Счётные множества
|
Определение счетного множества |
|
Множество
|
называетсясчетным
множеством,
если оно эквивалентно (равномощно)
множеству натуральных чисел:
Например, счетными множествами являются следующие множества:
1)
—
множество натуральных четных чисел
2)
—
множество натуральных нечетных чисел
3)
—
множество целых чисел
4)
5)
Для доказательства счетности множества рациональных чисел
необходимо предложить способ их
нумерации, т.е. процедуру, в которой
каждому рациональному числу будет
присвоен единственный натуральный
номер. Такую процедуру удается построить
для положительных рациональных чисел
следующим образом: выпишем сначала все
положительные дроби со знаменателем
1, потом все положительные дроби со
знаменателем 2, потом со знаменателем
3 и т.д. Получится таблица следующего
вида:
Рис.
38
число
также встретится в виде дробей
.
теперь будем нумеровать числа «по квадратам», начиная с левого верхнего угла и присваивая номер каждому следующему числу, отличному от всех предыдущих (каждой несократимой дроби) (рис. 38):
Получаем следующую занумерованную последовательность всех положительных рациональных чисел:
Теперь уже легко понять, как нумеруются все рациональные числа — ноль, положительные и отрицательные. Их нужно расположить на основании предыдущей последовательности следующим образом:
Это расположение
устанавливает взаимно однозначное
соответствие между элементами множества
рациональных чисел
и элементами множества натуральных
чисел
.
Следовательно, эти множества имеют
одинаковую мощность
,
поэтому множество
является счетным.
|
Основные свойства счетных множеств |
|
1. Множество останется счетным, если в него добавить один элемент или удалить из него один элемент. 2. Объединением конечного числа счетных множеств получается счетное множество. 3. Множество останется счетным, если его объединить с любым конечным множеством или вычесть из него конечное множество. Объединение счетного количества счетных множеств является счетным множеством. 4. Из любого бесконечного множества всегда можно выделить счетное подмножество, при этом мощность бесконечного множества не изменится. 5. Счетное множество имеет наименьшую мощность среди бесконечных множеств. |
1.
Добавление или удаление одного элемента
(или любого конечного числа элементов)
приводит просто к перенумерации элементов
счетного множества. Например, рассмотрим
- счетное множество,
- конечное множество, 
;
тогда
,
где 
2. Рассмотрим объединение двух счетных множеств:
,
где 
т.е.
Объединение двух cчетных
множеств есть счетное множество. На
любое конечное число счетных множеств
утверждение распространяется по свойству
ассоциативности операции объединения:
3. Иллюстрацией к свойству объединения счетного числа счетных множеств може быть процедура нумерации «по квадратам» элементов множества положительных рациональных чисел (в каждой строке первоначальной таблицы этих чисел было счетное количество элементов и количество строк также было счетным).
4.
Чтобы выделить из бесконечного множества
счетное
подмножество 
,
нужно поступить так: Выберем из множества
один элемент
- это можно сделать,
так как множество 
бесконечно, и,
следовательно, не пусто. После удаления
одного элемента 
множество 
не исчерпывается, и
мы можем выбрать из него второй элемент
и т.д. В результате
мы извлечем из множества 
счетное подмножество
занумерованных элементов 
. Далее
можно показать, что в множестве 
по-прежнему останется
бесконечное количество элеметов и при
этом мощность множества 
будет
совпадать с мощностью множества 
,
т.е. мощность бесконечного множества
не изменяется от удаления из него (или
объединения с ним) счетного множества.
5. Утверждение о том, что счетное множество имеет наименьшую мощность среди бесконечных множеств, следует и следующих двух фактов:
1) Любая бесконечная часть множества натуральных чисел является счетной, поэтому не может существовать бесконечное множество, мощность которого была бы меньше мощности счетного множества;
2) В каждом бесконечном множестве есть счетное подмножество, поэтому мощность счетного множества не больше мощности любого бесконечного множества, то есть эта мощность — самая маленькая из бесконечных.