Несчетность множества
Легко
показать, что множество 
всех
действительных чисел имеет такую же
мощность, как и множество чисел 
.
Действительно, биективное отображение
этих множеств легко устанавливается с
помощью непрерывной монотонной функции,
определенной на одном из этих множеств
и принимающей все значения другого
множества:
Рис.39
Теперь будем доказывать
несчетность множества чисел 
.
Заметим, что доказать несчетность
какого-то множества нелегко. Ведь
доказательство счетности множества
сводится просто к придумыванию правила,
по которому нумеруются его элементы. А
доказать несчетность какого-то множества
— это значит доказать, что такого правила
нет и быть не может. Иными словами, какое
бы правило мы ни придумали, всегда
найдется незанумерованный элемент
множества. Для доказательства несчетности
множества 
будем использовать так
называемый «диагональный метод»,
оригинально предложенный Кантором в
1891г.
Предположим,
что все числа 
можно занумеровать в некоторую счетную
последовательность 
.
Каждое действительное число 
можно записать в
виде бесконечной десятичной дроби:
,
где 
—
это любые из цифр 0, 1, ... , 9, взятые в любом
порядке. Теперь будем строить число
следующим
образом:
Например, если
то
Очевидно,
что число
и
отличается от всех чисел
:
,
так как отличается
от 
первой цифрой
после запятой, 
,
так как отличается
от 
второй цифрой
после запятой
,
так как отличается
от 
третьей цифрой
после запятой, и т.д.
Таким
образом, число 
не попало в счетную
последовательность 
по какому правилу бы мы ее не составляли.
Очевидно, что аналогичных «незанумерованных»
чисел построить можно сколько угодно,
например, заменяя цифпы 1 и 0 на другие
цифпы. Следовательно, предположение о
возможности занумеровать все числа 
является невеным. Из этого
следует, что множество 
не
является счетным, но имеет большую
мощность, чем мощность счетного множества
Мощность
множества 
,
а также эквивалентного ему множества
называется мощностью
континуум.
Можно показать, что такую же мощность
имеют любые непрерывные подмножества
множества 
,
а также множество точек квадрата на
плоскости 
.