 2 на расстоянии, большем, чем 3.

в)

;

пояснения:

— это расстояние от точекxдо точки –1;

— это множество точекx, отстоящих от точки –1 на расстоянии, меньшем 2.

Пример 2 (стандартные подмножества множества )

Дано . Найти,,.

Решение

.

5. Дискретные и непрерывные множества

Числовое множество называетсядискретным множеством, если между любыми его двумя элементами можно указать действительные числа, не входящие в это множество.

Например, дискретными являются следующие множества:

,.

Числовое множество называетсянепрерывным множеством, если его элементы сплошь заполняют некоторый промежуток на координатной оси.

Например,   ,,.

Непрерывные числовые множества можно записывать короче — только промежутком. Например, верно будет, если предыдущие множества записать так:

,,.